Rumus-Rumus Statistika
1. Rata-rata (rataan) hitung \( \bar{x} \)
Rumus umum:
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n} \)
atau
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \)
\( n \) = banyak data
\( x_i \) = data ke-\( i \)
\( i = 1, 2, 3, \dots, n \)
Contoh:
Diketahui 9 data: 2, 2, 8, 3, 3, 3, 3, 2, 10
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{2+2+8+3+3+3+3+2+10}{9} \)
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{36}{9} = 4 \)
2. Rata-rata hitung \( \bar{x} \) (dalam daftar frekuensi)
Rumus:
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{f_1x_1 + f_2x_2 + f_3x_3 + \dots + f_nx_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \dots + f_n} \)
atau
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
\( f_i \) = banyak data \( x_i \)
\( x_i \) = data pada kelompok ke-\( i \)
\( n = f_1 + f_2 + f_3 + \dots + f_n \)
Contoh:
| \( x_i \) | \( f_i \) |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 8 | 1 |
| 10 | 1 |
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{3.2 + 4.3 + 1.8 + 1.10}{3+4+1+1} \)
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{36}{9} = 4 \)
3. Modus \( (M_o) \)
Modus adalah data dengan frekuensi terbesar.
Jika datum \( x = 3 \) memiliki frekuensi terbesar \( (f = 4) \), maka \( M_o = 3 \).
4. Median \( (Me) \)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari datum terkecil.
Jika banyak data \( n \) ganjil:
\( \displaystyle Me = x_{\frac{n+1}{2}} \)
Jika banyak data \( n \) genap:
\( \displaystyle Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \)
Contoh:
Data: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 8, 10
\( n = 9 \) (ganjil)
\( \displaystyle Me = x_{\frac{9+1}{2}} = x_5 = 3 \)
5. Kuartil \( (Q) \)
Kuartil adalah nilai yang membagi sekumpulan data yang telah disusun berurutan menjadi 4 bagian yang sama banyak.
\( Q_2 = Me \)
Kuartil bawah: \( Q_1 \)
Kuartil tengah: \( Q_2 \)
Kuartil atas: \( Q_3 \)
Contoh:
Data: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 8, 10
\( Q_1 = \frac{2+2}{2} = 2 \)
\( Q_2 = 3 \)
\( Q_3 = \frac{3+8}{2} = 5,5 \)
6. Statistik lima serangkai
Statistik lima serangkai terdiri dari:
Datum terkecil \( X_{min} \)
Kuartil bawah \( Q_1 \)
Kuartil tengah \( Q_2 \)
Kuartil atas \( Q_3 \)
Datum terbesar \( X_{maks} \)
Contoh:
\( X_{min} = 2 \)
\( Q_1 = 2 \)
\( Q_2 = 3 \)
\( Q_3 = 5,5 \)
\( X_{maks} = 10 \)
7. Rataan tiga (RT)
\( \displaystyle RT = \frac{Q_1 + 2Q_2 + Q_3}{4} \)
Contoh:
\( \displaystyle RT = \frac{2 + 2.3 + 5,5}{4} \)
\( \displaystyle RT = \frac{13,5}{4} = 3,375 \)
8. Rataan Kuartil (RQ)
\( \displaystyle RQ = \frac{Q_1 + Q_3}{2} \)
Contoh:
\( \displaystyle RQ = \frac{2 + 5,5}{2} = 3,75 \)
9. Jangkauan (J)
Jangkauan adalah selisih datum terbesar dan datum terkecil.
\( \displaystyle J = X_{maks} - X_{min} \)
\( \displaystyle J = 10 - 2 = 8 \)
10. Hamparan H (Jangkauan antar-kuartil)
\( \displaystyle H = Q_3 - Q_1 \)
\( \displaystyle H = 5,5 - 2 = 3,5 \)
11. Simpangan Kuartil \( (Qd) \) (jangkauan semi antar kuartil)
\( \displaystyle Qd = \frac{1}{2} H \)
atau
\( \displaystyle Qd = \frac{1}{2}(Q_3 - Q_1) \)
Contoh:
\( \displaystyle Qd = \frac{1}{2} \cdot 3,5 = 1,75 \)
12. Simpangan rata-rata (SR)
\( \displaystyle SR = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} \)
atau
\( \displaystyle SR = \frac{\sum f_k |x_k - \bar{x}|}{\sum f_k} \)
Contoh:
\( n = 9, \quad \bar{x} = 4 \)
\( x_1 = 2, \quad f_1 = 3 \)
\( x_2 = 3, \quad f_2 = 4 \)
\( x_3 = 8, \quad f_3 = 1 \)
\( x_4 = 10, \quad f_4 = 1 \)
\( \displaystyle SR = \frac{3|2-4| + 4|3-4| + 1|8-4| + 1|10-4|}{3+4+1+1} \)
\( \displaystyle SR = \frac{3.2 + 4.1 + 1.4 + 1.6}{9} \)
\( \displaystyle SR = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \)
13. Ragam \( R \) (Variansi)
\( \displaystyle R = S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \)
atau
\( \displaystyle R = S^2 = \frac{\sum f_k (x_k - \bar{x})^2}{\sum f_k} \)
Contoh:
\( \displaystyle R = \frac{3(2-4)^2 + 4(3-4)^2 + 1(8-4)^2 + 1(10-4)^2}{3+4+1+1} \)
\( \displaystyle R = \frac{3.4 + 4.1 + 1.16 + 1.36}{9} \)
\( \displaystyle R = \frac{68}{9} \)
\( \displaystyle S^2 = \frac{68}{9} = 7\frac{5}{9} \)
14. Simpangan Baku \( (S) \) (Deviasi standar)
\( \displaystyle S = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} \)
atau
\( \displaystyle S = \sqrt{\frac{\sum f_k (x_k - \bar{x})^2}{\sum f_k}} \)
Contoh:
\( \displaystyle S^2 = \frac{68}{9} \)
\( \displaystyle S = \sqrt{\frac{68}{9}} = \sqrt{\frac{4.17}{9}} \)
\( \displaystyle S = \frac{2}{3}\sqrt{17} \)
15. Koefisien Keragaman \( (V) \)
Merupakan ukuran penyebaran relatif dari data.
\( \displaystyle V = \frac{\text{simpangan baku}}{\text{rata-rata hitung}} \times 100\% \)
atau
\( \displaystyle V = \frac{S}{\bar{x}} \times 100\% \)
Contoh:
\( \displaystyle V = \frac{\frac{2}{3}\sqrt{17}}{4} \times 100\% \)
\( \displaystyle V = \frac{1}{6}\sqrt{17} \times 100\% \)
\( \displaystyle V = 0,687 \times 100\% \)
\( \displaystyle V = 68,7\% \)
B. Perubahan Data
Apabila setiap data ditambah/dikurangi \( (p) \)
Rata-rata (mean), median, dan modus
\( \Rightarrow \) ikut ditambah/dikurangi \( (p) \)
Jangkauan dan simpangan
\( \Rightarrow \) TETAP
Apabila setiap data dikali/dibagi \( (p) \)
Semua data \( \Rightarrow \) ikut dikali/dibagi \( (p) \)
Dengan kata lain:
Rata-rata, median dan modus, jangkauan, dan simpangan
\( \Rightarrow \) ikut dikali/dibagi \( (p) \)
C. Penggabungan/Penambahan dan Pengurangan Data
Penambahan Data
\( \displaystyle \bar{x}_b = \frac{m\bar{x} + n y}{m + n} \)
Pengurangan Data
\( \displaystyle \bar{x}_b = \frac{m\bar{x} - n y}{m - n} \)
Keterangan:
\( \bar{x} \) = rata-rata lama
\( \bar{x}_b \) = rata-rata baru
\( y \) = nilai data yang ditambahkan atau yang dikurangkan
\( n \) = frekuensi data yang ditambahkan atau dikurangkan
\( m \) = jumlah frekuensi seluruh data lama
D. Perbandingan Jumlah Data
Misalkan, suatu kelas diketahui data berikut:
\( \bar{x}_a \) = rata-rata nilai ujian kelas A
\( \bar{x}_b \) = rata-rata nilai ujian kelas B
\( \bar{x} \) = rata-rata gabungan A dan B
Berlaku:
\( \displaystyle \frac{\text{Banyak siswa A}}{\text{Banyak siswa B}} = \frac{\bar{x}_b - \bar{x}}{\bar{x} - \bar{x}_a} \)
atau
\( \displaystyle \text{Banyak siswa A} : \text{Banyak siswa B} = (\bar{x}_b - \bar{x}) : (\bar{x} - \bar{x}_a) \)
E. Statistik Deskriptif untuk Data Berkelompok
Rataan Hitung \( (\bar{x}) \)
\( \displaystyle \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \)
Catatan:
Untuk mempermudah pengerjaan, data harus disajikan ke dalam bentuk tabel terlebih dahulu.
Modus \( (Mo) \)
Modus adalah nilai yang sering muncul.
\( \displaystyle Mo = t_b + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right)c \)
Dengan:
\( t_b \) = tepi bawah kelas modus
\( d_1 \) = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
\( d_2 \) = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
\( c \) = panjang kelas
Median dan Kuartil
Langkah-langkah mencari MEDIAN dan KUARTIL:
1. Hitunglah jumlah frekuensi, misalkan jumlah frekuensi = \( n \).
2. Tentukan nilai dari \( \frac{1}{4}n \), \( \frac{1}{2}n \), dan \( \frac{3}{4}n \).
Untuk mencari \( Q_1 \), tandai kelompok data yang memuat data ke \( \frac{1}{4}n \).
Untuk mencari \( Q_2 \), tandai kelompok data yang memuat data ke \( \frac{1}{2}n \).
Untuk mencari \( Q_3 \), tandai kelompok data yang memuat data ke \( \frac{3}{4}n \).
Untuk mencari \( Q_3 \), tandai kelompok data yang memuat data ke \( \frac{3}{4}n \).
3. Kemudian hitunglah menggunakan rumus di bawah ini.
Kuartil \( (Q) \)
\( \displaystyle Q = t_b + \left( \frac{a - (\sum f)}{f} \right)c \)
Keterangan:
\( t_b \) = tepi bawah kelas yang memuat \( Q \)
\( (\sum f) \) = jumlah seluruh frekuensi sebelum kuartil \( Q \)
\( f \) = frekuensi pada kelas yang memuat \( Q \)
\( c \) = panjang kelas
\( a = \frac{1}{4}n \) untuk \( Q_1 \), \( a = \frac{1}{2}n \) untuk \( Q_2 \), dan \( a = \frac{3}{4}n \) untuk \( Q_3 \)