Materi: Matematika (Matriks)

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut.
Ukuran matriks dinyatakan dalam (Baris × Kolom)

Contoh:

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \) A adalah matriks ukuran 2 × 2

\( B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \) B adalah matriks ukuran 3 × 2

Bentuk umum matriks berordo i × j dengan i, j bilangan asli adalah sebagai berikut:

\[ A_{ij} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1j} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2j} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ij} \end{bmatrix} \]

B. Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks bujur sangkar
   Yaitu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
   
   Contoh: \[ P = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \]
2. Matriks identitas
   Yaitu matriks yang dikalikan dengan suatu matriks maka hasilnya adalah matriks itu sendiri.
   Bentuk matriks identitas berupa matriks bujur sangkar.
   
   Contoh: \[ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
3. Matriks konstanta
   \[ K = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = 4 \]
4. Matriks segitiga
   Yaitu matriks yang elemen di atas atau di bawah diagonal utamanya adalah nol semua.
   A matriks segitiga atas, sedangkan P matriks segitiga bawah.
   
   \[ A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 5 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad P = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \]

C. Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan

Sifat-sifat:

• \( A + B = B + A \)
• \( A - B \ne B - A \)
• \( (A + B) + C = A + (B + C) \)

Perkalian Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila terpenuhi:

• Syarat: banyak kolom A = banyak baris B
• Hasil: matriks C dengan ordo sama dengan jumlah baris matriks A × jumlah kolom matriks B
• Pola perkalian: kalikan elemen-elemen baris A dengan elemen-elemen kolom B yang sekawan, kemudian jumlahkan hasilnya sebagai elemen baru bagi C.

Perkalian Matriks:

\[ A_{k \times l} \cdot B_{l \times n} = C_{k \times n} \quad \text{(jumlah kolom A = jumlah baris B)} \]

\[ A \cdot B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} k & l \\ m & n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \cdot k + b \cdot m & a \cdot l + b \cdot n \\ c \cdot k + d \cdot m & c \cdot l + d \cdot n \end{bmatrix} \]

Perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif.
Sehingga: \( A \cdot B \ne B \cdot A \)

D. Transpose Matriks

Yaitu matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom matriks A dan elemen kolomnya adalah baris matriks A (Baris ⇄ Kolom).
Matriks transpose dinotasikan dengan \( A^t \) atau \( \overline{A} \).

Contoh:

\[ A_{3 \times 2} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 9 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \quad A^t_{2 \times 3} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 9 & 7 \end{bmatrix} \]

Sifat: \((AB)^t = B^t \cdot A^t\)

C. Determinan Matriks

Merupakan suatu skalar yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar. Determinan matriks A ditulis sebagai:
det(A) atau \( |A| \)

• Determinan matriks bujur sangkar ordo 2 (2×2)
  Jika \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) maka: \[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c \]
• Determinan matriks bujur sangkar ordo 3 (3×3)
  Jika \[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \] maka: \[ \text{det}(A) = (a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h) - (c \cdot e \cdot g + a \cdot f \cdot h + b \cdot d \cdot i) \]

Sifat-sifat determinan matriks

1. Matriks singular jika dan hanya jika determinan matriks = nol
2. Jika A, B, dan C matriks bujur sangkar yang memenuhi \( A \cdot B = C \), maka:
   \( \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) = \text{det}(C) \)
3. \( \text{det}(A) = \text{det}(A^t) \) dan \( \text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)} \)

F. Matriks Invers

Apabila determinan matriks berordo 2 tidak sama dengan nol, maka rumus untuk mencari matriks invers sebagai berikut.

Jika matriks: \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \text{maka} \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

Penyelesaian Matriks:

1. \( A \cdot B = C \Rightarrow B = A^{-1} \cdot C \)
2. \( A \cdot B = C \Rightarrow A = C \cdot B^{-1} \)
3. \( A \cdot B = I \Rightarrow B = A^{-1}, \; A = B^{-1} \)