Isi

Materi: Matematika (Logika Matematika)

Kesimpulan

Definisi umum:
Kesimpulan adalah pernyataan akhir yang berisi ringkasan atau hasil dari suatu pembahasan, penelitian, atau percakapan. Kesimpulan diambil dari serangkaian ide, data, atau premis yang telah dianalisis sebelumnya.

Tujuan kesimpulan:
Untuk memberikan gambaran singkat, padat, dan jelas mengenai pokok-pokok utama sebuah tulisan atau topik, serta menjawab pertanyaan atau gagasan yang diajukan di awal. Dalam penelitian, kesimpulan juga berfungsi untuk menegaskan hasil akhir atau pembuktian hipotesis secara ringkas.

Pengertian umum:
Kesimpulan adalah pernyataan ringkas yang diambil dari suatu analisis, pembahasan, atau hasil pembicaraan yang telah dilakukan.

Dalam konteks logika:
Kesimpulan adalah sebuah proposisi (pernyataan) yang diambil dari satu atau lebih premis melalui aturan inferensi, misalnya melalui penalaran deduktif atau induktif.
Contoh:
Premis 1: Semua manusia akan mati.
Premis 2: Socrates adalah manusia.
Kesimpulan: Socrates akan mati.

Dalam konteks tulisan:
Kesimpulan adalah bagian akhir dari teks atau karya tulis yang merangkum poin-poin utama pembahasan. Biasanya berupa satu atau dua kalimat terakhir yang membungkus seluruh isi tulisan dan memberikan penutup bagi pembaca.

Tujuan dalam tulisan:
Untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam kepada pembaca tentang apa yang telah dibaca, membuktikan hipotesis penelitian secara ringkas, atau menjawab pertanyaan penelitian yang telah dirumuskan sebelumnya.

Jenis-Jenis Logika Induktif

Induksi Enumeratif (Generalisasi)

Menarik kesimpulan umum dari sejumlah kasus khusus.
Lengkap: semua kasus diperiksa → kesimpulan lebih kuat..
Tidak lengkap: hanya sebagian kasus diperiksa → kesimpulan bersifat probabilistik..
Contoh: Besi, tembaga, perak menghantarkan listrik → maka semua logam menghantarkan listrik..
.

Induksi Analogi

Menarik kesimpulan karena ada kesamaan pada beberapa aspek, lalu diasumsikan ada kesamaan pada aspek lain..
Contoh: Bumi dan Mars sama-sama planet berbatu → mungkin Mars juga memiliki potensi kehidupan seperti Bumi..
.

Induksi Kausal (Sebab-Akibat)

Menemukan hubungan sebab-akibat dari gejala yang berulang..
Contoh: Setiap hujan deras, sungai meluap → hujan deras menyebabkan sungai meluap..
.

Induksi Statistik

Menggunakan data statistik untuk membuat generalisasi..
Contoh: Dari 1.000 responden, 85% memilih produk A → produk A populer di masyarakat..
.

Induksi Ilmiah (Metode Ilmiah)

Menggunakan observasi, eksperimen, hingga pengujian hipotesis untuk menyimpulkan teori umum..
Contoh: Penelitian menunjukkan tumbuhan yang diberi cahaya tumbuh lebih cepat → cahaya berpengaruh pada pertumbuhan tumbuhan..
.
🔹 Ciri-Ciri Penalaran Induktif.
.
Arah berpikir: khusus → umum..
Kesimpulan mungkin benar, tidak mutlak (bersifat probabilistik)..
Banyak dipakai dalam sains, penelitian, dan analisis data..
Bisa menghasilkan pengetahuan baru yang belum ada sebelumnya..
\( \equiv \) adalah Ekuivalen → kedua pernyataan punya nilai kebenaran yang \(\textbf{sama persis di semua kondisi}\)
\(\Rightarrow \) adalah Implikasi logis → jika bagian kiri \(\textbf{benar}\), maka bagian kanan \(\textbf{harus benar}\)

Logika Deduktif

Modus Ponens (aturan implikasi langsung)

\((p \rightarrow q) \land p \Rightarrow q\) Jika "p maka q", dan p benar → maka q benar. \begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \rightarrow q & (p \rightarrow q) \land p & q & (p \rightarrow q) \land p \Rightarrow q \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}

Modus Tollens (negasi implikasi)

atauran BAKU
Premis 1 : \( A \rightarrow B\)
Premis 2 : \( \neg B\)
kesimpulan : \( \neg A\)

bentuk umumnya \( (A \rightarrow B) \land \neg B\) maka \(\neg A\)

\((p \rightarrow q) \land \sim q \Rightarrow \sim p\)
Jika "p maka q", dan q salah maka p juga salah.
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} p & q & p \rightarrow q & \sim q & \sim p & (p \rightarrow q) \land \sim q & (p \rightarrow q) \land \sim q \Rightarrow \sim p \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

\(\textbf{silogisme hipotetik}\)

adalah bentuk inferensi logis yang mengambil dua pernyataan implikasi:

\(\text{Premis 1: } P \rightarrow Q \)
\(\text{Premis 2: } Q \rightarrow R \)

Maka \(\textbf{kesimpulan yang sah}\) (valid) adalah:

\( \boxed{P \rightarrow R} \)

* Bentuk formal:

\( (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R) \)

1. $P$, $Q$, $R$
2. $P \rightarrow Q$
3. $Q \rightarrow R$
4. $P \rightarrow R$
5. LHS = $(P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R)$
6. Final: $\text{LHS} \Rightarrow (P \rightarrow R)$

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Baris} & P & Q & R & P \rightarrow Q & Q \rightarrow R & P \rightarrow R & (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) & (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

Dilema Disjungtif (disjungsi dengan dua implikasi)

\((p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) \Rightarrow r\) \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Baris} & p & q & r & p \lor q & p \rightarrow r & q \rightarrow r & (p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) & (p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) \Rightarrow r \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}

Resolusi (gabungan dua disjungsi dengan negasi silang)

\((A \lor B) \land (\lnot B \lor C) \;\Rightarrow\; (A \lor C)\) Jika "A atau B", dan "tidak-B atau C" → maka "A atau C" \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Baris} & A & B & C & A \lor B & \sim B \lor C & (A \lor B) \land (\sim B \lor C) & A \lor C & (A \lor B) \land (\sim B \lor C) \Rightarrow (A \lor C) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}

Disjungsi dan Implikasi Campuran

Bentuk: \((p \rightarrow q) \land (\lnot q \lor r) \Rightarrow (\lnot p \lor r)\) \((\sim p \lor q) \land (\lnot q \lor r) \Rightarrow (\lnot p \lor r)\) Disebut campuran , karena bentuk awal berupa implikasi dan yang kedua disjungsi , lalu disimpulkan dengan resolusi . \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Baris} & p & q & r & p \rightarrow q & \lnot q \lor r & (p \rightarrow q) \land (\lnot q \lor r) & \lnot p \lor r & (p \rightarrow q) \land (\lnot q \lor r) \Rightarrow \lnot p \lor r \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 8 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

Silogisme disjungtif

$(A \lor B) \land \neg A \Rightarrow B$

Constructive dilemma

$(A \lor B) \land \ A \rightarrow C \Rightarrow C \lor B$

Silogisme Kategorik

Premis 1 : Semua $F$ adalah $I$ Premis 2 : Semua $F \land R$ adalah $B$ Simpulan : Semua $F$ adalah $I$ \[ \begin{array}{|c|c|c|c||c|c|c||c|} \hline F & I & R & B & F \rightarrow I & (F \land R) \rightarrow B & P_1 \land P_2 & (P_1 \land P_2) \rightarrow (F \rightarrow I) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \]\(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{Identitas logika}\)
\begin{array}{|c|c|c|}

\hline
\textbf{Nama} & \textbf{Bentuk Proposisi} & \textbf{Ekuivalensi} \\
\hline
\text{Kontraposisi} & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p \\

\hline
\text{Hukum Identitas} & p \land T & p \\
& p \lor F & p \\

\hline
\text{Hukum Dominasi} & p \lor T & T \\
& p \land F & F \\

\hline
\text{Hukum Idempoten} & p \lor p & p \\
& p \land p & p \\
\hline
\text{Hukum Negasi} & p \lor \neg p & T\\
& p \land \neg p & F \\

\hline
\text{Hukum Komutatif} & p \lor q & q \lor p\\
& p \land q & q \land p \\

\hline
\text{Hukum Asosiatif} & (p \lor q) \lor r & p \lor (q \lor r)\\
& (p \land q) \land r & p \land (q \land r) \\

\hline
\text{Hukum Distributif} & p \lor (q \land r) & (p \lor q) \land (p \lor r)\\
& p \land (q \lor r) & (p \land q) \lor (p \land r) \\

\hline
\text{Hukum De Morgan} & \neg (p \lor q) & \neg p \land \neg q\\
& \neg (p \land q) & \neg p \lor \neg q \\

\hline
\end{array}

\begin{array}{|c|l|l|l|}
\hline
\textbf{Proposisi} & \textbf{Bentuk Proposisi} & \textbf{Logika Predikat Verbal} & \textbf{Logika Predikat Simbolik} \\
\hline
\text{A} & \text{Semua A adalah B} & \text{Untuk semua } x, \text{ jika } x \text{ adalah A, maka } x \text{ adalah B} & \forall x (A(x) \rightarrow B(x)) \equiv \neg \exists x (A(x) \land \neg B(x)) \\
\hline
\text{E} & \text{Tidak ada A adalah B} & \text{Tidak ada } x, \text{ jika } x \text{ adalah A, maka } x \text{ adalah B} & \forall x (A(x) \rightarrow \neg B(x)) \equiv \neg \exists x (A(x) \land B(x)) \\
\hline
\text{I} & \text{Beberapa A adalah B} & \text{Ada } x, \text{ sedemikian sehingga } x \text{ adalah A dan } x \text{ adalah B} & \exists x (A(x) \land B(x)) \\
\hline
\text{O} & \text{Beberapa A bukan B} & \text{Ada } x, \text{ sedemikian sehingga } x \text{ adalah A dan } x \text{ bukan B} & \exists x (A(x) \land \neg B(x)) \\
\hline
\end{array}

\(\equiv\) adalah Ekivalen atau setara

\(p \Rightarrow q \equiv \sim p \lor q\)

\begin{array}{c|c|c|c|c} p & q & p \Rightarrow q & \sim p & \sim p \lor q \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

\(\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q \) (De Morgan)

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} p & q & p \land q & \sim(p \land q) & \sim p & \sim q & \sim p \lor \sim q \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

\(\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q \) (De Morgan)

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} p & q & p \lor q & \sim(p \lor q) & \sim p & \sim q & \sim p \land \sim q \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

\(p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \Rightarrow q & q \Rightarrow p & (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) & p \Leftrightarrow q \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}

\( \sim(\sim p) \equiv p\)

\begin{array}{c|c|c} p & \sim p & \sim(\sim p) \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array}

\(\lnot (p \rightarrow q) \equiv p \land \lnot q \)

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{No} & p & q & p \rightarrow q & \lnot(p \rightarrow q) & \lnot q & p \land \lnot q \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \]\[
\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|c||c|c|c|}
\hline
\text{No} & p & q & \sim p & \sim q & p \land q & p \lor q & p \oplus q & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p & q \Rightarrow p & p \Leftrightarrow q \\
\hline
& & & \frac{Not}{Ingkaran} p & \frac{Not}{Ingkaran} q & \text{And (konjungsi)} & \text{Or (disjungsi)} & \text{Xor (eksklusif)} & \text{Implikasi} & \text{Kontraposisi} & \text{Konvers} & \text{Biimplikasi} \\
& & & & & & & & & & \text{Tidak digunakan} & \\

\hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

\(\text{-} \quad \sim q \Rightarrow \sim p \quad \text{kontraposisi dari } p \Rightarrow q \)
\(\text{Simbol } \therefore \text{ dibaca "Jadi" atau "karena itu" atau "maka"}.\)

\begin{array}{|c|l|l|}
\hline
\text{No} & \text{Kata} & \sim \text{kata (ingkaran)} \\
\hline
1 & \text{Semua} & \text{Tidak Semua, Ada, Beberapa, Sesuatu} \\
2 & \text{Perlu} & \text{Tidak Perlu} \\
3 & \text{Dan} & \text{Atau} \\
4 & \text{Ada / Beberapa} & \text{Semua... tidak...} \\
5 & \text{Sama dengan } (=) & \text{Tidak sama dengan } (\neq) \\
6 & \text{Lebih dari } (>) & \text{Kurang dari atau sama dengan } (\leq) \\
7 & \text{Lebih dari atau sama dengan } (\geq) & \text{Kurang dari } (<) \\
8 & \text{Kurang dari } (<) & \text{Lebih dari atau sama dengan } (\geq) \\
9 & \text{Kurang dari atau sama dengan } (\leq) & \text{Lebih dari } (>) \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \land q & p \lor q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\
\hline
\text{B} & \text{B} & \text{B} & \text{B} & \text{B} & \text{B} \\
\text{B} & \text{S} & \text{S} & \text{B} & \text{S} & \text{S} \\
\text{S} & \text{B} & \text{S} & \text{B} & \text{B} & \text{S} \\
\text{S} & \text{S} & \text{S} & \text{S} & \text{B} & \text{B} \\
\hline
\end{array}
\begin{aligned}
\text{Konvers:} &\quad q \Rightarrow p \\
\text{Invers:} &\quad \sim p \Rightarrow \sim q \\
\text{Kontraposisi:} &\quad \sim q \Rightarrow \sim p
\end{aligned}

\begin{aligned}
\text{sifat Implikasi} \\
1.&\quad p \Rightarrow q \equiv \sim p \lor q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p \\
2.&\quad q \Rightarrow p \equiv \sim q \lor p \equiv \sim p \Rightarrow \sim q \\

\end{aligned}

Simbol-simbol kuantor

dalam logika matematika dibaca sebagai berikut:

Simbol ∀ (Kuantor Universal)

Simbol: $\forall$
Arti: “ Untuk semua ” atau “ Setiap ”
Contoh bacaan:

\(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0 \)
→ “Untuk semua $x$ di himpunan bilangan real, $x^2$ lebih besar atau sama dengan nol.”

Simbol ∃ (Kuantor Eksistensial)

Simbol: $\exists$
Arti: “ Ada ” atau “ Terdapat ”
Contoh bacaan:
\(\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = 25\)
→ “Ada bilangan bulat $x$ sehingga $x^2 = 25$.”

🔁 Kombinasi Keduanya
Terkadang keduanya digabung:
\(\forall x\ \exists y\ (x < y)\)

→ “Untuk setiap $x$, ada $y$ sehingga $x < y$”
Artinya: Tak ada angka terbesar — selalu ada angka yang lebih besar.
\[ \begin{array}{|c|l|l|} \hline \textbf{No} & \textbf{Kalimat Bahasa Natural} & \textbf{Simbol Logika} \\ \hline 1 & \text{Semua A adalah B} & \forall x [A(x) \rightarrow B(x)] \\ \hline 2 & \text{Sebagian A adalah B} & \exists x [A(x) \land B(x)] \\ \hline 3 & \text{Tidak semua A adalah B} & \exists x [A(x) \land \neg B(x)] \\ \hline 4 & \text{Tidak ada A yang B} & \forall x [A(x) \rightarrow \neg B(x)] \\ \hline 5 & \text{Semua A bukan B} & \forall x [A(x) \rightarrow \neg B(x)] \\ \hline 6 & \text{Sebagian A bukan B} & \exists x [A(x) \land \neg B(x)] \\ \hline 7 & \text{Jika A maka B} & A(x) \rightarrow B(x) \\ \hline 8 & \text{A dan B} & A(x) \land B(x) \\ \hline 9 & \text{A atau B} & A(x) \lor B(x) \\ \hline 10 & \text{Tidak A} & \neg A(x) \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{ll} \text{Kalimat alami} & \text{Simbol logika} \\ \hline \text{Semua yang suka A juga suka B} & \forall x\ (A(x) \rightarrow B(x)) \\ \text{Semua yang suka A dan suka B} & \forall x\ (A(x) \land B(x)) \\ \text{Ada yang suka A dan suka B} & \exists x\ (A(x) \land B(x)) \\ \text{Ada yang suka A tetapi tidak suka B} & \exists x\ (A(x) \land \lnot B(x)) \\ \text{Tidak ada yang suka A dan B} & \lnot \exists x\ (A(x) \land B(x)) \\ \text{Semua tidak suka A} & \forall x\ (\lnot A(x)) \\ \text{Jika suka A maka tidak suka B} & \forall x\ (A(x) \rightarrow \lnot B(x)) \\ \text{Ada yang tidak suka A dan tidak suka B} & \exists x\ (\lnot A(x) \land \lnot B(x)) \\ \text{Semua yang suka A juga suka B dan C} & \forall x\ (A(x) \rightarrow (B(x) \land C(x))) \\ \text{Ada yang suka A atau suka B} & \exists x\ (A(x) \lor B(x)) \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{ll} \text{Semua yang suka A atau suka B pasti suka C} & \forall x\ ((A(x) \lor B(x)) \rightarrow C(x)) \\ \text{Semua yang suka A tidak suka B} & \forall x\ (A(x) \rightarrow \lnot B(x)) \\ \text{Tidak semua yang suka A suka B} & \lnot \forall x\ (A(x) \rightarrow B(x)) \\ \text{Semua A adalah B, tetapi tidak semua B adalah A} & \left\{ \begin{array}{l} \forall x\ (A(x) \rightarrow B(x)) \\ \lnot \forall x\ (B(x) \rightarrow A(x)) \end{array} \right. \\ \text{Tidak semua A adalah B} & \exists x\ (A(x) \land \lnot B(x)) \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{|l|c|} \hline \text{Kondisi Evaluasi} & \text{Hasil} \\ \hline \text{Premis } \exists x\, (P(x)) \text{ terpenuhi sekali saja} & \checkmark \text{ Premis benar} \\ \text{Semua premis (universal dan eksistensial) benar} & \checkmark \text{ Simpulan boleh ditarik} \\ \text{Premis eksistensial tidak terpenuhi sama sekali} & \times \text{ Tidak boleh tarik simpulan} \\ \hline \end{array} \]

Dalam logika predikat (kuantor)

, terdapat dua hukum dasar kuantor , khususnya mengenai ingkaran (negasi) , yaitu:

Hukum Ingkaran Kuantor Universal

\( \lnot (\forall x\ P(x)) \equiv \exists x\ \lnot P(x) \)

> "Tidak semua $x$ memenuhi P(x)" sama artinya dengan
> "Ada paling tidak satu $x$ yang tidak memenuhi P(x)"
Contoh: $\lnot (\forall x, x \geq 0)$
↔ $\exists x, x < 0$
---

2. Hukum Ingkaran Kuantor Eksistensial

\( \lnot (\exists x\ P(x)) \equiv \forall x\ \lnot P(x) \)
> "Tidak ada satu pun $x$ yang memenuhi P(x)" sama artinya dengan
> "Untuk semua $x$, $x$ tidak memenuhi P(x)"
Contoh:

$\lnot (\exists x, x < 0)$
↔ $\forall x, x \geq 0$
1. Negasi Kuantor Eksistensial
\(\lnot (\exists x\, P(x)) \equiv \forall x\, \lnot P(x) \)

2. Negasi Kuantor Universal
\(\lnot (\forall x\, P(x)) \equiv \exists x\, \lnot P(x) \)

3. Universal Instantiation (UI)
\(\forall x\, P(x) \Rightarrow P(a) \)

4. Existential Instantiation (EI)
\(\exists x\, P(x) \Rightarrow P(a) \)

5. Universal Generalization (UG)
\(P(a) \text{ untuk semua } a \Rightarrow \forall x\, P(x) \)

6. Existential Generalization (EG)
\(P(a) \Rightarrow \exists x\, P(x) \)