Soal 31
Hasil \( \int \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3+4}}\,dx \) = ....
A. \( 4\sqrt{2x^3+4}+C \)
B. \( 2\sqrt{2x^3+4}+C \)
C. \( \sqrt{2x^3+4}+C \)
D. \( \frac{1}{2}\sqrt{2x^3+4}+C \)
E. \( \frac{1}{4}\sqrt{2x^3+4}+C \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (substitusi): ambil \( u=2x^3+4 \). Karena \( 2x^3+4 \gt 0 \) untuk banyak nilai \( x \), bentuk akar terdefinisi pada domain yang sesuai.
Turunkan: \( \frac{du}{dx}=6x^2 \Rightarrow du=6x^2\,dx \).
Langkah 2 (ubah integral):
\( \int \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3+4}}\,dx=\int \frac{3x^2}{\sqrt{u}}\,dx \).
Karena \( du=6x^2\,dx \), maka \( 3x^2\,dx=\frac{1}{2}du \).
Jadi integral menjadi \( \frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}\,du \).
Langkah 3 (integralkan):
\( \frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}\,du=\frac{1}{2}\cdot 2u^{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{u}+C \).
Kembalikan \( u \): \( \sqrt{u}+C=\sqrt{2x^3+4}+C \).
Soal 32
Hasil \( \int 4\sin 5x \cdot \cos 3x \,dx \) = ....
A. \( -2\cos 8x-2\cos 2x+C \)
B. \( -\frac{1}{4}\cos 8x-\cos 2x+C \)
C. \( \frac{1}{4}\cos 8x+\cos 2x+C \)
D. \( -\frac{1}{2}\cos 8x-2\cos 2x+C \)
E. \( \frac{1}{2}\cos 8x+2\cos 2x+C \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (ubah bentuk perkalian): gunakan identitas \( 2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B) \).
Karena \( 4\sin 5x\cos 3x = 2\bigl(2\sin 5x\cos 3x\bigr) \), maka:
\( 4\sin 5x\cos 3x = 2\bigl(\sin(8x)+\sin(2x)\bigr) \).
Langkah 2 (integralkan per suku):
\( \int 4\sin 5x\cos 3x\,dx = 2\int \sin(8x)\,dx + 2\int \sin(2x)\,dx \).
Langkah 3 (hasil integral sinus):
\( \int \sin(8x)\,dx = -\frac{1}{8}\cos(8x) \) dan \( \int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) \).
Maka:
\( 2\left(-\frac{1}{8}\cos 8x\right)+2\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+C = -\frac{1}{4}\cos 8x-\cos 2x+C \).
Soal 33
Nilai \( a \) yang memenuhi \( \int_{a}^{1} 12x\,(x^2+1)^2\,dx=14 \) adalah ....
A. \( -2 \)
B. \( -1 \)
C. \( 0 \)
D. \( \frac{1}{2} \)
E. \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (substitusi): ambil \( u=x^2+1 \) sehingga \( du=2x\,dx \).
Karena \( 12x\,dx = 6(2x\,dx)=6\,du \), integral menjadi:
\( \int 12x(x^2+1)^2\,dx = \int 6u^2\,du = 6\cdot\frac{u^3}{3}+C = 2u^3+C \).
Langkah 2 (kembali ke \( x \)): antiturunannya \( 2(x^2+1)^3 \).
Langkah 3 (pakai batas):
\( \int_{a}^{1} 12x(x^2+1)^2\,dx = \left[2(x^2+1)^3\right]_{a}^{1} \).
\( =2(1^2+1)^3-2(a^2+1)^3 = 2\cdot 8 -2(a^2+1)^3 = 16-2(a^2+1)^3 \).
Langkah 4 (samakan dengan 14):
\( 16-2(a^2+1)^3=14 \Rightarrow 2(a^2+1)^3=2 \Rightarrow (a^2+1)^3=1 \).
Karena \( a^2+1 \gt 0 \), maka \( a^2+1=1 \Rightarrow a^2=0 \Rightarrow a=0 \).
Soal 34
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola \( y=x^2-6x+8 \), garis \( y=x-2 \) dan sumbu \( X \) dapat dinyatakan dengan ....
A. \( \int_{2}^{4}-(x^2-6x+8)\,dx+\int_{3}^{4}\bigl((x-2)-(x^2-6x+8)\bigr)\,dx \)
B. \( \int_{2}^{4}-(x^2-6x+8)\,dx \)
C. \( \int_{3}^{4}\left(\frac{1}{3}(x-3)-(x^2-6x+8)\right)\,dx \)
D. \( \int_{2}^{4}-(x^2-6x+8)\,dx+\int_{4}^{5}\bigl((x-3)-(x^2-6x+8)\bigr)\,dx \)
E. \( \int_{2}^{4}(x-2)\,dx+\int_{4}^{5}\bigl((x-2)-(x^2-6x+8)\bigr)\,dx \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (titik potong penting):
Garis dengan sumbu \( X \): \( x-2=0 \Rightarrow x=2 \) sehingga titik \( (2,0) \).
Parabola dengan sumbu \( X \): \( x^2-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2 \) atau \( x=4 \).
Garis dengan parabola: \( x-2=x^2-6x+8 \Rightarrow x^2-7x+10=0 \Rightarrow (x-2)(x-5)=0 \Rightarrow x=2 \) atau \( x=5 \).
Langkah 2 (pecah daerah sesuai batas):
Dari gambar, daerah tertutupnya dapat dipandang sebagai gabungan 2 bagian:
(1) Untuk \( 2 \le x \le 4 \), batas atas adalah garis \( y=x-2 \) dan batas bawah adalah sumbu \( X \) yaitu \( y=0 \). Luasnya \( \int_{2}^{4}\bigl((x-2)-0\bigr)\,dx=\int_{2}^{4}(x-2)\,dx \).
(2) Untuk \( 4 \le x \le 5 \), batas atas tetap garis \( y=x-2 \), sedangkan batas bawah adalah parabola \( y=x^2-6x+8 \). Luasnya \( \int_{4}^{5}\bigl((x-2)-(x^2-6x+8)\bigr)\,dx \).
Kesimpulan: bentuk luas yang benar adalah \( \int_{2}^{4}(x-2)\,dx+\int_{4}^{5}\bigl((x-2)-(x^2-6x+8)\bigr)\,dx \), yaitu opsi E.
Catatan cepat: tanda “atas minus bawah” wajib dijaga. Pada interval \( 4 \le x \le 5 \), garis berada di atas parabola, sehingga selisihnya \( \gt 0 \).
Soal 35
Perhatikan gambar berikut.
Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu \( X \) sejauh \( 360^\circ \), maka volume benda putar yang terjadi adalah ....
A. \( \frac{123}{15}\pi \) satuan volume
B. \( \frac{83}{15}\pi \) satuan volume
C. \( \frac{77}{15}\pi \) satuan volume
D. \( \frac{43}{15}\pi \) satuan volume
E. \( \frac{35}{15}\pi \) satuan volume
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Memahami daerah arsiran dari gambar: daerah dibatasi oleh kurva \( y=x^2 \), garis \( y=-4x \), dan garis vertikal \( x=-1 \). Batas kanan bertemu di \( x=0 \) karena \( y=x^2 \) dan \( y=-4x \) berpotongan di \( x=0 \).
Langkah 1 (metode cincin/washer): diputar terhadap sumbu \( X \), maka:
Jari-jari luar \( R(x)= -4x \) dan jari-jari dalam \( r(x)=x^2 \) untuk \( -1 \le x \le 0 \), karena pada interval itu \( -4x \ge x^2 \).
Langkah 2 (rumus volume):
\( V=\pi\int_{-1}^{0}\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx=\pi\int_{-1}^{0}\bigl((-4x)^2-(x^2)^2\bigr)\,dx \).
\( V=\pi\int_{-1}^{0}\bigl(16x^2-x^4\bigr)\,dx \).
Langkah 3 (hitung integral):
\( \int 16x^2\,dx=16\cdot\frac{x^3}{3} \) dan \( \int x^4\,dx=\frac{x^5}{5} \).
\( \int_{-1}^{0}(16x^2-x^4)\,dx=\left(16\cdot\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)_{-1}^{0} \).
Nilai di \( x=0 \) adalah \( 0 \). Nilai di \( x=-1 \) adalah \( 16\cdot\frac{-1}{3}-\frac{-1}{5}=-\frac{16}{3}+\frac{1}{5} \).
Maka hasilnya \( 0-\left(-\frac{16}{3}+\frac{1}{5}\right)=\frac{16}{3}-\frac{1}{5}=\frac{80}{15}-\frac{3}{15}=\frac{77}{15} \).
Kesimpulan: \( V=\pi\cdot\frac{77}{15}=\frac{77}{15}\pi \) satuan volume, sesuai opsi C.