Isi

Materi: Matematika (Barisan Dan Deret)

### 📘 Materi: Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah susunan angka yang memiliki pola atau aturan tertentu.

Contoh barisan:
$2, 4, 6, 8, 10, \dots$

Diberi notasi:

$U_1 = 2$ (suku pertama)
$U_2 = 4$
$U_3 = 6$
...
$U_n$: suku ke-$n$

---

### 🔍 Contoh Soal:

Diketahui rumus suku ke-$n$:

$
U_n = 2n^2 - 1
$

Tentukan tiga suku pertama dari barisan tersebut.

---

### ✅ Penyelesaian:

Untuk $n = 1$:

$
U_1 = 2 \cdot 1^2 - 1 = 2 - 1 = 1
$

Untuk $n = 2$:

$
U_2 = 2 \cdot 2^2 - 1 = 8 - 1 = 7
$

Untuk $n = 3$:

$
U_3 = 2 \cdot 3^2 - 1 = 18 - 1 = 17
$

---

### ✨ Kesimpulan:

Tiga suku pertama barisan dengan rumus $U_n = 2n^2 - 1$ adalah:

$
\boxed{1,\ 7,\ 17}
$

Jika Anda ingin saya buatkan soal sejenis atau penjelasan lanjut tentang jenis barisan lain seperti aritmetika/geometri, silakan beri tahu.

## 🧮 B. BARISAN ARITMETIKA

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih (beda) tetap atau konstan.

---

### 🔍 Contoh Barisan:

$
1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \dots
$

$U_1 = 1$
$U_2 = U_1 + 2 = 1 + 2 = 3$
$U_3 = U_2 + 2 = 3 + 2 = 5$
$U_4 = U_3 + 2 = 5 + 2 = 7$

➡️ Terlihat bahwa setiap suku ditambah bilangan konstan (dalam hal ini 2). Bilangan ini disebut beda barisan dan dilambangkan dengan $b$.

---

### 📌 Rumus Penting:

#### 🔸 Menentukan beda $b$ pada barisan aritmetika:

$
b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = \dots = U_n - U_{n-1}
$

#### 🔸 Rumus suku ke-$n$ dalam barisan aritmetika:

$
U_n = U_1 + (n - 1) \cdot b
$

## 📘 C. BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana rasio antara dua suku yang berurutan selalu konstan.

---

### 🔍 Contoh Barisan Geometri:

$
1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \dots
$

$U_1 = 1$
$U_2 = U_1 \times 2 = 1 \times 2 = 2$
$U_3 = U_2 \times 2 = 2 \times 2 = 4$
$U_4 = U_3 \times 2 = 4 \times 2 = 8$

➡️ Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap $r = 2$.

---

### 📌 Rumus Penting Barisan Geometri:

#### 🔸 Rasio $r$:

$
r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = \dots = \frac{U_n}{U_{n-1}}
$

#### 🔸 Rumus suku ke-$n$:

$
U_n = a \cdot r^{n-1}
$

di mana:

$a$: suku pertama
$r$: rasio
$n$: nomor suku
## 📘 D. DERET

Deret adalah penjumlahan dari suku-suku dalam suatu barisan.

### 🔍 Contoh Deret:

i. Deret aritmetika:

$
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots
$

ii. Deret aritmetika dengan beda 5:

$
4 + 9 + 14 + 19 + 24 + \dots
$

iii. Deret geometri:

$
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + \dots
$

iv. Deret geometri pecahan:

$
\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \dots
$

v. Deret umum:

$
U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \dots + U_n
$
## 📘 E. DERET ARITMETIKA

Barisan dan Deret Aritmatika

Keterangan Rumus / Definisi
Suku pertama \( a \)
Beda (selisih) \( b = U_n - U_{n-1} \)
Suku ke-n \( (U_n) \) \( U_n = a + (n - 1)b \)
Jumlah n suku pertama \( (S_n) \) \( S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) \)
atau
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)b] \)
Jika diketahui rumus jumlah \( S_n = an^2 + bn \) \( U_n = S_n - S_{n-1} \)
\( U_n = S'_n - a = (2an + b) - a \)
B adalah turunan kedua dari \( S_n \)=\( S''_n = 2a \)
Jumlah tak hingga — Tidak berlaku (divergen)
Jika disisipkan \( k \) bilangan di antara dua bilangan \( b_{\text{baru}} = \frac{b_{\text{lama}}}{k + 1} \)
Suku Tengah \( (U_t) \) \( U_t = \frac{U_1 + U_n}{2} \)
Suku ke-n dari jumlah \( U_n = S_n - S_{n-1} \)

## 📘 F. DERET GEOMETRI

Barisan dan Deret Geometri

Keterangan Rumus / Definisi
Suku pertama \( a \)
Rasio antar suku \( r = \frac{U_n}{U_{n-1}} \)
Suku ke-n \( (U_n) \) \( U_n = a r^{n-1} \)
Jumlah n suku pertama \( (S_n) \) Jika \( r < 1 \):
\( S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \)

Jika \( r > 1 \):
\( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \)
Jumlah tak hingga Jika \( -1 < r < 1 \):
\( S_\infty = \frac{a}{1 - r} \)

Divergen jika \( r \geq 1 \) atau \( r \leq -1 \)
Jika diketahui jumlah n suku \( S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_n \)
Di antara dua bilangan disisipkan \( k \) bilangan \( r_{\text{baru}} = \sqrt[k+1]{\frac{U_n}{U_1}} \)
Suku Tengah \( (U_t) \) \( U_t = \sqrt{U_1 \cdot U_n} \)
Suku ke-n dari selisih jumlah \( U_n = S_n - S_{n-1} \)