Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0)
Lingkaran merupakan himpunan titik-titik pada suatu bidang yang memiliki jarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran. Jarak dari pusat lingkaran ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari.
Pada pembahasan ini akan dikaji secara analitik persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dengan jari-jari \( r \).
1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dan Berjari-jari \( r \)
Misalkan terdapat lingkaran \( L \) yang berpusat di titik \( O(0,0) \) dan memiliki jari-jari \( r \). Ambil sembarang titik \( P(x,y) \) yang terletak pada lingkaran tersebut.
Karena \( P(x,y) \) terletak pada lingkaran, maka jarak titik \( P \) ke pusat \( O \) sama dengan jari-jari, sehingga:
\( OP = r \)
Dengan menggunakan rumus jarak dua titik pada bidang koordinat:
\( OP = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \)
Karena \( OP = r \), maka:
\( \sqrt{x^2 + y^2} = r \)
Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Dengan demikian, persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik \( O(0,0) \) dan memiliki jari-jari \( r \) adalah:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan memiliki jari-jari \( r = 4 \)
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di titik \( O(0, 0) \) dan memiliki jari-jari \( r = 4 \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita mulai dari rumus dasar persamaan lingkaran yang berpusat di titik \( O(0, 0) \).
Rumus persamaan lingkaran dengan pusat \( O(0, 0) \) dan jari-jari \( r \) adalah:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Karena pada soal diketahui \( r = 4 \), maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus.
\( x^2 + y^2 = 4^2 \)
Hitung nilai kuadrat dari 4:
\( 4^2 = 16 \)
Sehingga persamaan lingkarannya menjadi:
\( x^2 + y^2 = 16 \)
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0, 0) \) dan memiliki jari-jari \( 4 \) adalah \( x^2 + y^2 = 16 \).
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik \( (6, -8) \).
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di titik \( O(0, 0) \) dan melalui titik \( (6, -8) \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu jari-jari lingkaran. Karena lingkaran berpusat di \( O(0, 0) \) dan melalui titik \( (6, -8) \), maka panjang jari-jari sama dengan jarak titik \( (6, -8) \) ke pusat.
Gunakan rumus jarak dua titik yang sudah dipelajari di SMA:
\( r = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} \)
Substitusikan titik \( (6, -8) \):
\( r = \sqrt{6^2 + (-8)^2} \)
Hitung kuadrat masing-masing:
\( 6^2 = 36 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Jumlahkan:
\( r = \sqrt{36 + 64} \)
\( r = \sqrt{100} \)
\( r = 10 \)
Sekarang gunakan rumus persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0, 0) \):
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Karena \( r = 10 \), maka:
\( x^2 + y^2 = 10^2 \)
\( x^2 + y^2 = 100 \)
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0, 0) \) dan melalui titik \( (6, -8) \) adalah:
\( x^2 + y^2 = 100 \)
Tentukan jari-jari lingkaran dengan persamaan : \( x^2 + y^2 = 121 \)
Diketahui persamaan lingkaran \( x^2 + y^2 = 121 \). Tentukan panjang jari-jari lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita mulai dari bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik \( O(0, 0) \).
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Perhatikan bahwa pada soal diberikan:
\( x^2 + y^2 = 121 \)
Bandingkan dengan bentuk umum \( x^2 + y^2 = r^2 \). Maka dapat kita lihat bahwa:
\( r^2 = 121 \)
Untuk mencari nilai \( r \), kita ambil akar kuadrat kedua ruas:
\( r = \sqrt{121} \)
\( r = 11 \)
Karena jari-jari adalah panjang (nilai positif), maka jari-jari lingkaran tersebut adalah:
\( r = 11 \)
Tentukan jari-jari lingkaran dengan persamaan : \( x^2 + y^2 = 128 \)
Diketahui persamaan lingkaran \( x^2 + y^2 = 128 \). Tentukan panjang jari-jari lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita mulai dari rumus dasar persamaan lingkaran yang berpusat di titik \( O(0, 0) \).
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Bandingkan persamaan pada soal dengan bentuk umum tersebut.
\( x^2 + y^2 = 128 \)
Dari perbandingan ini diperoleh:
\( r^2 = 128 \)
Untuk mencari nilai \( r \), kita ambil akar kuadrat kedua ruas.
\( r = \sqrt{128} \)
Sederhanakan bentuk akar tersebut.
\( 128 = 64 \times 2 \)
\( r = \sqrt{64 \times 2} \)
\( r = \sqrt{64} \sqrt{2} \)
\( r = 8\sqrt{2} \)
Karena jari-jari merupakan panjang (bernilai positif), maka jari-jari lingkaran tersebut adalah:
\( r = 8\sqrt{2} \)
2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M(a, b) dan Berjari-jari \( r \)
Perhatikan sebuah lingkaran \( L \) yang berpusat di titik \( M(a, b) \) dan memiliki jari-jari \( r \).
Misalkan \( P(x, y) \) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran tersebut. Karena titik \( P(x, y) \) berada pada lingkaran, maka jarak titik \( P \) ke pusat \( M \) sama dengan jari-jari, sehingga:
\( MP = r \)
Buat segitiga siku-siku dengan menarik garis sejajar sumbu-sumbu koordinat sehingga terbentuk:
\( MQ = x - a \)
\( PQ = y - b \)
Karena segitiga \( PMQ \) siku-siku, maka berdasarkan Teorema Pythagoras berlaku:
\( MQ^2 + PQ^2 = MP^2 \)
Substitusikan nilai-nilai tersebut:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Karena titik \( P(x, y) \) diambil sembarang, maka persamaan tersebut berlaku umum untuk semua titik pada lingkaran yang berpusat di \( M(a, b) \) dan memiliki jari-jari \( r \).
Persamaan
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
disebut sebagai bentuk baku persamaan lingkaran.
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di \( (4, -5) \) dan memiliki jari-jari 6.
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di titik \( (4, -5) \) dan memiliki jari-jari 6. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran yang sudah dipelajari di SMA.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dengan:
Pusat \( (a, b) \)
Jari-jari \( r \)
Pada soal diketahui:
\( a = 4 \)
\( b = -5 \)
\( r = 6 \)
Substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus:
\( (x - 4)^2 + (y - (-5))^2 = 6^2 \)
Perhatikan bahwa \( y - (-5) \) sama dengan \( y + 5 \), sehingga diperoleh:
\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 6^2 \)
Hitung nilai kuadrat dari 6:
\( 6^2 = 36 \)
Maka persamaan lingkarannya adalah:
\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 36 \)
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di \( (-2, -6) \) dan memiliki jari-jari \( 3\sqrt{2} \).
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di titik \( (-2, -6) \) dan memiliki jari-jari \( 3\sqrt{2} \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran yang telah dipelajari di SMA.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dengan:
Pusat \( (a, b) \)
Jari-jari \( r \)
Pada soal diketahui:
\( a = -2 \)
\( b = -6 \)
\( r = 3\sqrt{2} \)
Substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus:
\( (x - (-2))^2 + (y - (-6))^2 = (3\sqrt{2})^2 \)
Sederhanakan tanda:
\( (x + 2)^2 + (y + 6)^2 = (3\sqrt{2})^2 \)
Hitung kuadrat dari \( 3\sqrt{2} \):
\( (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 \)
\( (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 \)
\( (3\sqrt{2})^2 = 18 \)
Maka persamaan lingkarannya adalah:
\( (x + 2)^2 + (y + 6)^2 = 18 \)
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan \( (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 81 \).
Diketahui persamaan lingkaran \( (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 81 \). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran yang sudah dipelajari di SMA.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dengan:
Pusat \( (a, b) \)
Jari-jari \( r \)
Sekarang bandingkan persamaan pada soal:
\( (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 81 \)
Perhatikan bahwa:
\( (x + 1)^2 = (x - (-1))^2 \)
\( (y + 3)^2 = (y - (-3))^2 \)
Sehingga dapat disimpulkan:
\( a = -1 \)
\( b = -3 \)
Kemudian, karena pada ruas kanan terdapat 81, maka:
\( r^2 = 81 \)
Ambil akar kuadrat kedua ruas untuk mencari \( r \):
\( r = \sqrt{81} \)
\( r = 9 \)
Jadi, pusat lingkaran adalah:
\( (-1, -3) \)
Dan jari-jari lingkarannya adalah:
\( 9 \)
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan \( (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 72 \).
Diketahui persamaan lingkaran \( (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 72 \). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran yang sudah dipelajari di SMA.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dengan:
Pusat \( (a, b) \)
Jari-jari \( r \)
Sekarang bandingkan dengan persamaan pada soal:
\( (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 72 \)
Perhatikan bahwa:
\( (x + 5)^2 = (x - (-5))^2 \)
\( (y - 2)^2 = (y - 2)^2 \)
Sehingga diperoleh:
\( a = -5 \)
\( b = 2 \)
Selanjutnya, karena ruas kanan adalah 72, maka:
\( r^2 = 72 \)
Ambil akar kuadrat kedua ruas:
\( r = \sqrt{72} \)
Sederhanakan bentuk akar tersebut:
\( 72 = 36 \times 2 \)
\( r = \sqrt{36 \times 2} \)
\( r = \sqrt{36} \sqrt{2} \)
\( r = 6\sqrt{2} \)
Jadi, pusat lingkaran adalah:
\( (-5, 2) \)
Dan jari-jari lingkarannya adalah:
\( 6\sqrt{2} \)
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat \( M(7, -2) \). Lingkaran tersebut melalui titik \( A(-2, 10) \). Hitung jari-jari lingkaran, kemudian tentukan persamaannya.
Diketahui pusat lingkaran \( M(7, -2) \) dan lingkaran melalui titik \( A(-2, 10) \). Tentukan panjang jari-jari dan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, kita tentukan jari-jari lingkaran. Karena lingkaran melalui titik \( A(-2, 10) \), maka panjang jari-jari sama dengan jarak dari pusat \( M(7, -2) \) ke titik tersebut.
Gunakan rumus jarak dua titik yang dipelajari di SMA:
\( r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Substitusikan titik \( M(7, -2) \) dan \( A(-2, 10) \):
\( r = \sqrt{(-2 - 7)^2 + (10 - (-2))^2} \)
Sederhanakan masing-masing selisih:
\( -2 - 7 = -9 \)
\( 10 - (-2) = 12 \)
Sehingga:
\( r = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} \)
\( (-9)^2 = 81 \)
\( 12^2 = 144 \)
Jumlahkan:
\( r = \sqrt{81 + 144} \)
\( r = \sqrt{225} \)
\( r = 15 \)
Jadi, jari-jari lingkaran adalah:
\( r = 15 \)
Langkah kedua, tentukan persamaan lingkaran menggunakan rumus bentuk baku:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dengan pusat \( (a, b) = (7, -2) \) dan \( r = 15 \), maka:
\( (x - 7)^2 + (y - (-2))^2 = 15^2 \)
Sederhanakan tanda:
\( (x - 7)^2 + (y + 2)^2 = 225 \)
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\( (x - 7)^2 + (y + 2)^2 = 225 \)
3. Persamaan Umum Lingkaran
Dari bentuk baku persamaan lingkaran, kita dapat menurunkannya menjadi bentuk umum persamaan lingkaran sebagai berikut.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Kembangkan masing-masing kuadrat:
\( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 \)
Susun kembali sehingga semua ruas berada di satu sisi:
\( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 \)
Misalkan:
\( A = -2a \)
\( B = -2b \)
\( C = a^2 + b^2 - r^2 \)
Maka diperoleh persamaan umum lingkaran:
\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)
Untuk menentukan pusat dan jari-jari dari bentuk umum tersebut, lakukan substitusi:
\( a = -\frac{1}{2}A \)
\( b = -\frac{1}{2}B \)
Selanjutnya,
\( r^2 = a^2 + b^2 - C \)
\( r^2 = \left(-\frac{1}{2}A\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}B\right)^2 - C \)
\( r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C \)
\( r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} \)
Dengan demikian, pusat lingkaran adalah:
\( \left(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B\right) \)
dan jari-jari lingkaran:
\( r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} \)
Tuliskan persamaan umum lingkaran yang berpusat di \( M(-4, 3) \) dan berjari-jari 7.
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di \( M(-4, 3) \) dan memiliki jari-jari 7. Tuliskan persamaan umum lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran yang dipelajari di SMA.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Diketahui:
\( a = -4 \)
\( b = 3 \)
\( r = 7 \)
Substitusikan ke dalam rumus:
\( (x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 7^2 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 49 \)
Langkah kedua, ubah ke bentuk umum dengan mengembangkan masing-masing kuadrat.
\( (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \)
\( (y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9 \)
Sehingga diperoleh:
\( x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 49 \)
Gabungkan suku-suku sejenis:
\( x^2 + y^2 + 8x - 6y + 25 = 49 \)
Pindahkan 49 ke ruas kiri:
\( x^2 + y^2 + 8x - 6y + 25 - 49 = 0 \)
\( x^2 + y^2 + 8x - 6y - 24 = 0 \)
Jadi, persamaan umum lingkaran tersebut adalah:
\( x^2 + y^2 + 8x - 6y - 24 = 0 \)
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \( L = x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \).
Diketahui persamaan lingkaran \( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita ubah terlebih dahulu ke bentuk baku persamaan lingkaran.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Mulai dari persamaan yang diberikan:
\( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan suku \( y \):
\( (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) - 3 = 0 \)
Pindahkan konstanta ke ruas kanan:
\( (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 3 \)
Lengkapi kuadrat sempurna pada masing-masing kelompok.
Untuk \( x^2 - 6x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 \)
Untuk \( y^2 + 4y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4 \)
\( (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 3 \)
Kelompokkan menjadi bentuk kuadrat sempurna:
\( (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 3 \)
Gabungkan konstanta:
\( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 = 3 \)
\( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \)
Bandingkan dengan bentuk baku \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), maka diperoleh:
Pusat \( (3, -2) \)
\( r^2 = 16 \)
\( r = 4 \)
Jadi, pusat lingkaran adalah:
\( (3, -2) \)
Dan jari-jari lingkarannya adalah:
\( 4 \)
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan \( 4x^2 + 4y^2 - 80x + 12y + 265 = 0 \).
Diketahui persamaan lingkaran \( 4x^2 + 4y^2 - 80x + 12y + 265 = 0 \). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, pastikan koefisien \( x^2 \) dan \( y^2 \) sama dengan 1 agar sesuai dengan rumus bentuk baku persamaan lingkaran.
Karena semua suku memiliki faktor 4, maka bagi seluruh persamaan dengan 4.
\( \frac{4x^2}{4} + \frac{4y^2}{4} - \frac{80x}{4} + \frac{12y}{4} + \frac{265}{4} = 0 \)
\( x^2 + y^2 - 20x + 3y + \frac{265}{4} = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):
\( (x^2 - 20x) + (y^2 + 3y) + \frac{265}{4} = 0 \)
Pindahkan konstanta ke ruas kanan:
\( (x^2 - 20x) + (y^2 + 3y) = -\frac{265}{4} \)
Lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk \( x^2 - 20x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-20}{2}\right)^2 = 100 \)
Untuk \( y^2 + 3y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \)
\( (x^2 - 20x + 100) - 100 + (y^2 + 3y + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = -\frac{265}{4} \)
Kelompokkan menjadi kuadrat sempurna:
\( (x - 10)^2 - 100 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} = -\frac{265}{4} \)
Gabungkan konstanta.
\( (x - 10)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - 100 - \frac{9}{4} = -\frac{265}{4} \)
Ubah 100 menjadi pecahan dengan penyebut 4.
\( 100 = \frac{400}{4} \)
\( -100 - \frac{9}{4} = -\frac{400}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{409}{4} \)
Sehingga:
\( (x - 10)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{409}{4} = -\frac{265}{4} \)
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
\( (x - 10)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{265}{4} + \frac{409}{4} \)
\( (x - 10)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{144}{4} \)
\( (x - 10)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = 36 \)
Bandingkan dengan bentuk baku \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), maka diperoleh:
Pusat \( \left(10, -\frac{3}{2}\right) \)
\( r^2 = 36 \)
\( r = 6 \)
Jadi, pusat lingkaran adalah:
\( \left(10, -\frac{3}{2}\right) \)
Dan jari-jari lingkarannya adalah:
\( 6 \)
4. Persamaan Lingkaran yang Memenuhi Kriteria Tertentu
Untuk menentukan persamaan suatu lingkaran dapat dilakukan dengan dua cara.
a. Tentukan terlebih dahulu pusat dan jari-jarinya, kemudian substitusikan ke dalam persamaan:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
b. Tentukan nilai \( A \), \( B \), dan \( C \), kemudian substitusikan ke dalam persamaan umum:
\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0, 0) \) dan menyinggung garis \( 3x - 4y + 5 = 0 \).
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di \( O(0, 0) \) dan menyinggung garis \( 3x - 4y + 5 = 0 \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Karena lingkaran berpusat di \( O(0, 0) \), maka bentuk persamaannya adalah:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Jika lingkaran menyinggung suatu garis, maka jari-jari lingkaran sama dengan jarak pusat ke garis tersebut.
Gunakan rumus jarak titik ke garis yang dipelajari di SMA:
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk garis \( 3x - 4y + 5 = 0 \), diperoleh:
\( A = 3 \)
\( B = -4 \)
\( C = 5 \)
Karena pusat lingkaran adalah \( (0, 0) \), maka:
\( d = \frac{|3(0) - 4(0) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
\( d = \frac{|5|}{\sqrt{9 + 16}} \)
\( d = \frac{5}{\sqrt{25}} \)
\( d = \frac{5}{5} \)
\( d = 1 \)
Karena jarak tersebut sama dengan jari-jari, maka:
\( r = 1 \)
Sehingga persamaan lingkarannya adalah:
\( x^2 + y^2 = 1 \)
Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis yang menghubungkan titik \( P(1, -4) \) dan \( Q(-3, 2) \).
Diketahui diameter lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan titik \( P(1, -4) \) dan \( Q(-3, 2) \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, tentukan pusat lingkaran. Karena diameter diketahui, maka pusat lingkaran adalah titik tengah dari ruas garis \( PQ \).
Gunakan rumus titik tengah yang dipelajari di SMA:
\( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
Substitusikan titik \( P(1, -4) \) dan \( Q(-3, 2) \):
\( M\left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{-4 + 2}{2}\right) \)
\( M\left(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2}\right) \)
\( M(-1, -1) \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (-1, -1) \).
Langkah kedua, tentukan jari-jari. Karena \( PQ \) adalah diameter, maka jari-jari adalah setengah dari panjang \( PQ \).
Gunakan rumus jarak dua titik:
\( PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} \)
\( PQ = \sqrt{(-4)^2 + 6^2} \)
\( PQ = \sqrt{16 + 36} \)
\( PQ = \sqrt{52} \)
Sehingga jari-jari:
\( r = \frac{\sqrt{52}}{2} \)
Sederhanakan:
\( \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} \)
\( \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
\( r = \frac{2\sqrt{13}}{2} \)
\( r = \sqrt{13} \)
Langkah terakhir, gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dengan pusat \( (-1, -1) \) dan \( r = \sqrt{13} \), maka:
\( (x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{13})^2 \)
\( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13 \)
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13 \)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \( (5, -3) \) dan menyinggung sumbu \( Y \).
Diketahui sebuah lingkaran berpusat di \( (5, -3) \) dan menyinggung sumbu \( Y \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, gunakan rumus bentuk baku persamaan lingkaran yang dipelajari di SMA:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Karena lingkaran menyinggung sumbu \( Y \), maka jari-jari lingkaran sama dengan jarak pusat ke sumbu \( Y \).
Sumbu \( Y \) memiliki persamaan:
\( x = 0 \)
Jarak titik \( (x_1, y_1) \) ke garis \( x = 0 \) adalah:
\( d = |x_1| \)
Karena pusat lingkaran adalah \( (5, -3) \), maka:
\( r = |5| \)
\( r = 5 \)
Langkah terakhir, substitusikan ke rumus bentuk baku:
\( (x - 5)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2 \)
\( (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\( (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik \( (0, 4) \), \( (1, 3) \), dan \( (1, -1) \).
Diketahui sebuah lingkaran melalui tiga titik \( (0, 4) \), \( (1, 3) \), dan \( (1, -1) \). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, kita gunakan bentuk umum persamaan lingkaran:
\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)
Karena lingkaran melalui titik-titik tersebut, maka masing-masing titik memenuhi persamaan di atas.
Substitusi titik \( (0, 4) \):
\( 0^2 + 4^2 + A(0) + B(4) + C = 0 \)
\( 16 + 4B + C = 0 \) ...(1)
Substitusi titik \( (1, 3) \):
\( 1^2 + 3^2 + A(1) + B(3) + C = 0 \)
\( 1 + 9 + A + 3B + C = 0 \)
\( 10 + A + 3B + C = 0 \) ...(2)
Substitusi titik \( (1, -1) \):
\( 1^2 + (-1)^2 + A(1) + B(-1) + C = 0 \)
\( 1 + 1 + A - B + C = 0 \)
\( 2 + A - B + C = 0 \) ...(3)
Sekarang kita selesaikan sistem persamaan tersebut.
Dari persamaan (1):
\( C = -16 - 4B \)
Substitusi ke persamaan (2):
\( 10 + A + 3B -16 - 4B = 0 \)
\( A - B - 6 = 0 \)
\( A - B = 6 \) ...(4)
Substitusi ke persamaan (3):
\( 2 + A - B -16 - 4B = 0 \)
\( A - 5B -14 = 0 \)
\( A - 5B = 14 \) ...(5)
Kurangkan persamaan (4) dari (5):
\( (A - 5B) - (A - B) = 14 - 6 \)
\( -4B = 8 \)
\( B = -2 \)
Substitusi ke persamaan (4):
\( A - (-2) = 6 \)
\( A + 2 = 6 \)
\( A = 4 \)
Substitusi ke persamaan (1):
\( 16 + 4(-2) + C = 0 \)
\( 16 - 8 + C = 0 \)
\( 8 + C = 0 \)
\( C = -8 \)
Sehingga persamaan lingkarannya adalah:
\( x^2 + y^2 + 4x - 2y - 8 = 0 \)
5. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Jika titik \( P(x_1, y_1) \) sembarang dan \( L \) adalah lingkaran dengan jari-jari \( r \), maka ada tiga posisi titik \( P \) terhadap lingkaran \( L \), yaitu titik berada pada lingkaran, di dalam lingkaran, atau di luar lingkaran.
Perhatikan ilustrasi: titik \( B(x_b, y_b) \) berada di dalam lingkaran, titik \( C(x_c, y_c) \) berada pada lingkaran, dan titik \( D(x_d, y_d) \) berada di luar lingkaran. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran dapat ditentukan dengan membandingkan jarak titik tersebut ke pusat lingkaran dengan panjang jari-jari lingkaran.
| Perbandingan | Bentuk Kuadrat Jarak | Keterangan |
|---|---|---|
| \( PB \lt r \) | \( (x_b - a)^2 + (y_b - b)^2 \lt r^2 \) | Titik \( B \) di dalam lingkaran |
| \( PC = r \) | \( (x_c - a)^2 + (y_c - b)^2 = r^2 \) | Titik \( C \) pada lingkaran |
| \( PD \gt r \) | \( (x_d - a)^2 + (y_d - b)^2 \gt r^2 \) | Titik \( D \) di luar lingkaran |
Dengan menguraikan persamaan di atas ke dalam persamaan umum lingkaran \( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \), diperoleh hubungan berikut.
| Perbandingan | Dalam Bentuk Umum | Keterangan |
|---|---|---|
| \( PB \lt r \) | \( x_b^2 + y_b^2 + Ax_b + By_b + C \lt r^2 \) | Titik \( B \) di dalam lingkaran |
| \( PC = r \) | \( x_c^2 + y_c^2 + Ax_c + By_c + C = r^2 \) | Titik \( C \) pada lingkaran |
| \( PD \gt r \) | \( x_d^2 + y_d^2 + Ax_d + By_d + C \gt r^2 \) | Titik \( D \) di luar lingkaran |
Tentukan kedudukan titik \( A(-3, 5) \), \( B(7, 6) \), dan \( C(1, -2) \) terhadap lingkaran \( x^2 + y^2 = 34 \).
Diketahui lingkaran \( x^2 + y^2 = 34 \). Tentukan apakah titik-titik tersebut berada di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Persamaan lingkaran yang diberikan adalah:
\( x^2 + y^2 = 34 \)
Bentuk tersebut menunjukkan bahwa lingkaran berpusat di \( (0, 0) \) dengan:
\( r^2 = 34 \)
\( r = \sqrt{34} \)
Untuk menentukan kedudukan titik, kita bandingkan nilai \( x^2 + y^2 \) dari masing-masing titik dengan 34.
1. Untuk titik \( A(-3, 5) \):
\( (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 \)
Karena hasilnya sama dengan 34, maka:
Titik \( A \) berada pada lingkaran.
2. Untuk titik \( B(7, 6) \):
\( 7^2 + 6^2 = 49 + 36 = 85 \)
Karena \( 85 \gt 34 \), maka:
Titik \( B \) berada di luar lingkaran.
3. Untuk titik \( C(1, -2) \):
\( 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 \)
Karena \( 5 \lt 34 \), maka:
Titik \( C \) berada di dalam lingkaran.
Kesimpulan:
A pada lingkaran, B di luar lingkaran, dan C di dalam lingkaran.
Tentukan kedudukan titik \( A(4, 6) \), \( B(6, 2) \), dan \( C(1, 1) \) terhadap lingkaran \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \).
Diketahui lingkaran \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \). Tentukan apakah masing-masing titik berada di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Persamaan lingkaran berbentuk:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dari persamaan \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \), diperoleh:
Pusat \( (3, -2) \)
\( r^2 = 25 \)
\( r = 5 \)
Untuk menentukan kedudukan titik, bandingkan nilai \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 \) dengan 25.
1. Untuk titik \( A(4, 6) \):
\( (4 - 3)^2 + (6 + 2)^2 = 1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65 \)
Karena \( 65 \gt 25 \), maka:
Titik \( A \) berada di luar lingkaran.
2. Untuk titik \( B(6, 2) \):
\( (6 - 3)^2 + (2 + 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Karena hasilnya sama dengan 25, maka:
Titik \( B \) berada pada lingkaran.
3. Untuk titik \( C(1, 1) \):
\( (1 - 3)^2 + (1 + 2)^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \)
Karena \( 13 \lt 25 \), maka:
Titik \( C \) berada di dalam lingkaran.
Kesimpulan:
A di luar lingkaran, B pada lingkaran, dan C di dalam lingkaran.
Tentukan kedudukan titik \( P(2, 1) \), \( Q(6, 6) \), dan \( R(7, 2) \) terhadap lingkaran \( x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0 \).
Diketahui persamaan lingkaran \( x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0 \). Tentukan apakah masing-masing titik berada di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, ubah persamaan ke bentuk baku.
\( x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \).
\( (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) - 12 = 0 \)
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
\( (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = 12 \)
Lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk \( x^2 - 4x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4 \)
Untuk \( y^2 - 6y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 \)
\( (x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = 12 \)
Sehingga diperoleh:
\( (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 12 \)
\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 13 = 12 \)
\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (2, 3) \) dan:
\( r^2 = 25 \)
\( r = 5 \)
Sekarang bandingkan nilai \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \) masing-masing titik dengan 25.
1. Untuk titik \( P(2, 1) \):
\( (2 - 2)^2 + (1 - 3)^2 = 0 + (-2)^2 = 4 \)
Karena \( 4 \lt 25 \), maka:
Titik \( P \) berada di dalam lingkaran.
2. Untuk titik \( Q(6, 6) \):
\( (6 - 2)^2 + (6 - 3)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \)
Karena hasilnya sama dengan 25, maka:
Titik \( Q \) berada pada lingkaran.
3. Untuk titik \( R(7, 2) \):
\( (7 - 2)^2 + (2 - 3)^2 = 5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26 \)
Karena \( 26 \gt 25 \), maka:
Titik \( R \) berada di luar lingkaran.
Kesimpulan:
P di dalam lingkaran, Q pada lingkaran, dan R di luar lingkaran.
6. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Jika garis \( y = mx + n \) sembarang dan \( L \) adalah lingkaran dengan jari-jari \( r \), maka terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran.
1. Garis memotong lingkaran pada dua titik.
2. Garis menyinggung lingkaran (memotong pada satu titik).
3. Garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.
Untuk menentukan kedudukan garis \( y = mx + n \) terhadap lingkaran \( L \), lakukan langkah-langkah berikut.
a. Substitusikan \( y \) dari persamaan garis \( y = mx + n \) ke dalam persamaan lingkaran.
b. Susun persamaan tersebut menjadi persamaan kuadrat dalam variabel \( x \) dengan bentuk \( ax^2 + bx + c = 0 \).
c. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut dengan rumus:
\( D = b^2 - 4ac \)
d. Periksa tanda diskriminan \( D \) dengan kriteria berikut.
- Jika \( D \gt 0 \), maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
- Jika \( D = 0 \), maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong).
- Jika \( D \lt 0 \), maka garis tidak memotong lingkaran.
Dengan demikian, kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi antara persamaan garis dan persamaan lingkaran.
Tentukan kedudukan garis \( x + y - 2 = 0 \) terhadap lingkaran \( x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 \).
Diketahui garis \( x + y - 2 = 0 \) dan lingkaran \( x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 \). Tentukan apakah garis tersebut memotong lingkaran, menyinggung lingkaran, atau tidak memotong lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, ubah persamaan lingkaran ke bentuk baku.
\( x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \).
\( (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) - 20 = 0 \)
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
\( (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 20 \)
Lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk \( x^2 - 4x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4 \)
Untuk \( y^2 + 2y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1 \)
\( (x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 2y + 1) - 1 = 20 \)
Sehingga diperoleh:
\( (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 20 \)
\( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 5 = 20 \)
\( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (2, -1) \) dan:
\( r^2 = 25 \)
\( r = 5 \)
Langkah kedua, tentukan jarak pusat lingkaran ke garis menggunakan rumus jarak titik ke garis.
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk garis \( x + y - 2 = 0 \), diperoleh:
\( A = 1 \)
\( B = 1 \)
\( C = -2 \)
Substitusikan pusat \( (2, -1) \).
\( d = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} \)
\( d = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} \)
\( d = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Bandingkan dengan jari-jari \( r = 5 \).
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \lt 5 \)
Karena jarak pusat ke garis lebih kecil dari jari-jari, maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
Garis memotong lingkaran pada dua titik.
Tentukan kedudukan garis \( 3x + y + 10 = 0 \) terhadap lingkaran \( x^2 + y^2 - 8x + 4y - 20 = 0 \).
Diketahui garis \( 3x + y + 10 = 0 \) dan lingkaran \( x^2 + y^2 - 8x + 4y - 20 = 0 \). Tentukan apakah garis tersebut memotong lingkaran, menyinggung lingkaran, atau tidak memotong lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, ubah persamaan lingkaran ke bentuk baku.
\( x^2 + y^2 - 8x + 4y - 20 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \).
\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) - 20 = 0 \)
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) = 20 \)
Lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk \( x^2 - 8x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-8}{2}\right)^2 = 16 \)
Untuk \( y^2 + 4y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4 \)
\( (x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 20 \)
Sehingga diperoleh:
\( (x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 = 20 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 - 20 = 20 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 40 \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (4, -2) \) dan:
\( r^2 = 40 \)
\( r = \sqrt{40} \)
Langkah kedua, hitung jarak pusat lingkaran ke garis menggunakan rumus jarak titik ke garis.
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk garis \( 3x + y + 10 = 0 \), diperoleh:
\( A = 3 \)
\( B = 1 \)
\( C = 10 \)
Substitusikan pusat \( (4, -2) \).
\( d = \frac{|3(4) + 1(-2) + 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{|12 - 2 + 10|}{\sqrt{9 + 1}} \)
\( d = \frac{20}{\sqrt{10}} \)
Sederhanakan:
\( d = \frac{20\sqrt{10}}{10} \)
\( d = 2\sqrt{10} \)
Sekarang bandingkan dengan jari-jari.
\( r = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} \)
Karena:
\( d = r \)
Maka garis menyinggung lingkaran.
Garis menyinggung lingkaran (satu titik potong).
Tentukan kedudukan garis \( x + y = 4 \) terhadap lingkaran \( L = x^2 + y^2 = 3 \).
Diketahui garis \( x + y = 4 \) dan lingkaran \( x^2 + y^2 = 3 \). Tentukan apakah garis tersebut memotong lingkaran, menyinggung lingkaran, atau tidak memotong lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Persamaan lingkaran yang diberikan adalah:
\( x^2 + y^2 = 3 \)
Bentuk tersebut menunjukkan bahwa lingkaran berpusat di \( (0, 0) \) dan:
\( r^2 = 3 \)
\( r = \sqrt{3} \)
Ubah persamaan garis ke bentuk umum:
\( x + y - 4 = 0 \)
Gunakan rumus jarak titik ke garis yang dipelajari di SMA:
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk garis \( x + y - 4 = 0 \), diperoleh:
\( A = 1 \)
\( B = 1 \)
\( C = -4 \)
Karena pusat lingkaran adalah \( (0, 0) \), maka:
\( d = \frac{|1(0) + 1(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{4}{\sqrt{2}} \)
Sederhanakan:
\( d = \frac{4\sqrt{2}}{2} \)
\( d = 2\sqrt{2} \)
Bandingkan dengan jari-jari.
\( r = \sqrt{3} \)
Karena:
\( 2\sqrt{2} \gt \sqrt{3} \)
Maka garis tidak memotong lingkaran.
Garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.
Tentukan nilai \( m \) agar garis \( y = mx + 3 \) menyinggung lingkaran \( x^2 + y^2 = 9 \).
Diketahui garis \( y = mx + 3 \) dan lingkaran \( x^2 + y^2 = 9 \). Tentukan nilai \( m \) agar garis tersebut menyinggung lingkaran.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Lingkaran \( x^2 + y^2 = 9 \) berpusat di \( (0, 0) \) dan memiliki jari-jari:
\( r^2 = 9 \)
\( r = 3 \)
Agar garis menyinggung lingkaran, jarak pusat lingkaran ke garis harus sama dengan jari-jari.
Ubah persamaan garis ke bentuk umum:
\( y = mx + 3 \)
\( mx - y + 3 = 0 \)
Gunakan rumus jarak titik \( (x_1, y_1) \) ke garis \( Ax + By + C = 0 \):
\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
Untuk garis \( mx - y + 3 = 0 \), diperoleh:
\( A = m \)
\( B = -1 \)
\( C = 3 \)
Karena pusat lingkaran \( (0, 0) \), maka:
\( d = \frac{|m(0) + (-1)(0) + 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \)
\( d = \frac{3}{\sqrt{m^2 + 1}} \)
Karena garis menyinggung lingkaran, maka \( d = r \).
\( \frac{3}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3 \)
Bagi kedua ruas dengan 3:
\( \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 \)
Kalikan silang:
\( \sqrt{m^2 + 1} = 1 \)
Kuadratkan kedua ruas:
\( m^2 + 1 = 1^2 \)
\( m^2 + 1 = 1 \)
\( m^2 = 0 \)
\( m = 0 \)
Jadi nilai \( m \) agar garis \( y = mx + 3 \) menyinggung lingkaran \( x^2 + y^2 = 9 \) adalah:
\( m = 0 \)
7. Persamaan Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran
Misalkan titik \( P(x_1, y_1) \) terletak pada lingkaran yang berpusat di \( O(0, 0) \) dan berjari-jari \( r \). Akan ditentukan persamaan garis singgung yang melalui titik \( P \).
Persamaan umum garis singgung dapat ditulis dalam bentuk:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
Gradien garis yang menghubungkan pusat \( O(0, 0) \) dengan titik \( P(x_1, y_1) \) adalah:
\( m_{OP} = \frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1} \)
Karena garis singgung tegak lurus jari-jari, maka:
\( m \times m_{OP} = -1 \)
\( m \times \frac{y_1}{x_1} = -1 \)
\( m = -\frac{x_1}{y_1} \)
Substitusikan nilai \( m \) ke dalam persamaan garis singgung:
\( y - y_1 = -\frac{x_1}{y_1}(x - x_1) \)
Kalikan kedua ruas dengan \( y_1 \):
\( y_1(y - y_1) = -x_1(x - x_1) \)
Kembangkan:
\( y_1y - y_1^2 = -x_1x + x_1^2 \)
Pindahkan ruas:
\( x_1x + y_1y = x_1^2 + y_1^2 \)
Karena titik \( P(x_1, y_1) \) terletak pada lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \), maka:
\( x_1^2 + y_1^2 = r^2 \)
Sehingga diperoleh persamaan garis singgung:
\( x_1x + y_1y = r^2 \)
Dengan cara yang sama, untuk lingkaran berpusat di \( (a, b) \):
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Persamaan garis singgung di titik \( (x_1, y_1) \) adalah:
\( (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \)
Untuk bentuk umum lingkaran:
\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)
Persamaan garis singgung di titik \( (x_1, y_1) \) adalah:
\( x_1x + y_1y + \frac{A}{2}(x_1 + x) + \frac{B}{2}(y_1 + y) + C = 0 \)
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik \( P(8, -6) \) pada lingkaran \( x^2 + y^2 = 100 \).
Diketahui lingkaran \( x^2 + y^2 = 100 \) dan titik \( P(8, -6) \) terletak pada lingkaran tersebut. Tentukan persamaan garis singgung di titik tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Lingkaran \( x^2 + y^2 = 100 \) berpusat di \( (0, 0) \) dan memiliki:
\( r^2 = 100 \)
\( r = 10 \)
Periksa bahwa titik \( P(8, -6) \) benar-benar berada pada lingkaran.
\( 8^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \)
Karena hasilnya 100, maka titik tersebut memang berada pada lingkaran.
Gunakan rumus persamaan garis singgung pada lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \):
\( x_1x + y_1y = r^2 \)
Dengan \( x_1 = 8 \), \( y_1 = -6 \), dan \( r^2 = 100 \), maka:
\( 8x + (-6)y = 100 \)
\( 8x - 6y = 100 \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
\( 8x - 6y = 100 \)
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik \( Q(10, 9) \) pada lingkaran \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 169 \).
Diketahui lingkaran \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 169 \) dan titik \( Q(10, 9) \) terletak pada lingkaran tersebut. Tentukan persamaan garis singgung di titik tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Persamaan lingkaran berbentuk:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dari \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 169 \), diperoleh:
Pusat \( (-2, 4) \)
\( r^2 = 169 \)
\( r = 13 \)
Periksa bahwa titik \( Q(10, 9) \) berada pada lingkaran.
\( (10 + 2)^2 + (9 - 4)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \)
Karena hasilnya 169, maka titik tersebut benar-benar berada pada lingkaran.
Gunakan rumus garis singgung pada lingkaran berpusat \( (a, b) \):
\( (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \)
Dengan:
\( x_1 = 10 \)
\( y_1 = 9 \)
\( a = -2 \)
\( b = 4 \)
\( r^2 = 169 \)
Substitusikan:
\( (10 - (-2))(x - (-2)) + (9 - 4)(y - 4) = 169 \)
\( 12(x + 2) + 5(y - 4) = 169 \)
Kembangkan:
\( 12x + 24 + 5y - 20 = 169 \)
\( 12x + 5y + 4 = 169 \)
\( 12x + 5y = 165 \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
\( 12x + 5y = 165 \)
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik \( R(7, -2) \) pada lingkaran \( x^2 + y^2 - 8x + 12y + 27 = 0 \).
Diketahui lingkaran \( x^2 + y^2 - 8x + 12y + 27 = 0 \) dan titik \( R(7, -2) \). Tentukan persamaan garis singgung di titik tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, ubah persamaan lingkaran ke bentuk baku.
\( x^2 + y^2 - 8x + 12y + 27 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \).
\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 12y) + 27 = 0 \)
Lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk \( x^2 - 8x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-8}{2}\right)^2 = 16 \)
Untuk \( y^2 + 12y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 36 \)
\( (x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 27 = 0 \)
Sehingga diperoleh:
\( (x - 4)^2 - 16 + (y + 6)^2 - 36 + 27 = 0 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 6)^2 - 25 = 0 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 25 \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (4, -6) \) dan:
\( r^2 = 25 \)
\( r = 5 \)
Periksa bahwa titik \( R(7, -2) \) berada pada lingkaran.
\( (7 - 4)^2 + (-2 + 6)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Karena hasilnya 25, maka titik tersebut berada pada lingkaran.
Gunakan rumus garis singgung pada lingkaran berpusat \( (a, b) \):
\( (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2 \)
Dengan:
\( x_1 = 7 \)
\( y_1 = -2 \)
\( a = 4 \)
\( b = -6 \)
\( r^2 = 25 \)
Substitusikan:
\( (7 - 4)(x - 4) + (-2 - (-6))(y - (-6)) = 25 \)
\( 3(x - 4) + 4(y + 6) = 25 \)
Kembangkan:
\( 3x - 12 + 4y + 24 = 25 \)
\( 3x + 4y + 12 = 25 \)
\( 3x + 4y = 13 \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
\( 3x + 4y = 13 \)
8. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui
Sebuah garis yang mempunyai gradien \( m \) dan melalui titik \( (0, c) \) dinyatakan dengan persamaan \( y = mx + c \). Jika garis tersebut menyinggung lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \), maka persamaan garis singgung dapat diperoleh melalui langkah berikut.
Substitusikan \( y = mx + c \) ke dalam persamaan lingkaran:
\( x^2 + (mx + c)^2 = r^2 \)
Kembangkan:
\( x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = r^2 \)
\( x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 - r^2 = 0 \)
\( (1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - r^2) = 0 \)
Agar garis menyinggung lingkaran (memotong di satu titik), maka diskriminan persamaan kuadrat harus sama dengan nol.
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0 \)
Sederhanakan:
\( 4m^2c^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - r^2) = 0 \)
\( 4m^2c^2 - 4c^2 - 4m^2c^2 + 4r^2 + 4m^2r^2 = 0 \)
\( -4c^2 + 4r^2 + 4m^2r^2 = 0 \)
\( 4c^2 = 4r^2(1 + m^2) \)
\( c^2 = r^2(1 + m^2) \)
\( c = \pm r\sqrt{1 + m^2} \)
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) yang mempunyai gradien \( m \) adalah:
\( y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} \)
Untuk lingkaran dalam bentuk baku \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), persamaan garis singgung dengan gradien \( m \) dirumuskan:
\( y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2} \)
Jika lingkaran dalam bentuk umum \( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \), terlebih dahulu ubah ke bentuk baku untuk menentukan pusat \( \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} \), kemudian gunakan rumus di atas.
Hubungan antara dua gradien:
- Jika dua garis sejajar, maka \( m_1 = m_2 \).
- Jika dua garis tegak lurus, maka \( m_1 \times m_2 = -1 \) atau \( m_1 = -\frac{1}{m_2} \).
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \( x^2 + y^2 = 36 \) yang bergradien \( 2 \).
Diketahui lingkaran \( x^2 + y^2 = 36 \). Tentukan persamaan garis singgung yang memiliki gradien \( 2 \).
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Lingkaran \( x^2 + y^2 = 36 \) berpusat di \( (0, 0) \) dan memiliki:
\( r^2 = 36 \)
\( r = 6 \)
Gunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) yang mempunyai gradien \( m \):
\( y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} \)
Substitusikan \( m = 2 \) dan \( r = 6 \).
\( y = 2x \pm 6\sqrt{1 + 2^2} \)
\( y = 2x \pm 6\sqrt{1 + 4} \)
\( y = 2x \pm 6\sqrt{5} \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
\( y = 2x + 6\sqrt{5} \)
atau
\( y = 2x - 6\sqrt{5} \)
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 169 \) yang sejajar dengan garis \( y = 3x + 5 \).
Diketahui lingkaran \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 169 \). Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis \( y = 3x + 5 \).
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Garis yang sejajar dengan \( y = 3x + 5 \) memiliki gradien yang sama.
\( m = 3 \)
Persamaan lingkaran berbentuk:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Dari \( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 169 \), diperoleh:
Pusat \( (-2, 4) \)
\( r^2 = 169 \)
\( r = 13 \)
Gunakan rumus garis singgung lingkaran berpusat \( (a, b) \) dengan gradien \( m \):
\( y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2} \)
Substitusikan \( a = -2 \), \( b = 4 \), \( r = 13 \), dan \( m = 3 \).
\( y - 4 = 3(x - (-2)) \pm 13\sqrt{1 + 3^2} \)
\( y - 4 = 3(x + 2) \pm 13\sqrt{1 + 9} \)
\( y - 4 = 3(x + 2) \pm 13\sqrt{10} \)
Kembangkan:
\( y - 4 = 3x + 6 \pm 13\sqrt{10} \)
\( y = 3x + 10 \pm 13\sqrt{10} \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
\( y = 3x + 10 + 13\sqrt{10} \)
atau
\( y = 3x + 10 - 13\sqrt{10} \)
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran \( x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \) yang tegak lurus dengan garis \( 3x + 4y - 8 = 0 \).
Diketahui lingkaran \( x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \) dan garis \( 3x + 4y - 8 = 0 \). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus terhadap garis tersebut.
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan lengkap
Langkah pertama, tentukan gradien garis \( 3x + 4y - 8 = 0 \).
\( 4y = -3x + 8 \)
\( y = -\frac{3}{4}x + 2 \)
Gradien garis tersebut adalah:
\( m_1 = -\frac{3}{4} \)
Karena garis yang dicari tegak lurus, maka berlaku:
\( m_1 \times m_2 = -1 \)
\( -\frac{3}{4} \times m_2 = -1 \)
\( m_2 = \frac{4}{3} \)
Jadi gradien garis singgung yang dicari adalah \( m = \frac{4}{3} \).
Langkah kedua, ubah persamaan lingkaran ke bentuk baku.
\( x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \).
\( (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 0 \)
Lengkapi kuadrat sempurna.
Untuk \( x^2 - 6x \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 \)
Untuk \( y^2 + 8y \), tambahkan dan kurangi \( \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16 \)
\( (x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 8y + 16) - 16 = 0 \)
Sehingga diperoleh:
\( (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \)
\( (x - 3)^2 + (y + 4)^2 - 25 = 0 \)
\( (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \)
Jadi pusat lingkaran adalah \( (3, -4) \) dan:
\( r = 5 \)
Gunakan rumus garis singgung lingkaran berpusat \( (a, b) \) dengan gradien \( m \):
\( y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2} \)
Substitusikan \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( r = 5 \), dan \( m = \frac{4}{3} \).
\( y - (-4) = \frac{4}{3}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} \)
\( y + 4 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{16}{9}} \)
\( y + 4 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm 5\sqrt{\frac{25}{9}} \)
\( y + 4 = \frac{4}{3}(x - 3) \pm \frac{25}{3} \)
Kalikan seluruh persamaan dengan 3 agar lebih sederhana.
\( 3y + 12 = 4(x - 3) \pm 25 \)
\( 3y + 12 = 4x - 12 \pm 25 \)
Kasus pertama:
\( 3y + 12 = 4x - 12 + 25 \)
\( 3y + 12 = 4x + 13 \)
\( 3y = 4x + 1 \)
\( 4x - 3y + 1 = 0 \)
Kasus kedua:
\( 3y + 12 = 4x - 12 - 25 \)
\( 3y + 12 = 4x - 37 \)
\( 3y = 4x - 49 \)
\( 4x - 3y - 49 = 0 \)
Jadi persamaan garis singgung yang dicari adalah:
\( 4x - 3y + 1 = 0 \)
dan
\( 4x - 3y - 49 = 0 \)
9. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran
Dari sebuah titik \( P(x_1,y_1) \) di luar lingkaran selalu dapat dibuat dua buah garis singgung pada lingkaran (lihat gambar). Persamaan garis singgung melalui titik \( P(x_1,y_1) \) di luar lingkaran dapat ditentukan dengan 3 cara:
- Menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu.
- Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.
- Mencari titik singgung dengan cara menentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik \( P \) dan memotongkannya dengan lingkaran.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran \( x^2 + y^2 = 36 \) yang melalui titik \( P(8,0) \) di luar lingkaran.
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Diketahui persamaan lingkaran \( x^2 + y^2 = 36 \). Bentuk umum lingkaran adalah \( x^2 + y^2 = r^2 \), sehingga diperoleh \( r^2 = 36 \) dan \( r = 6 \).
Titik yang dilalui garis singgung adalah \( P(8,0) \). Karena titik ini berada di luar lingkaran (sebab \( 8^2 + 0^2 = 64 \gt 36 \)), maka dapat dibuat dua garis singgung.
Misalkan gradien garis singgung adalah \( m \). Persamaan garis melalui titik \( (8,0) \) adalah:
\( y - 0 = m(x - 8) \)
Sehingga diperoleh:
\( y = m(x - 8) \)
Agar garis ini menyinggung lingkaran, maka jarak pusat lingkaran \( (0,0) \) ke garis harus sama dengan jari-jari \( 6 \).
Ubah persamaan garis ke bentuk umum:
\( y = mx - 8m \) \( mx - y - 8m = 0 \)
Rumus jarak titik ke garis:
\( \displaystyle \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r \)
Dengan \( A = m \), \( B = -1 \), \( C = -8m \), dan titik pusat \( (0,0) \), maka:
\( \displaystyle \frac{|m(0) - 1(0) - 8m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 6 \)
\( \displaystyle \frac{| -8m |}{\sqrt{m^2 + 1}} = 6 \)
Kuadratkan kedua ruas:
\( \displaystyle \frac{64m^2}{m^2 + 1} = 36 \)
\( 64m^2 = 36(m^2 + 1) \)
\( 64m^2 = 36m^2 + 36 \)
\( 28m^2 = 36 \)
\( m^2 = \frac{36}{28} \)
\( m^2 = \frac{9}{7} \)
\( m = \pm \frac{3}{\sqrt{7}} \)
Substitusikan ke persamaan garis \( y = m(x - 8) \).
\( y = \frac{3}{\sqrt{7}}(x - 8) \)
atau
\( y = -\frac{3}{\sqrt{7}}(x - 8) \)
Jadi, persamaan dua garis singgung yang diminta adalah:
\( y = \frac{3}{\sqrt{7}}(x - 8) \)
dan
\( y = -\frac{3}{\sqrt{7}}(x - 8) \)
10. Kedudukan Dua Lingkaran
Misalkan terdapat dua buah lingkaran \( L_1 \) dan \( L_2 \), dimana:
\( L_1 : x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0 \) dengan pusat \( P_1 \) dan jari-jari \( r_1 \),
\( L_2 : x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0 \) dengan pusat \( P_2 \) dan jari-jari \( r_2 \).
Kedudukan dari kedua lingkaran \( L_1 \) dan \( L_2 \) ada beberapa kemungkinan, yaitu:
a. Dua lingkaran berpotongan
Lingkaran \( L_1 \) dan \( L_2 \) berpotongan di dua titik, misalnya \( D \) dan \( E \). Segmen garis \( DE \) disebut tali busur sekutu.
Berdasarkan ketaksamaan segitiga pada segitiga \( \triangle DP_1P_2 \), maka dua lingkaran berpotongan jika jarak antar pusat memenuhi:
\( P_1P_2 \lt r_1 + r_2 \)
dan
\( P_1P_2 \gt |r_1 - r_2| \)
Dengan kata lain:
\( |r_1 - r_2| \lt P_1P_2 \lt r_1 + r_2 \)
b. Dua lingkaran bersinggungan
Ada dua kemungkinan dua lingkaran saling bersinggungan, yaitu bersinggungan luar dan bersinggungan dalam.
Bersinggungan luar terjadi jika jarak antar pusat sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran:
\( P_1P_2 = r_1 + r_2 \)
Bersinggungan dalam terjadi jika jarak antar pusat sama dengan selisih jari-jari kedua lingkaran:
\( P_1P_2 = |r_1 - r_2| \)
c. Dua lingkaran tidak berpotongan atau tidak bersinggungan
Lingkaran tidak berpotongan apabila jarak antar pusat lebih besar daripada jumlah jari-jari:
\( P_1P_2 \gt r_1 + r_2 \)
Lingkaran juga tidak berpotongan apabila salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya tanpa bersinggungan, yaitu jika:
\( P_1P_2 \lt |r_1 - r_2| \)
d. Dua lingkaran berpotongan tegak lurus (Orthogonal)
Dua lingkaran dikatakan berpotongan orthogonal (tegak lurus) jika garis singgung kedua lingkaran pada titik potongnya saling membentuk sudut \( 90^\circ \).
Syaratnya adalah kuadrat jarak antar pusat sama dengan jumlah kuadrat jari-jari:
\( (P_1P_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 \)
e. Lingkaran \( L_2 \) memotong dan membagi dua sama besar lingkaran \( L_1 \)
Lingkaran \( L_2 \) membagi dua sama besar lingkaran \( L_1 \) apabila jarak kuadrat antar pusat sama dengan selisih kuadrat jari-jari kedua lingkaran:
\( (P_1P_2)^2 = r_2^2 - r_1^2 \)
Tunjukkan bahwa lingkaran \( x^2 + y^2 - 16x - 20y + 115 = 0 \) dan lingkaran \( x^2 + y^2 + 8x - 10y + 5 = 0 \) saling bersinggungan dan carilah titik singgungnya.
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah pertama adalah menentukan pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran dengan melengkapkan kuadrat.
Lingkaran pertama:
\( x^2 + y^2 - 16x - 20y + 115 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):
\( (x^2 - 16x) + (y^2 - 20y) + 115 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 16x = (x - 8)^2 - 64 \)
\( y^2 - 20y = (y - 10)^2 - 100 \)
Substitusi kembali:
\( (x - 8)^2 - 64 + (y - 10)^2 - 100 + 115 = 0 \)
\( (x - 8)^2 + (y - 10)^2 - 49 = 0 \)
\( (x - 8)^2 + (y - 10)^2 = 49 \)
Maka pusat \( P_1 = (8,10) \) dan jari-jari \( r_1 = 7 \).
Lingkaran kedua:
\( x^2 + y^2 + 8x - 10y + 5 = 0 \)
Kelompokkan suku:
\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 5 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16 \)
\( y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25 \)
Substitusi kembali:
\( (x + 4)^2 - 16 + (y - 5)^2 - 25 + 5 = 0 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 5)^2 - 36 = 0 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 36 \)
Maka pusat \( P_2 = (-4,5) \) dan jari-jari \( r_2 = 6 \).
Sekarang kita hitung jarak kedua pusat dengan rumus jarak dua titik:
\( P_1P_2 = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (10 - 5)^2} \)
\( P_1P_2 = \sqrt{12^2 + 5^2} \)
\( P_1P_2 = \sqrt{144 + 25} \)
\( P_1P_2 = \sqrt{169} = 13 \)
Jumlah jari-jari:
\( r_1 + r_2 = 7 + 6 = 13 \)
Karena \( P_1P_2 = r_1 + r_2 \), maka kedua lingkaran bersinggungan luar.
Untuk mencari titik singgung, gunakan sifat bahwa titik singgung terletak pada garis yang menghubungkan kedua pusat.
Vektor dari \( P_1 \) ke \( P_2 \):
\( (-4 - 8,\, 5 - 10) = (-12,-5) \)
Panjang vektor tersebut adalah \( 13 \). Karena bersinggungan luar, titik singgung terletak pada jarak \( r_1 = 7 \) dari \( P_1 \) menuju \( P_2 \).
Skala vektor:
\( \frac{7}{13}(-12,-5) = \left(-\frac{84}{13},-\frac{35}{13}\right) \)
Tambahkan ke pusat \( P_1 \):
\( \left(8 - \frac{84}{13},\, 10 - \frac{35}{13}\right) \)
\( \left(\frac{104 - 84}{13},\, \frac{130 - 35}{13}\right) \)
\( \left(\frac{20}{13},\, \frac{95}{13}\right) \)
Jadi titik singgung kedua lingkaran adalah:
\( \left(\frac{20}{13},\, \frac{95}{13}\right) \)
Diketahui lingkaran \( L_1 = x^2 + y^2 + 6x + 5 = 0 \) dan \( L_2 = x^2 + y^2 - 4x = 0 \). Selidiki, apakah kedua lingkaran tersebut berpotongan?
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Langkah pertama adalah menentukan pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran dengan melengkapkan kuadrat.
Lingkaran pertama:
\( x^2 + y^2 + 6x + 5 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \):
\( (x^2 + 6x) + y^2 + 5 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \)
Substitusi kembali:
\( (x + 3)^2 - 9 + y^2 + 5 = 0 \)
\( (x + 3)^2 + y^2 - 4 = 0 \)
\( (x + 3)^2 + y^2 = 4 \)
Maka pusat \( P_1 = (-3,0) \) dan jari-jari \( r_1 = 2 \).
Lingkaran kedua:
\( x^2 + y^2 - 4x = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \):
\( (x^2 - 4x) + y^2 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \)
Substitusi kembali:
\( (x - 2)^2 - 4 + y^2 = 0 \)
\( (x - 2)^2 + y^2 = 4 \)
Maka pusat \( P_2 = (2,0) \) dan jari-jari \( r_2 = 2 \).
Sekarang kita hitung jarak antar pusat menggunakan rumus jarak dua titik:
\( P_1P_2 = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} \)
\( P_1P_2 = \sqrt{5^2} = 5 \)
Jumlah jari-jari kedua lingkaran:
\( r_1 + r_2 = 2 + 2 = 4 \)
Bandingkan jarak pusat dengan jumlah jari-jari:
\( P_1P_2 = 5 \gt r_1 + r_2 = 4 \)
Karena \( P_1P_2 \gt r_1 + r_2 \), maka kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan.
Diketahui dua lingkaran \( L_1 = x^2 + y^2 - 4x - 1 = 0 \) dan lingkaran \( L_2 = x^2 + y^2 - 8x + 2y - 3 = 0 \). Tentukan banyak garis singgung persekutuan dari dua lingkaran tersebut.
Jawaban dan Pembahasan (Klik untuk membuka)
Untuk menentukan banyak garis singgung persekutuan, kita perlu mengetahui kedudukan kedua lingkaran, yaitu dengan membandingkan jarak antar pusat \( P_1P_2 \) terhadap \( r_1 \) dan \( r_2 \).
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \( L_1 \) dengan melengkapkan kuadrat.
\( x^2 + y^2 - 4x - 1 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \):
\( (x^2 - 4x) + y^2 - 1 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \)
Substitusi kembali:
\( (x - 2)^2 - 4 + y^2 - 1 = 0 \)
\( (x - 2)^2 + y^2 - 5 = 0 \)
\( (x - 2)^2 + y^2 = 5 \)
Maka pusat \( P_1 = (2,0) \) dan jari-jari \( r_1 = \sqrt{5} \).
Langkah 2: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \( L_2 \) dengan melengkapkan kuadrat.
\( x^2 + y^2 - 8x + 2y - 3 = 0 \)
Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):
\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) - 3 = 0 \)
Lengkapi kuadrat:
\( x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \)
\( y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 \)
Substitusi kembali:
\( (x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 - 3 = 0 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 1)^2 - 20 = 0 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 20 \)
Maka pusat \( P_2 = (4,-1) \) dan jari-jari \( r_2 = \sqrt{20} \).
Langkah 3: Hitung jarak antar pusat \( P_1P_2 \).
\( P_1P_2 = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 0)^2} \)
\( P_1P_2 = \sqrt{2^2 + (-1)^2} \)
\( P_1P_2 = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
Langkah 4: Bandingkan \( P_1P_2 \) dengan \( r_1 \) dan \( r_2 \).
Diketahui:
\( r_1 = \sqrt{5} \)
\( r_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Hitung \( r_1 + r_2 \) dan \( |r_2 - r_1| \).
\( r_1 + r_2 = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5} \)
\( |r_2 - r_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5} \)
Ternyata:
\( P_1P_2 = \sqrt{5} = |r_2 - r_1| \)
Karena \( P_1P_2 = |r_2 - r_1| \), maka kedua lingkaran bersinggungan dalam.
Jika dua lingkaran bersinggungan dalam, maka banyak garis singgung persekutuan adalah 1, yaitu hanya garis singgung persekutuan luar.
Jadi, banyak garis singgung persekutuan dari dua lingkaran tersebut adalah:
1