Materi: Matematika (Statistika)
Tabel Rumus Statistika Dasar
| No | DESKRIPSI DAN RUMUS | CONTOH | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 |
Rata-rata (rataan) hitung \( \bar{x} \) \( \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n} \) atau \( \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i}{n} \) Keterangan: \( n \) = banyak data \( x_i \) = data ke-i \( i = 1, 2, 3, \ldots, n \) |
Diketahui 9 buah data: 2, 2, 8, 3, 3, 3, 3, 2, 10 \( \bar{x} = \frac{2 + 2 + 8 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 10}{9} \) \( \bar{x} = \frac{36}{9} = 4 \) |
||||||||||
| 2 |
Rata-rata hitung \( \bar{x} \) (dalam daftar frekuensi) \( \bar{x} = \frac{f_1x_1 + f_2x_2 + f_3x_3 + \ldots + f_nx_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \ldots + f_n} \) atau \( \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i} \) Keterangan: \( f_i \) = banyak data \( x_i \) \( x_i \) = data pada kelompok ke-i \( n = f_1 + f_2 + f_3 + \ldots + f_n \) |
\( \bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 10}{3 + 4 + 1 + 1} \) \( \bar{x} = \frac{36}{9} = 4 \) |
||||||||||
| 3 | Modus \( (M_0) \): data dengan frekuensi terbesar |
Datum \( x = 3 \) memiliki frekuensi terbesar \( (f = 4) \), maka \( M_0 = 3 \) |
||||||||||
| 4 |
Median (Me) Nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai datum terkecil: \( x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots,\ x_n \) Jika \( n \) ganjil: \( \text{Me} = x_{\frac{n+1}{2}} \) Jika \( n \) genap: \( \text{Me} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \) |
Data disusun berurutan: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 8, 10 \( n = 9 \) (ganjil) \( \text{Me} = x_{\frac{9+1}{2}} = x_5 \) \( \text{Me} = 3 \) |
||||||||||
| 5 |
Kuartil (Q) Nilai yang membagi data berurutan menjadi 4 bagian yang sama banyak: (kuartil bawah, tengah, atas) Q1 = kuartil bawah, Q2 = median, Q3 = kuartil atas |
Data: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 8, 10 Q1: \( \frac{2 + 2}{2} = 2 \) Q3: \( \frac{3 + 8}{2} = 5{,}5 \) Q2 = Me = 3 |
||||||||||
| 6 |
Statistik Lima Serangkai Lima buah nilai yang mewakili: - Datum terkecil \( X_{\text{min}} \) - Kuartil bawah \( Q_1 \) - Kuartil tengah \( Q_2 \) - Kuartil atas \( Q_3 \) - Datum terbesar \( X_{\text{maks}} \) |
Datum terkecil \( X_{\text{min}} = 2 \) Datum terbesar \( X_{\text{maks}} = 10 \) Statistik lima serangkai:
|
||||||||||
| 7 |
Rataan Tiga (RT) \( \text{RT} = \frac{Q_1 + 2Q_2 + Q_3}{4} \) |
\( \text{RT} = \frac{2 + 2 \cdot 3 + 5{,}5}{4} \) \( \text{RT} = \frac{13{,}5}{4} = 3{,}375 \) |
||||||||||
| 8 |
Rataan Kuartil (RQ) \( \text{RQ} = \frac{Q_1 + Q_3}{2} \) |
\( \text{RQ} = \frac{2 + 5{,}5}{2} = 3{,}75 \) | ||||||||||
| 9 |
Jangkauan (J) Datum terbesar dikurangi datum terkecil: \( J = X_{\text{maks}} - X_{\text{min}} \) |
\( J = 10 - 2 = 8 \) | ||||||||||
| 10 |
Hamparan H (Jangkauan antar-kuartil) \( H = Q_3 - Q_1 \) |
\( H = 5{,}5 - 2 = 3{,}5 \) | ||||||||||
| 11 |
Simpangan Kuartil (Qd) (Jangkauan semi antar-kuartil) \( Q_d = \frac{1}{2} H \) \( Q_d = \frac{1}{2} (Q_3 - Q_1) \) |
\( Q_d = \frac{1}{2} \cdot 3{,}5 = 1{,}75 \) | ||||||||||
| 12 |
Simpangan Rata-rata (SR) \( \text{SR} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n} \) atau \( \text{SR} = \frac{\sum\limits_{k} f_k |x_k - \bar{x}|}{\sum\limits_{k} f_k} \) |
\( n = 9, \quad \bar{x} = 4 \) \( x_1 = 2,\ f_1 = 3 \) \( x_2 = 3,\ f_2 = 4 \) \( x_3 = 8,\ f_3 = 1 \) \( x_4 = 10,\ f_4 = 1 \) \( \text{SR} = \frac{3 \cdot |2 - 4| + 4 \cdot |3 - 4| + 1 \cdot |8 - 4| + 1 \cdot |10 - 4|}{3 + 4 + 1 + 1} \) \( \text{SR} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 6}{9} \) \( \text{SR} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \) |
||||||||||
| 13 |
Ragam R (Variansi) \( R = S^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} \) atau \( R = S^2 = \frac{\sum\limits_{k} f_k (x_k - \bar{x})^2}{\sum\limits_{k} f_k} \) |
\( R = \frac{3 \cdot |2 - 4|^2 + 4 \cdot |3 - 4|^2 + 1 \cdot |8 - 4|^2 + 1 \cdot |10 - 4|^2}{3 + 4 + 1 + 1} \) \( R = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 36}{9} \) \( R = \frac{68}{9} = 7\frac{5}{9} \) |
||||||||||
| 14 |
Simpangan Baku (S) (Deviasi standar) \( S = \sqrt{ \frac{ \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 }{n} } \) atau \( S = \sqrt{ \frac{ \sum\limits_{k} f_k (x_k - \bar{x})^2 }{ \sum\limits_{k} f_k } } \) |
\( S^2 = \frac{68}{9} \) \( S = \sqrt{ \frac{68}{9} } = \sqrt{ \frac{4 \cdot 17}{9} } \) \( S = \frac{2}{3} \sqrt{17} \) |
||||||||||
| 15 |
Koefisien Keragaman (V) Ukuran persebaran relatif data: \( V = \frac{\text{simpangan baku}}{\text{rata-rata hitung}} \times 100\% \) atau \( V = \frac{S}{\bar{x}} \times 100\% \) |
\( V = \frac{ \frac{2}{3} \sqrt{17} }{4} \times 100\% \) \( V = \frac{1}{6} \sqrt{17} \times 100\% \) \( V = 0{,}687 \times 100\% \) \( V = 68{,}7\% \) |
B. Perubahan Data
Apabila setiap data ditambah/dikurangi (p), maka:
- Rata-rata (mean), median, dan modus → ikut ditambah/dikurangi (p)
- Jangkauan dan simpangan → TETAP
Apabila setiap data dikali/dibagi (p), maka semua data → ikut dikali/dibagi (p)
- Rata-rata, median dan modus, jangkauan, dan simpangan → ikut dikali/dibagi (p)
C. Penggabungan / Penambahan dan Pengurangan Data
| Penambahan Data | Pengurangan Data |
|---|---|
| \( \bar{x}_b = \frac{m \cdot \bar{x} + n \cdot y}{m + n} \) | \( \bar{x}_b = \frac{m \cdot \bar{x} - n \cdot y}{m - n} \) |
Keterangan:
- \( \bar{x} \): rata-rata lama
- \( \bar{x}_b \): rata-rata baru
- \( y \): nilai data yang ditambahkan atau dikurangkan
- \( n \): frekuensi data yang ditambahkan/dikurangkan
- \( m \): jumlah frekuensi seluruh data lama
D. Perbandingan Jumlah Data
Misal, suatu kelas diketahui:
- \( \bar{x}_a \): rata-rata nilai kelas A
- \( \bar{x}_b \): rata-rata nilai kelas B
- \( \bar{x} \): rata-rata gabungan A dan B
Rumus perbandingan:
\( \frac{\bar{x} - \bar{x}_a}{\bar{x}_b - \bar{x}} = \frac{x_a}{x_b} \)
Maka:
Banyak siswa A = \( \bar{x} - \bar{x}_a \)
Banyak siswa B = \( \bar{x}_b - \bar{x} \)
E. Statistik Deskriptif untuk Data Berkelompok
1. Rataan Hitung \( \bar{x} \)
\( \bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i \cdot x_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i} \)
2. Modus \( (Mo) \)
\( Mo = t_b + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) \cdot c \)
Keterangan:
- \( t_b \): tepi bawah kelas modus
- \( d_1 \): selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
- \( d_2 \): selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
- \( c \): panjang kelas
3. Median dan Kuartil
Langkah-langkah mencari median dan kuartil:
- Hitung jumlah frekuensi, misal \( n \)
- Tentukan nilai:
- \( \frac{1}{4}n \), \( \frac{1}{2}n \), \( \frac{3}{4}n \)
- Gunakan rumus:
\( Q = t_b + \left( \frac{a - \sum f}{f} \right) \cdot c \)
Keterangan:
- \( t_b \): tepi bawah kelas yang memuat Q
- \( \sum f \): jumlah frekuensi sebelum kuartil bawah Q
- \( f \): frekuensi pada kelas yang memuat Q
- \( c \): panjang kelas
- \( a \): nilai posisi data:
- \( a = \frac{1}{4}n \) untuk Q1
- \( a = \frac{1}{2}n \) untuk Q2
- \( a = \frac{3}{4}n \) untuk Q3