Materi: Matematika (Bangun Ruang)

Lingkaran

Pengertian Lingkaran

Lingkaran (circle) adalah lengkung tertutup yang semua titik pada lengkung itu berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu (titik O) pada lengkung tersebut. Titik O disebut pusat lingkaran dan jarak tersebut disebut jari-jari (dinotasikan dengan r).

Unsur-unsur Lingkaran

Pusat lingkaran (titik O)
Jari-jari lingkaran (OA = OB)
Diameter atau garis tengah (ruas garis AB)
Busur (garis lengkung EF, IH, dan CD)
Tali busur (ruas garis EF)
Apotema tali busur (garis OG ⟂ EF)
Tembereng (daerah yang dibatasi busur EF dan tali busur EF)
Juring (daerah yang dibatasi dua jari-jari)

Rumus Dasar

$d = 2r \quad \text{atau} \quad r = \tfrac{1}{2} d$
$K = \pi d \quad \text{atau} \quad K = 2\pi r$
$L = \pi r^2 \quad \text{atau} \quad L = \tfrac{1}{4}\pi d^2$

Dengan: $K$ = keliling lingkaran, $L$ = luas lingkaran.

Nilai $\pi$

$\pi \approx 3{,}14 \quad \text{atau} \quad \pi \approx \dfrac{22}{7}$

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang menghadap busur lingkaran.

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran.

$\angle BOC \text{ adalah sudut pusat}$
$\angle BAC \text{ adalah sudut keliling}$
$\angle BAC = \tfrac{1}{2} \angle BOC$
$\angle BOC = 2 \angle BAC$

Panjang Busur Dan Luas Juring

Juring adalah daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur yang diapit oleh kedua jari-jari tersebut. Temberang adalah daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur dihadapan tali busur. ---
🟨 Panjang busur berbanding lurus dengan keliling lingkaran:
$ \text{Panjang Busur} = \frac{\text{sudut pusat}}{180^\circ} \times \pi r $
Luas juring berbanding lurus dengan luas lingkaran:
$ \text{Luas Juring} = \frac{\text{sudut pusat}}{360^\circ} \times \pi r^2 $

Persegi

Rumus Persegi ABCD

Keliling (K) = AB + BC + CD + DA

Luas (L) = AB. CD

Persegi Panjang

Rumus Persegi ABCD

Keliling (K) = AB + BC + CD + DA

Luas (L) = AB. CD

Segitiga

Keliling $\triangle ABC = \overline{AB} + \overline{BC}+ \overline{CA}$ Luas $\triangle DBC$ Cara 1 : Luas $\triangle DBC = \frac{1}{2} . \overline{DB} . \overline{DC}$ atau biasa disebut Luas $\triangle DBC = \frac{1}{2}. Alas. Tinggi $ Cara 2 : Luas $\triangle DBC = \frac{1}{2} . \overline{DB} . \overline{BC}. Sin \space \alpha$ Luas $\triangle ABC$ Cara 1 : Luas $\triangle ABC = \frac{1}{2} . \overline{AB} . \overline{DC}$ atau biasa disebut Luas $\triangle ABC = \frac{1}{2}. Alas. Tinggi $ Cara 2 : Luas $\triangle ABC = \frac{1}{2} . \overline{AB} . \overline{BC}. Sin \space \alpha$Luas Segitiga

Misalkan segitiga ABC memiliki panjang alas a dan tinggi t. Garis tinggi segitiga adalah garis dari sebuah titik sudut yang tegak lurus sisi di hadapannya.

$\text{Luas } \triangle ABC = \tfrac{1}{2}\, a\, t$

Dua segitiga yang alas dan tingginya sama panjang mempunyai luas yang sama.

Dua segitiga dengan alas sama AB dan tinggi sama (karena C dan D berada pada garis-garis sejajar). Maka $\;L_{\triangle ABC}=L_{\triangle ABD}$.

Penjelasan Gambar 1: Misalkan garis l₁ dan l₂ sejajar. Titik C berada pada l₁, titik D pada l₂. Karena l₁ ∥ l₂, tinggi $\triangle ABC$ sama dengan tinggi $\triangle ABD$. Alas keduanya adalah $AB$. Maka

$\displaystyle L_{\triangle ABC}=\tfrac12 \,AB\cdot t = L_{\triangle ABD}$

P, Q, R segaris pada PR dan $PQ=QR$. Kedua segitiga $\triangle PQS$ dan $\triangle QRS$ punya puncak sama $S$ (tinggi sama) serta alas sama panjang → luasnya sama.

Penjelasan Gambar 2: Karena $P, Q, R$ segaris pada $PR$ dan $PQ=QR$, maka alas $\overline{PQ}$ dan $\overline{QR}$ sama. Titik puncak sama di $S$ membuat tinggi ke garis $PR$ juga sama. Jadi

$\displaystyle L_{\triangle PQS}=L_{\triangle QRS}$

(ii) Perbandingan Luas: Alas Sama atau Tinggi Sama

Dua segitiga yang alas atau tingginya sama, perbandingan luasnya dapat dinyatakan sebagai perbandingan tinggi atau perbandingan alas (berturut-turut).

Jika tinggi sama ($t_1 = t_2$) maka
$\displaystyle \frac{L_1}{L_2}=\frac{a_1}{a_2}$
Jika alas sama ($a_1 = a_2$) maka
$\displaystyle \frac{L_1}{L_2}=\frac{t_1}{t_2}$

Garis atas dan bawah sejajar. Tinggi segitiga $\triangle ABC$ dan $\triangle ADE$ sama.

Sebagai contoh (Gambar 3): Garis $l_1 \parallel l_2$ sehingga tinggi $\triangle ABC$ dan $\triangle ADE$ sama. Maka perbandingan luas sama dengan perbandingan alas:

$\displaystyle \frac{L_{\triangle ABC}}{L_{\triangle ADE}}=\frac{AB}{AD}$

Alas kedua segitiga sama, yaitu $PR$. Maka $\displaystyle \frac{L_{\triangle PRS}}{L_{\triangle PRQ}}=\frac{t_1}{t_2}$.

Contoh lain (Gambar 4): Alas kedua segitiga sama, yaitu $PR$. Akibatnya perbandingan luas sama dengan perbandingan tinggi ke garis $PR$:

$\displaystyle \frac{L_{\triangle PRS}}{L_{\triangle PRQ}}=\frac{t_1}{t_2}$

(iii) Perbandingan Luas: Satu Sudut Sama

Dua segitiga yang memiliki satu sudut sama, perbandingan luasnya sama dengan perbandingan hasil kali dua sisi yang mengapit sudut tersebut.

$\displaystyle \text{Jika } \angle YXZ = \angle QPR = \theta,\; \frac{L_{\triangle XYZ}}{L_{\triangle PQR}} = \frac{XY\cdot XZ}{PQ\cdot PR} $

Alasan: $L_{\triangle}=\tfrac12\,ab\sin\theta$ untuk dua sisi $a,b$ yang mengapit sudut $\theta$. Jika $\theta$ sama, faktor $\tfrac12\sin\theta$ saling menghapus dalam perbandingan.

Dua segitiga memiliki satu sudut sama $ \theta $. Maka $\displaystyle \frac{L_{\triangle ABC}}{L_{\triangle PQR}}=\frac{AB\cdot AC}{PQ\cdot PR}$.

Sebagai contoh (Gambar 5): $\angle CAB = \angle RPQ = \theta$. Maka

$\displaystyle \frac{L_{\triangle ABC}}{L_{\triangle PQR}} = \frac{AB\cdot AC}{PQ\cdot PR} $

Dua segitiga memiliki sudut sama $ \alpha $ di $B$. Maka $\displaystyle \frac{L_{\triangle ABE}}{L_{\triangle CBD}}=\frac{BE\cdot BA}{BD\cdot BC}$.

Contoh lain (Gambar 6): $\angle ABE = \angle CBD = \alpha$. Maka

$\displaystyle \frac{L_{\triangle ABE}}{L_{\triangle CBD}} = \frac{BE\cdot BA}{BD\cdot BC} $

(iv) Jika ada sebuah segitiga yang salah satu sudutnya berpelurus dengan segitiga yang lain maka perbandingan luas

dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari perkalian dua sisi yang mengapit sudut tersebut.

Sebagai contoh, perhatikan Gambar 7,
pada ΔABC, ∠ACB = α dan pada ΔCDE,
∠DCE = 180° − α, maka ∠ACB berpelurus dengan ∠DCE, sehingga berlaku

\[ \frac{\text{luas } \triangle ABC}{\text{luas } \triangle CDE} = \frac{CA \times CB}{CD \times CE} \]

Kesebangunan Segitiga

Segitiga ABC dan DEF dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut

Ketiga sudutnya sama. Dengan kata lain
$\angle A = \angle D,\quad \angle B = \angle E$ dan $\angle C = \angle F$.
Jika diperhatikan syarat sebenarnya hanyalah dua buah sudutnya sama sebab sudut ketiga akan sama jika dua sudut lainnya sama.
Sisi-sisinya memiliki perbandingan yang sama.
\[ \frac{EF}{BC} \;=\; \frac{DF}{AC} \;=\; \frac{DE}{AB} \]
Dua sisi memiliki perbandingan yang sama dan sudut yang diapit kedua sisi tersebut juga sama.
\[ \frac{AB}{DE} \;=\; \frac{AC}{DF} \quad \text{dan} \quad \angle A \;=\; \angle D. \]

sehingga berlaku

\[ \frac{\text{Luas } \triangle DEF}{\text{Luas } \triangle ABC} \;=\; \left(\frac{EF}{BC}\right)^{2} \;=\; \left(\frac{DF}{AC}\right)^{2} \;=\; \left(\frac{DE}{AB}\right)^{2} \]

Sedangkan segitiga yang memiliki sisi-sisi yang sama dikatakan kongruen (sama dan sebangun).

Dua buah segitiga kongruen (sama dan sebangun) memiliki luas yang sama.

Garis Bagi Sudut — Incenter & Sudut-Sudutnya Garis Bagi Sudut — Incenter & Sudut-Sudutnya

Garis Bagi Sudut pada Segitiga

Ambil segitiga ABC dengan sudut: ∠A = A°, ∠B = B°, ∠C = C° dan sisi di hadapan sudut A,B,C berturut-turut a,b,c.

1) Definisi Singkat

Garis bagi sudut (angle bisector) dari ∠A adalah garis dari A yang membagi ∠A menjadi dua sudut sama besar.
Garis bagi dari A, B, C berpotongan di satu titik I yang disebut incenter (pusat lingkaran dalam).
Lingkaran berpusat di I dan menyinggung ketiga sisi disebut lingkaran dalam (incircle) dengan jari-jari r.

2) Sudut-Sudut di Sekitar Garis Bagi (di Titik A, B, C)

∠BAI = ∠IAC = A/2
∠ABI = ∠IBC = B/2
∠BCI = ∠ICA = C/2

Artinya, masing-masing garis bagi memotong sudut di puncaknya menjadi dua bagian sama besar.

3) Sudut-Sudut di Pusat Lingkaran Dalam (Incenter I)

Hubungan klasik yang sangat sering dipakai:

∠BIC = 90° + A/2
∠CIA = 90° + B/2
∠AIB = 90° + C/2

Jumlah ketiganya memang 360°.

4) Teorema Garis Bagi (Angle Bisector Theorem)

Jika garis bagi dari A memotong BC di titik T, maka

BT / TC = AB / AC = c / b

Versi panjang garis bagi dari A (opsional, berguna untuk hitung cepat):

AI = 2·√(b·c·s·(s−a)) / (b + c)

AI² = b·c · (1 − a² / (b + c)²)

dengan s = (a+b+c)/2 (setengah keliling).

5) Lingkaran Dalam (Incircle) & Jari-Jari r

Jarak I ke setiap sisi sama dengan r (karena jari-jari tegak lurus sisi di titik singgung).
Luas segitiga: Δ = r · s ⇒ r = Δ / s.
Dengan Rumus Heron: Δ = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), sehingga r = √((s−a)(s−b)(s−c)/s).
Titik singgung pada BC, CA, AB misalnya D, E, F memenuhi AF = AE, BD = BF, CD = CE (tangent dari satu titik luar sama panjang).

6) Perbandingan dengan Garis Bagi Tegak Lurus

Garis bagi sudut → berpotongan di I (incenter) → pusat lingkaran dalam.
Garis bagi tegak lurus sisi → berpotongan di O (circumcenter) → pusat lingkaran keliling. Sudut pusat di O memenuhi: ∠XOY = 2 × (sudut keliling yang menatap busur XY).

7) Sudut-Sudut Tambahan yang Sering Ditanya

Objek	Hubungan Sudut
Sudut di I antara dua garis bagi	∠BIC = 90° + A/2, dll.
Sudut di titik singgung D pada BC	ID ⟂ BC, jadi ∠IDB = ∠IDC = 90°.
Segitiga kontak (DEF)	∠BDF = 90° − B/2, ∠CED = 90° − C/2, ∠A FE = 90° − A/2 (opsional).
Excenter I_A (perpotongan garis bagi luar di A)	∠BI_A C = 90° − A/2

8) Contoh Hitung Sudut

Misal A = 50°, B = 60°, maka C = 70°. Dari butir (3): ∠AIB = 90° + C/2 = 90° + 35° = 125°, ∠BIC = 90° + A/2 = 115°, ∠CIA = 90° + B/2 = 120°.
Garis bagi di puncak A: ∠BAI = ∠IAC = 25°.

9) Contoh Hitung r (Jari-Jari Lingkaran Dalam)

Ambil a = 7, b = 8, c = 9 ⇒ s = (7+8+9)/2 = 12.

Luas dengan Heron: Δ = √(12·5·4·3) = √720 = 12√5. Maka r = Δ/s = (12√5)/12 = √5.

Garis Bagi (Bisektor) — Ilustrasi

Garis Bagi (Bisektor)

Garis/ruas/sinar yang membagi objek geometri menjadi dua bagian yang sama besar.

1) Garis Bagi Sudut

Bisektor sudut melalui titik puncak dan membagi ∠BAC menjadi dua sudut sama besar.

2) Garis Bagi Ruas Garis (Perpendicular Bisector)

Garis bagi ruas melalui titik tengah M dan tegak lurus terhadap AB.

3) Garis Bagi Segitiga (Incenter)

Pada segitiga, tiga garis bagi sudut berpotongan di satu titik incenter, pusat lingkaran dalam segitiga.

Sudut Dalam Segitiga

∠A + ∠B + ∠C = 180°
Sama kaki (AB = AC)
∠B = ∠C
Sama sisi (AB = AC = BC)
∠A = ∠B = ∠C

Sudut Luar segitiga

Jajaran Genjang

Jajargenjang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Ciri-ciri jajargenjang antara lain:

1. Memiliki dua pasang sisi sejajar.
2. Jumlah sudut yang berhadapan adalah 180°.
3. Memiliki dua pasang sudut yang sama besar.

Keliling = a + b + c + d Luas = a x t.
Trapesium

Trapezium adalah segiempat yang memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

**Sifat-sifat pada trapezium:**

i) Trapezium memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

ii) Jumlah sudut-sudut berdekatan pada garis sejajar suatu trapezium adalah 180°.

Trapezium samakaki memiliki sifat berikut.

1. Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

2. Memiliki dua diagonal bidang yang sama panjang

3. Sudut-sudut alasnya sama besar.

Trapezium samakaki memiliki sifat berikut.

1. Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

2. Memiliki dua sudut siku-siku.

Sudut Dalam Garis Sejajar

Sudut dengan nomor sama besarnya sama.
∠A₁ = ∠B₁
Sudut dengan nomor beda jumlahnya 180°.
∠A₁ + ∠A₂ = 180°

BELAHKETUPAT

Belahketupat adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan kedua diagonal bidangnya tegak lurus. 🟨 **Sebuah belahketupat dengan panjang sisinya** $a$, **maka luas dan keliling belahketupat adalah:** $ L = \frac{d_1 \times d_2}{2} $ $ K = 4a $ $d_1$ : diagonal pertama $d_2$ : diagonal kedua --- **Sifat-sifat belahketupat:** 1. Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. 2. Semua sisi belahketupat adalah sama panjang. 3. Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus. 4. Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar.

LAYANG-LAYANG

Layang-layang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan dua diagonalnya saling tegak lurus. 🟨 Sebuah layang-layang dengan panjang sisi $s_1$ dan $s_2$, maka luas dan keliling belahketupat adalah: $ L = \frac{d_1 \times d_2}{2} $ $ K = 2s_1 + 2s_2 $ $d_1$ : diagonal terpanjang $d_2$ : diagonal terpendek Segi Empat Siklik Lengkap

Segi Empat Siklik (ABCD)

Segi empat siklik adalah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak pada sebuah lingkaran.

Notasi Dasar

Sisi: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d
Diagonal: AC = e, BD = f
Sudut: ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ, ∠D = δ
M = pusat lingkaran
P = titik potong diagonal AC dan BD

Sudut Keliling

Definisi: Sudut yang puncaknya berada di keliling lingkaran dan kaki-kakinya melalui dua titik lain di lingkaran.
Contoh di segi empat ABCD:
- α = ∠DAB menghadap busur DB.
- β = ∠ABC menghadap busur AC.
- γ = ∠BCD menghadap busur BD.
- δ = ∠CDA menghadap busur AB.
Sifat penting: Dua sudut keliling yang menghadap busur sama besarnya sama.
Jumlah sudut berhadapan: α + γ = 180°, β + δ = 180°.

Sudut Pusat (M)

Definisi: Sudut yang puncaknya di pusat lingkaran M, menghadap busur yang sama dengan suatu sudut keliling.
Sifat: Sudut pusat = 2 × sudut keliling yang menghadap busur sama.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Busur	Sudut Pusat	Sudut Keliling	Hubungan
BD	∠BMD	∠BAD	∠BMD = 2 × ∠BAD
BC	∠BMC	∠BAC, ∠BDC	∠BMC = 2 × ∠BAC = 2 × ∠BDC
AC	∠AMC	∠ABC, ∠ADC	∠AMC = 2 × ∠ABC = 2 × ∠ADC
AD	∠AMD	∠ABD, ∠ACD	∠AMD = 2 × ∠ABD = 2 × ∠ACD

Titik P (Perpotongan Diagonal)

Definisi: P = AC ∩ BD.
Power of a Point: PA · PC = PB · PD.
Sudut pada perpotongan dua tali busur:
- ∠APB = ½ (ukur busur AB + ukur busur CD)
- ∠BPC = ½ (ukur busur BC + ukur busur AD)

Sifat-Sifat Penting Segi Empat Siklik

Sudut berhadapan suplementer: α + γ = 180°, β + δ = 180°.
Sudut keliling yang menghadap busur sama besarnya sama.
Hubungan sudut pusat–keliling: ∠pusat = 2 × ∠keliling (untuk busur sama).
Teorema Ptolemaios: e · f = a · c + b · d.

Contoh Perhitungan

Jika sudut keliling β = 34°, maka sudut pusat ∠AMC = 2β = 68°.
Jika PA = 6, PC = 4, PB = 3, maka PD = (PA·PC)/PB = (6·4)/3 = 8.
Jika a = 6, b = 8, c = 5, d = 7, e = 9, maka dari Ptolemaios: 9·f = 6·5 + 8·7 = 30 + 56 = 86 ⇒ f = 86/9.

Segi -n Beraturan

Segi-n beraturan adalah suatu bangun datar yang memiliki sisi sebanyak n dan panjang semua sisinya sama. Gambar di atas adalah contoh segi-n beraturan yaitu segi-12 beraturan. Misalkan panjang sisi suatu segi-n beraturan adalah s maka

Keliling segi-n beraturan = n · s

Jumlah sudut dalam segi-n = (n – 2)180°

Segi-n beraturan dapat dibagi menjadi n buah segitiga sama kaki dengan salah satu sisi panjangnya s dan dua sisi yang lain sama panjang. Karena satu putaran = 360° maka

besarnya sudut pada segitiga di hadapan sisi s = 360° / n

Luas segi-n beraturan = n · Luas segitiga

Isi Tampilkan Daftar

Materi: Matematika (Bangun Ruang)

Lingkaran

Pengertian Lingkaran

Unsur-unsur Lingkaran

Rumus Dasar

Nilai $\pi$

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Panjang Busur Dan Luas Juring

Persegi

Rumus Persegi ABCD

Persegi Panjang

Rumus Persegi ABCD

Segitiga

Dua segitiga yang alas dan tingginya sama panjang mempunyai luas yang sama.

(ii) Perbandingan Luas: Alas Sama atau Tinggi Sama

(iii) Perbandingan Luas: Satu Sudut Sama

(iv) Jika ada sebuah segitiga yang salah satu sudutnya berpelurus dengan segitiga yang lain maka perbandingan luas

Kesebangunan Segitiga

Garis Bagi Sudut pada Segitiga

1) Definisi Singkat

2) Sudut-Sudut di Sekitar Garis Bagi (di Titik A, B, C)

3) Sudut-Sudut di Pusat Lingkaran Dalam (Incenter I)

4) Teorema Garis Bagi (Angle Bisector Theorem)

5) Lingkaran Dalam (Incircle) & Jari-Jari r

6) Perbandingan dengan Garis Bagi Tegak Lurus

7) Sudut-Sudut Tambahan yang Sering Ditanya

8) Contoh Hitung Sudut

9) Contoh Hitung r (Jari-Jari Lingkaran Dalam)

Garis Bagi (Bisektor)

1) Garis Bagi Sudut

2) Garis Bagi Ruas Garis (Perpendicular Bisector)

3) Garis Bagi Segitiga (Incenter)

Sudut Dalam Segitiga

Sudut Luar segitiga

Jajaran Genjang

Sudut Dalam Garis Sejajar

BELAHKETUPAT

LAYANG-LAYANG

Segi Empat Siklik (ABCD)

Notasi Dasar

Sudut Keliling

Sudut Pusat (M)

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Titik P (Perpotongan Diagonal)

Sifat-Sifat Penting Segi Empat Siklik

Contoh Perhitungan

Segi -n Beraturan

Pentagram

Isi