Baca juga
- Tujuan Anak Masuk Pesantren: Pendidikan Agama Mendalam, Kemandirian, dan Karakter Kuat untuk Bekal Dunia Akhirat
- Pesantren Al Ihsan Jampes Kediri
- Pesantren Al Hikmah Trenggalek
- Pesantren Abi Bahrun Madiun
A. Bentuk Umum dan Diskriminan
Bentuk umum PK adalah:
\( ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0 \)
Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai Diskriminan (D)
\( D = b^2 - 4ac \)
-
\( D \ge 0 \), berarti PK mempunyai dua akar nyata (real)
Jika: \( D = 0 \), Berarti PK mempunyai akar kembar.
\( D \gt 0 \), berarti PK mempunyai akar-akar nyata dan berlainan.
-
\( D \lt 0 \), berarti PK mempunyai akar tidak nyata (imajiner).
B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dicari dengan dua cara, yaitu:
-
Jika \( D \gt 0 \) dengan pemfaktoran
\( a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \)
-
Dengan rumus
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
C. Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar
Jika \( x_1 \) dan \( x_2 \) akar-akar persamaan kuadrat maka:
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( x_1 - x_2 = \pm \dfrac{\sqrt{D}}{a} \)
Beberapa bentuk turunan yang sering dipakai:
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
\( x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) \)
\( x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) \)
\( x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)^3 + 3x_1x_2(x_1 - x_2) \)
\( x_1^4 + x_2^4 = \left[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\right]^2 - 2(x_1x_2)^2 \)
\( x_1^4 - x_2^4 = \left[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\right]\left[(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)\right] \)
RUMUS PRAKTIS
Jika akar-akar PK adalah \( x_1 \) dan \( x_2 \) dengan \( x_1 = x_2 + n \) maka:
\( D = (n \cdot a)^2 \)
Ingin Mendapatkan Informasi Lebih Lanjut?
Bagi wali santri yang ingin mengetahui informasi lebih detail, silakan menghubungi via WhatsApp terlebih dahulu agar informasinya jelas dan sesuai kebutuhan.
📲 Hubungi WhatsAppRekomendasi
- pesantren Idrisiyyah
- Pesantren Nurul Falah Trenggalek
- pesantren Miftahussalam
- pesantren Al Andalus Putri
Jika \( x_1 \) dan \( x_2 \) akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan berlaku \( x_1 = n x_2 \), maka:
\( n b^2 = (n + 1)^2 a \cdot c \)
D. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Perhatikan hubungan antara jenis akar-akar \( x_1 \) dan \( x_2 \) pada persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \).
| Jenis akar | Akar-akar | Syarat | |
|---|---|---|---|
| \( x_1 \) | \( x_2 \) | ||
| Kedua akar real positif | + | + |
\( D \ge 0 \) \( x_1 + x_2 \gt 0 \) \( x_1 x_2 \gt 0 \) |
| Kedua akar real negatif | - | - |
\( D \ge 0 \) \( x_1 + x_2 \lt 0 \) \( x_1 x_2 \gt 0 \) |
| Kedua akar berlawanan tanda | + | - |
\( D \gt 0 \) \( x_1 x_2 \lt 0 \) |
| Kedua akar real berlawanan | \( x_1 = -x_2 \) |
\( D \gt 0 \) \( x_1 + x_2 = 0 \) \( x_1 x_2 \lt 0 \) |
|
C. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dengan akar-akar \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah:
\( (x - x_1)(x - x_2) = 0 \) atau \( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0 \)
Diketahui \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar-akar dari \( ax^2 + bx + c = 0 \) maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut:
1. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( n x_1 \) dan \( n x_2 \) maka invers akarnya adalah \( \dfrac{x_1}{n} \) dan \( \dfrac{x_2}{n} \).
\( \dfrac{x_1}{n} \) dan \( \dfrac{x_2}{n} \). Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( a \left( \dfrac{x}{n} \right)^2 + b \left( \dfrac{x}{n} \right) + c = 0 \)
2. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( \dfrac{1}{x_1} \) dan \( \dfrac{1}{x_2} \) (berkebalikan) maka akarnya persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( c x^2 + b x + a = 0 \)
3. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( -x_1 \) dan \( -x_2 \) maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( a x^2 - b x + c = 0 \)
4. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( x_1 + n \) dan \( x_2 + n \) maka invers akarnya \( x_1 - n \) dan \( x_2 - n \). Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( a (x - n)^2 + b (x - n) + c = 0 \)
5. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( x_1 - n \) dan \( x_2 - n \) maka invers \( x_1 + n \) dan \( x_2 + n \). Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( a (x + n)^2 + b (x + n) + c = 0 \)
6. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( x_1^2 \) dan \( x_2^2 \) maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( a^2 x^2 - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0 \)
7. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( \dfrac{x_1}{x_2} \) dan \( \dfrac{x_2}{x_1} \) maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( ac x^2 - (b^2 - 2ac)x + ac = 0 \)
8. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( x_1 + x_2 \) dan \( x_1 x_2 \) maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
\( a^2 x^2 + (ab - ac)x - bc = 0 \)
9. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \( x_1^3 \) dan \( x_2^3 \) maka persamaan kuadrat baru diperoleh:
\( a^3 x^2 - (3abc - b^3)x + c^3 = 0 \)
file:///G:/server/web/protected/matematika/bab%201%20pk%20-%20kunci.pdf