Materi: Matematika (Persamaan Kuadrat)
A. Bentuk Umum dan Diskriminan
Bentuk umum persamaan kuadrat (PK): \(ax^2 + bx + c = 0,\; a \neq 0 \)
Diskriminan: \(D = b^2 - 4ac\)
Jenis akar berdasarkan D
- D > 0 → dua akar real berbeda.
- D = 0 → akar kembar (real sama).
- D < 0 → akar tak real (imajiner konjugat).
Diskriminan & tanda akar
| Syarat | Implikasi |
|---|---|
| D \(\ge\) 0, \(x_1x_2 = \dfrac{c}{a} > 0\) | Kedua akar se-tanda. |
| D \(\ge\) 0, \(x_1x_2 = \dfrac{c}{a} < 0\) | Kedua akar berlainan tanda. |
| \(x_1+x_2= -\dfrac{b}{a} = 0\) | Akar simetris: \(x_1 = -x_2\). |
Catatan: Nilai D juga menentukan jarak antar akar: \(|x_1-x_2| = \dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\).
B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
1) Faktorisasi
Jika dapat difaktorkan: \((x - x_1)(x - x_2)=0\).
\( \Rightarrow x = x_1\) atau \(x = x_2\)
2) Rumus Kuadrat (ABC)
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3) Melengkapkan kuadrat
Ubah ke bentuk \((x+\alpha)^2 = \beta\) lalu ambil akar.
C. Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar
Rumus Vieta
Turunan cepat
- Selisih akar: \(x_1 - x_2 = \pm \dfrac{\sqrt{D}}{a}\)
- Kuadrat jumlah: \((x_1 + x_2)^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2\)
- Jumlah kubik: \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3(x_1 + x_2)(x_1x_2)\)
Rumus praktis (variasi akar)
- Jika akar \(x\) dan \(n x\) ⇒ \(b^2 = (n+1)^2 a c\)
- Jika akar \(x\) dan \(\dfrac{1}{x}\) ⇒ \(c = a\)
- Jika akar \(x\) dan \(-x\) ⇒ \(b = 0\)
Menyusun PK baru dari akar-akar
Untuk akar baru \(p\) dan \(q\), persamaan kuadratnya: x^2 - (p+q)x + pq = 0
Contoh cepat
- Akar baru \(x_1 + x_2\) dan \(x_1 x_2\):
- Akar baru \(\dfrac{1}{x_1}\) dan \(\dfrac{1}{x_2}\):
- \(\Rightarrow a x^2 + b x + c = 0 \text{ setelah penskalaan}\)
\(x^2 - ( (x_1+x_2) + x_1x_2 )x + (x_1+x_2)(x_1x_2) = 0\)
Dengan Vieta: \(x^2 - ( -\frac{b}{a} + \frac{c}{a} )x - \frac{bc}{a^2} = 0\).
\(x^2 - \left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\right)x + \dfrac{1}{x_1x_2}=0)\)
Tip ujian
- Selalu ubah target \(p\), \(q\) ke fungsi dari \(S=-\dfrac{b}{a}\) dan \(P=\dfrac{c}{a}\).
- Susun koefisien baru: \(x^2 - (p+q)x + pq = 0\), lalu hilangkan pecahan dengan mengalikan faktor yang sama.
Rumus Hubungan antara Akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\)
Hubungan aljabar penting antara akar-akar persamaan kuadrat: