Isi

Materi: Matematika (Pertidaksamaan)

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Berikut adalah sifat-sifat umum operasi pertidaksamaan. Untuk a, b, c, d ∈ ℝ berlaku:

  1. Jika a > b maka a + c > b + c.
  2. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d.
  3. Jika a > b dan b > c maka a > c.
  4. Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc.
  5. Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc.
  6. Jika a / b > 0 maka (a > 0 dan b > 0) atau (a < 0 dan b < 0).
  7. Jika a > b dan a > 0, b > 0 maka a² > b². Jika a > b dan a < 0, b < 0 maka a² < b².

Sifat Harga Mutlak

Berikut adalah sifat-sifat umum harga mutlak yang perlu dipahami:

  1. |x| = { −x, untuk x < 0;   x, untuk x ≥ 0 }
  2. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, dengan a ≥ 0.
  3. |x| > a ⇔ x < −a atau x > a, dengan a > 0.

Sifat Akar

\(\sqrt{x^2}\) bernilai:

  • \(-x\), untuk \(x < 0\)
  • \(x\), untuk \(x \ge 0\)

Trik Menentukan Garis Bilangan

  1. Ubah pertidaksamaan ke bentuk perkalian (pemfaktoran).
  2. Tentukan pembuat nol (akar), lalu letakkan pada garis bilangan.
  3. Tanda pada ruas paling kanan sama dengan tanda koefisien pangkat tertinggi.
  4. Pangkat genap: tanda tetap saat melewati akar.
  5. Pangkat ganjil: tanda berlawanan saat melewati akar.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari \((x-3)(x-4)(x+2) < 0\).

Penyelesaian: Akar: \(x=3, 4, -2\). Koefisien pangkat tertinggi positif, maka ruas paling kanan bertanda positif. Karena semua akar berpangkat ganjil (1), tanda berganti di setiap akar, sehingga tanda interval: \((-\infty,-2)\) negatif, \((-2,3)\) positif, \((3,4)\) negatif, \((4,\infty)\) positif.

Jawab: \( \{\,x \mid x<-2 \;\text{atau}\; 3<x<4\,\} \).

Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan

  1. Bentuk rasional: f(x) / g(x) >< 0

    Catatan: Tidak berlaku perkalian silang.

    Penyelesaian: cari himpunan solusi dari f(x)·g(x) >< 0 dengan syarat g(x) ≠ 0.

  2. Bentuk akar: √f(x) >< c

    Penyelesaian umum:

    1. f(x) ≥ 0.
    2. Kedua ruas dikuadratkan.

    Solusi adalah irisan dari (1) dan (2).

    Khusus:

    • Jika √f(x) < c, selesaikan 0 ≤ f(x) < c2.
    • Jika √f(x) > c, selesaikan f(x) > c2.

Trik Menyelesaikan Pertidaksamaan Mutlak

Langkah umum untuk bentuk |a| / |b| >< k:

  1. Ubah menjadi |a| >< k|b|.
  2. Tulis |a| − k|b| >< 0.
  3. Setara dengan (a − k b)(a + k b) >< 0.

Catatan: Jika berbentuk pecahan, tambahkan syarat penyebut ≠ 0.