Materi: Matematika (Operasi Aljabar)
A. SUKU TUNGGAL DAN SUKU BANYAK
i. Bentuk aljabar seperti $3a$, $-3ab^2$ disebut suku tunggal (monomi).
ii. Bentuk aljabar seperti $-2x + 3y$ disebut suku dua (binom).
iii. Bentuk aljabar seperti $mn - pq + 7$, dan $x^2 - xy + y^2$ disebut suku tiga (trinom).
iv. Bentuk aljabar yang terdiri dari lebih dari 3 suku disebut suku banyak (polinom).
Contoh:
$
2a - 3b + 4c - 5,\quad x^3 - 2x^2 + 3x + 5,\quad x^3 + 2x^2y + 3xy^2 + 4xy + x + y + 2
$
B. SIFAT-SIFAT OPERASI ALJABAR
Jika $m$, $n$, dan $p$ adalah bilangan bulat, maka berlaku:
1. $m + n = n + m$
(sifat komutatif pada penjumlahan)
2. $(m + n) + p = m + (n + p)$
(sifat asosiatif pada penjumlahan)
3. $m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p$
(sifat distributif)
4. $m \cdot n = n \cdot m$
(sifat komutatif pada perkalian)
5. $(m \cdot n) \cdot p = m \cdot (n \cdot p)$
(sifat asosiatif pada perkalian)
6. $m + 0 = m$
(elemen identitas pada penjumlahan)
7. $m \cdot 1 = m$
(elemen identitas pada perkalian)
8. $m + (-m) = 0$
(invers penjumlahan)
9. $m \cdot \frac{1}{m} = 1$
(invers perkalian)
10. Jika $m \cdot n = m \cdot p$ dan $m \ne 0$, maka $n = p$
(pencoretan)
C. PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR
1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
4. $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$
5. $(a + b)^4 = (a + b)(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = x^4 + 4x^3 + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^3$
6. $(a - b)^4 = (a - b)(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = x^4 - 4x^3 + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^3$
7. $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$
D. BENTUK FAKTORISASI KHUSUS
1. Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kuadrat:
a. $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
b. $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$
c. $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
2. Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kubik:
a. $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - 2xy + y^2)$
b. $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + 2xy + y^2)$
c. $x^3 + y^3 = (x^2 + y^2)(x + y) - xy(x + y) = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
d. $x^3 - y^3 = (x^2 + y^2)(x - y) - xy(x - y) = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$
3. Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar berpangkat $n$:
a. $
x^n + y^n = (x + y)(x^{n-1} - x^{n-2}y^1 + x^{n-3}y^2 - \ldots + y^{n-1}) \quad \rightarrow n \in \text{ganjil}
$
b. $
x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y^1 + x^{n-3}y^2 + \ldots + y^{n-1}) \quad \rightarrow n \in \mathbb{N}
$
E. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
Berikut adalah rumus-rumus perkalian istimewa:
1. $a(c \pm d) = ac \pm ad$
2. $(a \pm b)(a + b) = (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
3. $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$
4. $(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$
5. $(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd$
1. Bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan $a = 1$
$
ax^2 + bx + c = (x + p)(x + q)
$
$
x^2 + bx + c = x^2 + (p + q)x + pq
$
Dari bentuk di atas, diperoleh hubungan:
$
\boxed{b = (p + q) \quad \text{dan} \quad c = pq}
$
---
2. Bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan $a \ne 1$
Anggap:
$
ax^2 + bx + c = \frac{(ax + P)(ax + Q)}{a}
$
Kalikan kedua ruas dengan $a$:
$
a(ax^2 + bx + c) = (ax + P)(ax + Q)
$
$
a^2x^2 + abx + ac = a^2x^2 + a(ax + P)x + PQ
$
Dari bentuk ini, diperoleh hubungan:
$
\boxed{b = (P + Q) \quad \text{dan} \quad ac = PQ}
$
SIFAT PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN
Aturan perkalian tanda:
1. Positif × Positif = Positif
2. Positif × Negatif = Negatif
3. Negatif × Positif = Negatif
4. Negatif × Negatif = Positif
---
Aturan penjumlahan dua bilangan:
1. Bilangan Genap ± Bilangan Genap = Bilangan Genap
2. Bilangan Genap ± Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil
3. Bilangan Ganjil ± Bilangan Genap = Bilangan Ganjil
4. Bilangan Ganjil ± Bilangan Ganjil = Bilangan Genap
---
Aturan perkalian dua bilangan:
1. Bilangan Genap × Bilangan Genap = Bilangan Genap
2. Bilangan Genap × Bilangan Ganjil = Bilangan Genap
3. Bilangan Ganjil × Bilangan Genap = Bilangan Genap
4. Bilangan Ganjil × Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil
FPB DAN KPK
Pengertian FPB
Misalkan $a, b \in \mathbb{Z}$ ( $\mathbb{Z}$ adalah notasi dari bilangan bulat). Suatu bilangan bulat $d$ disebut faktor persekutuan terbesar ( greatest common divisor / gcd ) dari $a$ dan $b$ jika:
1. $d$ membagi habis $a$ dan $b$, jadi $d|a$ dan $d|b$.
2. Untuk setiap bilangan $e$ pembagi habis $a$ dan $b$, maka $e|d$.
Faktor persekutuan terbesar $d$ dari bilangan $a$ dan $b$ dinotasikan dengan:
$
\gcd(a, b) = d \quad \text{atau} \quad \text{FPB}(a, b) = d
$
---
Pengertian Relatif Prima ( Relative Prime )
Dua buah bilangan bulat $a$ dan $b$ disebut saling prima ( relative prime ) jika:
$
\gcd(a, b) = 1
$
---
Sifat:
Jika $a$ dan $b$ dua buah bilangan bulat dan $d = \gcd(a, b)$, maka terdapat bilangan bulat $m$ dan $n$ sehingga:
$
d = ma + nc
$
---
Contoh Soal:
Faktorisasi prima dari 5220 adalah ...
Jawab:
5220 = 2 $\times$ 2610
= 2 $\times$ 2 $\times$ 1305
= 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ 435
= 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ 3 $\times$ 145
= 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ 29
= $2^2 \times 3^2 \times$ 5 $\times$ 29
Jadi, faktorisasi prima dari 5220 adalah:
$
2^2 \times 3^2 \times 5 \times 29
$
Sifat Pemfaktoran Tunggal dan Pengertian KPK :
---
Sifat Pemfaktoran Tunggal:
Setiap bilangan bulat $a$ dengan $|a| > 1$, maka $a$ dapat ditulis sebagai perkalian bilangan prima. Penulisan ini tunggal kecuali urutannya.
Contoh:
$
7056 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2
$
Pemfaktoran bilangan prima ini dapat dicari menggunakan pohon faktor , seperti yang dipelajari di bangku sekolah dasar.
---
Pengertian KPK
Suatu bilangan positif $d$ disebut kelipatan persekutuan terkecil ( least common multiple / lcm ) dari bilangan $a$ dan $b$ jika:
1. $d$ kelipatan $a$ dan $b$, jadi $a|d$ dan $b|d$.
2. Untuk setiap bilangan $e$ kelipatan dari $a$ dan $b$, maka $d|e$.
Kelipatan persekutuan terkecil $d$ dari bilangan $a$ dan $b$ dinotasikan:
$
\text{KPK}(a, b) = d
$
---
Contoh:
Kelipatan persekutuan terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah ...
Jawab:
210 = 2 $\times$ 105 = 2 $\times$ 3 $\times$ 35 = 2 $\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ 7
42 = 2 $\times$ 21 = 2 $\times$ 3 $\times$ 7
70 = 2 $\times$ 35 = 2 $\times$ 5 $\times$ 7
KPK dari 210, 42, dan 70 adalah:
$
2 \times 3 \times 5 \times 7 = \boxed{210}
$
PEMBAGIAN BERSISA
Jika $a \ne 0$, dan $b$ merupakan bilangan bulat, kita katakan bahwa $a$ membagi $b$ jika ada bilangan bulat $c$ sedemikian sehingga $ac = b$. Ditulis dengan $a|b$.
Misalkan $a$, $b$ bilangan bulat, $b > 0$. Ada bilangan bulat unik $q$ dan $r$ sehingga:
$
a = bq + r,\quad 0 \le r < b
$
Penjelasan istilah:
$a$ disebut yang dibagi ( dividend )
$b$ disebut pembagi ( divisor )
$q$ disebut hasil bagi ( quotient )
$r$ disebut sisa ( remainder )
---
Contoh Soal:
1. Tentukan hasil pembagian 1987 oleh 97
Jawaban:
1987 jika dibagi 97 memberikan hasil bagi 20 dan sisa 47.
$
1987 = 97 \cdot 20 + 47
$
---
2. Tentukan hasil pembagian –22 oleh 3
Jawaban:
$
-22 = 3 \cdot (-8) + 2
$
Namun kita tidak boleh menulis :
$
-22 = 3 \cdot (-8) + (-2)
$
Karena $r = -1$ tidak memenuhi syarat $0 \le r < b$.
Sebaliknya:
Jika $24 \div 3$, maka:
$
24 = 3 \cdot 8 + 0
$
Karena $r = 0$ memenuhi $0 \le r < 3$.
---
Sifat-sifat dalam himpunan bilangan bulat:
a. Refleksif :
Untuk setiap bilangan bulat $a$:
$
a|a
$
b. Transitif :
Jika $a|b$ dan $b|c$, maka $a|c$
c. Linear :
Jika $a|b$ dan $a|c$, maka
$
a|(xb + yc)
$
untuk sembarang $x, y \in \mathbb{Z}$
d. Perkalian :
Jika $a|b$, maka untuk sembarang $c$:
$
ca|cb
$
e. Bilangan 1 :
Untuk setiap bilangan $a$, berlaku:
$
a|1
$
f. Bilangan 0 :
Untuk setiap bilangan $a$, berlaku:
$
a|0
$
g. Jika $b|a$ dan $a = \pm b$, maka $a$ dan $b$ saling berkaitan.
$\textbf{Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi}$ $n$:
Habis dibagi 2 : Digit terakhirnya genap
Habis dibagi 3 : Jumlah digitnya habis dibagi 3
Habis dibagi 4 : Dua digit terakhirnya habis dibagi 4
Habis dibagi 5 : Digit terakhirnya 0 atau 5
Habis dibagi 8 : Tiga digit terakhirnya habis dibagi 8
Habis dibagi 9 : Jumlah digitnya habis dibagi 9
Habis dibagi 11 : Selisih digit-digit pada tempat ganjil dan tempat genap adalah nol
KONGRUEN
Misalkan $a, b$ bilangan bulat dan $m$ suatu bilangan bulat positif. Kita katakan $a$ kongruen dengan $b$ modulo $m$ jika $m$ membagi $a - b$, ditulis dengan $a \equiv b \pmod{m}$. Jika $m$ tidak membagi $a - b$, maka kita tulis $a \not\equiv b \pmod{m}$. Hubungan $a \equiv b$ untuk bilangan bulat $a$ dan $b$ mempunyai banyak himpunan yang sama dengan hubungan $a = b$.
$\textbf{Sifat}$. Untuk bilangan bulat $a, b, c$ dan bilangan bulat positif $m$ berlaku:
1. $a \equiv a \pmod{m}$
2. Jika $a \equiv b \pmod{m}$, maka $b \equiv a \pmod{m}$
3. Jika $a \equiv b \pmod{m}$ dan $b \equiv c \pmod{m}$, maka $a \equiv c \pmod{m}$
4. Jika $a_i \equiv b_i \pmod{m}$ untuk $1 \le i \le n$, maka $a_1 + a_2 + \ldots + a_n \equiv b_1 + b_2 + \ldots + b_n \pmod{m}$
5. Jika $a + b \equiv c \pmod{m}$, maka $a \equiv c - b \pmod{m}$
6. Jika $a \equiv b \pmod{m}$, maka $a + c \equiv b + c \pmod{m}$
7. Jika $a_i \equiv b_i \pmod{m}$, maka $a_1 a_2 \ldots a_n \equiv b_1 b_2 \ldots b_n \pmod{m}$
8. Jika $a \equiv b \pmod{m}$, maka $ac \equiv bc \pmod{m}$
9. Jika $a \equiv b \pmod{m}$, maka $a^r \equiv b^r \pmod{m}$
10. Jika $a \equiv b \pmod{m}$ dan $f(x)$ adalah suku banyak dengan koefisien bilangan bulat, maka $f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$
$\textbf{Contoh}$
Jika $2^{13}$ dibagi dengan 13, maka akan memberikan sisa samadengan ...
Jawab:
$2^{13} = 8192 \equiv 2 \pmod{13}$
Jadi, $2^{13}$ dibagi dengan 13 memberikan sisa 2.