A. Pengertian Fungsi

Relasi, yaitu aturan pengkawanan himpunan dengan aturan tertentu. Fungsi atau pemetaan \( f \) merupakan suatu relasi yang khusus.

Suatu fungsi dari himpunan \( A \) ke himpunan \( B \) didefinisikan sebagai suatu relasi dengan ketentuan setiap anggota \( A \) dipasangkan dengan tepat satu anggota \( B \), ditulis: \( f : A \rightarrow B \).

• Himpunan \( A \) disebut daerah asal atau domain.
• Himpunan \( B \) disebut daerah kawan atau kodomain.
• Himpunan bagian \( B \) yang berpasangan dengan \( A \) disebut daerah hasil atau range.

---

B. Komposisi Fungsi

Misalkan:

\( g : A \rightarrow B \), maka \( y = g(x) \)

\( f : B \rightarrow C \), maka \( z = f(x) \)

Fungsi komposisi \( g \) dan \( f \) dapat dituliskan:

\( h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Tidak komutatif: \( f \circ g \neq g \circ f \)

Asosiatif: \( f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h = f \circ g \circ h \)

Mempunyai identitas \( I \) adalah fungsi identitas di mana \( I(x) = x \), sehingga \( f \circ I = I \circ f = f \)

Fungsi invers komposisi: \( (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \)

Domain Fungsi Komposisi

\( D(g \circ f) = \{ x \in D_f \mid R_f \subset D_g \} \)

Keterangan:
\( D_f \) = domain \( f \)
\( D_g \) = domain \( g \)
\( R_f \) = range \( f \)
\( D(g \circ f) \) = domain \( g \circ f \)

---

A. Fungsi Invers

Suatu fungsi \( f : A \rightarrow B \) mempunyai fungsi invers \( f^{-1} : B \rightarrow A \), jika \( A \) dan \( B \) berkorespondensi satu-satu.

Daerah hasil dari \( f \) merupakan daerah asal bagi \( f^{-1} \) dan daerah asal dari \( f \) merupakan daerah hasil bagi \( f^{-1} \).

Sehingga jika \( f(x) = y \), maka \( f^{-1}(y) = x \).

Fungsi invers berlaku:

Jika \( f(a) = b \), maka \( f^{-1}(b) = a \).

Secara grafis \( f^{-1} \) adalah hasil pencerminan \( f(x) \) terhadap garis \( y = x \).

D. Invers Fungsi Komposisi

Bila \( f : A \rightarrow B \) dan \( g : B \rightarrow C \), maka:

\( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \)

Invers dari fungsi komposisi berlaku:

Jika \( (g \circ f)(a) = b \), maka \( (g \circ f)^{-1}(b) = a \).

Cara Cepat

Jika \( f \circ g(x) = h(x) \), maka \( f(x) = h(g^{-1}(x)) \).

---

No.	\( f(x) \)	\( f^{-1}(x) \)
1.	\( ax + b \)	\( \frac{x - b}{a} \)
2.	\( \frac{x}{a} + b \)	\( a(x - b) \)
3.	\( x^a + b \)	\( (x - b)^{\frac{1}{a}} \)
4.	\( (ax + b)^c \)	\( \frac{\sqrt[c]{x} - b}{a} \)
5.	\( a^{bx} \)	\( \frac{\, ^a\!\log x}{b} \)
6.	\( a^{bx + c} \)	\( \frac{\, ^a\!\log x - c}{b} \)
7.	\( \frac{ax + b}{cx + d} \)	\( \frac{-dx + b}{cx - a} \)
8.	\( \sqrt[n]{ax + b} \)	\( \frac{x^n - b}{a} \)
9.	\( ^a\!\log x \)	\( a^x \)

---

E. Menentukan Fungsi

Jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui:

Diketahui \( f(x) \) dan \( f \circ g(x) = h(x) \), maka:

\( g(x) = f^{-1}(h(x)) \)

Diketahui \( f(x) \) dan \( g \circ f(x) = h(x) \), maka:

\( g(x) = h(f^{-1}(x)) \)

file:///G:/server/web/protected/matematika/bab%2012%20FK%20Invers.pdf