Soal 21
Nilai \( \lim_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \) adalah ....
A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(1,2\)
D. \(0,8\)
E. \(0,4\)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Jika \(x = -2\), pembilang \(x+2 = 0\) dan penyebut \( \sqrt{5x+14}-2 = \sqrt{4}-2 = 0\), sehingga bentuknya \( \dfrac{0}{0} \) dan harus disederhanakan.
Perhatikan syarat akar: \(5x+14 \gt 0\) agar \( \sqrt{5x+14} \) terdefinisi. Di sekitar \(x=-2\), syarat ini terpenuhi.
Rasionalisasi penyebut:
\( \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{\sqrt{5x+14}+2} = \dfrac{(x+2)(\sqrt{5x+14}+2)}{(5x+14)-4} \).
Sederhanakan penyebut:
\( (5x+14)-4 = 5x+10 = 5(x+2) \).
Maka:
\( \dfrac{(x+2)(\sqrt{5x+14}+2)}{5(x+2)} = \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{5} \).
Substitusi \(x \to -2\):
\( \dfrac{\sqrt{5(-2)+14}+2}{5} = \dfrac{\sqrt{4}+2}{5} = \dfrac{2+2}{5} = \dfrac{4}{5} = 0,8 \).
Soal 22
Nilai \( \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{5x+4}-\sqrt{3x+9}}{4x} \) adalah ....
A. \(0\)
B. \( \dfrac{1}{2} \)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(4\)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Untuk \(x\) sangat besar, \(x \gt 0\), sehingga \( \sqrt{5x+4} \) dan \( \sqrt{3x+9} \) terdefinisi.
Faktorkan \( \sqrt{x} \) dari masing-masing akar:
\( \sqrt{5x+4} = \sqrt{x}\sqrt{5+\dfrac{4}{x}} \) dan \( \sqrt{3x+9} = \sqrt{x}\sqrt{3+\dfrac{9}{x}} \).
Maka pembilang menjadi:
\( \sqrt{x}\left(\sqrt{5+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{3+\dfrac{9}{x}}\right) \).
Sehingga limit menjadi:
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{5+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{3+\dfrac{9}{x}}\right)}{4x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\left(\sqrt{5+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{3+\dfrac{9}{x}}\right)}{4\sqrt{x}} \).
Saat \(x \to \infty\), bagian dalam kurung mendekati \( \sqrt{5}-\sqrt{3} \) (konstan), sedangkan penyebut \(4\sqrt{x}\) menuju tak hingga. Konstan dibagi tak hingga menuju \(0\).
Jadi nilainya \(0\).
Soal 23
Nilai dari \( \lim_{x \to -3} \dfrac{x^2+6x+9}{2-2\cos(2x+6)} \) adalah ....
A. \(3\)
B. \(1\)
C. \( \dfrac{1}{2} \)
D. \( \dfrac{1}{3} \)
E. \( \dfrac{1}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Faktorkan pembilang:
\( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \).
Ubah bagian cosinus:
\(2x+6 = 2(x+3)\).
Substitusi \( t = x+3 \), maka saat \(x \to -3\) diperoleh \(t \to 0\). Limit menjadi:
\( \lim_{t \to 0} \dfrac{t^2}{2-2\cos(2t)} \).
Gunakan identitas \(1-\cos(2t) = 2\sin^2(t)\), sehingga:
\( 2-2\cos(2t) = 2(1-\cos(2t)) = 4\sin^2(t) \).
Maka:
\( \lim_{t \to 0} \dfrac{t^2}{4\sin^2(t)} = \dfrac{1}{4}\lim_{t \to 0}\left(\dfrac{t}{\sin(t)}\right)^2 \).
Diketahui \( \lim_{t \to 0}\dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \), sehingga \( \lim_{t \to 0}\dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \).
Jadi nilai limitnya \( \dfrac{1}{4} \).
Soal 24
Diketahui balok \(ABCD.EFGH\) dengan \(AB = 2\) cm, \(BC = 3\) cm, dan \(AE = 4\) cm. Jika \(\overrightarrow{AC}\) mewakili vektor \(\vec{u}\) dan \(\overrightarrow{DH}\) mewakili vektor \(\vec{v}\), maka sudut antara vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) adalah ....
A. \(0^\circ\)
B. \(30^\circ\)
C. \(45^\circ\)
D. \(60^\circ\)
E. \(90^\circ\)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Ambil sistem koordinat pada balok: letakkan \(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,3,0)\), \(D=(0,3,0)\), dan karena \(AE=4\), maka \(E=(0,0,4)\) serta \(H=(0,3,4)\).
Vektor \(\vec{u} = \overrightarrow{AC}\):
\( \vec{u} = (2,3,0) \).
Vektor \(\vec{v} = \overrightarrow{DH}\):
\( \vec{v} = (0,0,4) \).
Hitung hasil kali titik:
\( \vec{u}\cdot\vec{v} = (2)(0) + (3)(0) + (0)(4) = 0 \).
Jika \( \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \), maka \(\vec{u}\) tegak lurus \(\vec{v}\), sehingga sudutnya \(90^\circ\).
Soal 25
Diketahui titik \(A(2,7,8)\), \(B(-1,1,-1)\), dan \(C(0,3,2)\). Jika \(\overrightarrow{AB}\) mewakili vektor \(\vec{u}\) dan \(\overrightarrow{BC}\) mewakili vektor \(\vec{v}\), maka proyeksi ortogonal vektor \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\) adalah ....
A. \(-3\vec{i} - 6\vec{j} - 9\vec{k}\)
B. \(\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}\)
C. \(-\dfrac{1}{3}\vec{i} + \dfrac{2}{3}\vec{j} + \vec{k}\)
D. \(-9\vec{i} - 18\vec{j} - 27\vec{k}\)
E. \(3\vec{i} + 6\vec{j} + 9\vec{k}\)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Hitung vektor \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\):
\( \vec{u} = B-A = (-1-2,\;1-7,\;-1-8) = (-3,-6,-9) \).
Hitung vektor \(\vec{v} = \overrightarrow{BC}\):
\( \vec{v} = C-B = (0-(-1),\;3-1,\;2-(-1)) = (1,2,3) \).
Rumus proyeksi ortogonal \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\):
\( \mathrm{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\vec{v} \).
Hitung \(\vec{u}\cdot\vec{v}\):
\( \vec{u}\cdot\vec{v} = (-3)(1)+(-6)(2)+(-9)(3) = -3-12-27 = -42 \).
Hitung \(\vec{v}\cdot\vec{v}\):
\( \vec{v}\cdot\vec{v} = 1^2+2^2+3^2 = 1+4+9 = 14 \).
Koefisien proyeksi:
\( \dfrac{-42}{14} = -3 \).
Maka:
\( \mathrm{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = -3(1,2,3) = (-3,-6,-9) = -3\vec{i}-6\vec{j}-9\vec{k} \).