Masalah ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga antara benda, bayangan, dan sumber cahaya.

Diketahui:

Tinggi lampu dari lantai \( = 4 \) m
Tinggi belalang dari lantai \( = 2 \) m

Bayangan belalang di lantai menempuh:

\( 4 \) m dalam \( 10 \) detik

Sehingga kecepatan bayangan:

\( v_{bayangan} = \frac{4}{10} = 0{,}4 \) m/detik

Gunakan perbandingan kesebangunan:

\[ \frac{\text{jarak bayangan}}{\text{jarak benda}} = \frac{\text{tinggi lampu}}{\text{tinggi lampu} - \text{tinggi benda}} \]

Substitusi nilai:

\[ \frac{\text{jarak bayangan}}{\text{jarak belalang}} = \frac{4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Artinya:

\[ \text{jarak bayangan} = 2 \times \text{jarak belalang} \]

Kecepatan belalang:

\[ v_{belalang} = \frac{v_{bayangan}}{2} = \frac{0{,}4}{2} = 0{,}2 \text{ m/detik} \]

Jarak yang ditempuh belalang dalam \( 5 \) detik:

\[ s = v \times t = 0{,}2 \times 5 = 1 \text{ meter} \]

Jawaban yang benar adalah A.

Ide utama: Bayangan oleh lampu (titik cahaya) membentuk kesebangunan antara panjang benda dan panjang bayangannya di lantai.

Diketahui tinggi lampu (titik sumber cahaya) \( = 10 \) m dari lantai, dan sisi atas papan pengumuman adalah \( EF \).

Langkah 1: Tentukan panjang sisi atas papan.
Papan \( CDEF \) berbentuk persegi panjang, sehingga sisi atas sama dengan sisi bawah:

\[ EF = CD = 5 \text{ m} \]

Langkah 2: Tentukan ketinggian sisi atas papan dari lantai.
Diketahui tinggi tiang sampai titik \( E \) adalah \( AE = 8 \) m. Karena \( E \) adalah ujung kiri atas papan, maka tinggi sisi atas papan \( EF \) dari lantai adalah \( 8 \) m.

Jadi, tinggi garis \( EF \) dari lantai adalah \( 8 \) m.

Langkah 3: Gunakan perbandingan kesebangunan (proyeksi dari lampu ke lantai).
Jika tinggi lampu \( = H \) dan tinggi benda (garis yang dibayangkan) \( = h \), maka perbesaran bayangan di lantai:

\[ \frac{\text{panjang bayangan}}{\text{panjang benda}}=\frac{H}{H-h} \]

Substitusi \( H = 10 \) dan \( h = 8 \):

\[ \frac{E'F'}{EF}=\frac{10}{10-8}=\frac{10}{2}=5 \]

Langkah 4: Hitung \( E'F' \).

\[ E'F' = 5 \times EF = 5 \times 5 = 25 \]

Jadi, \( E'F' = 25 \) m.

Jawaban: (e) \( 25 \)

Anggap lampu sebagai titik \( P \) pada ketinggian \( 10 \) m. Garis \( EF \) berada pada ketinggian \( 8 \) m. Saat sinar dari \( P \) melewati titik-titik pada \( EF \) dan memotong lantai, terbentuk bayangan \( E'F' \).

Karena lantai berada di ketinggian \( 0 \) m, maka jarak vertikal dari lampu ke lantai adalah \( 10 \) m, sedangkan jarak vertikal dari lampu ke papan (garis \( EF \)) adalah \( 10-8=2 \) m. Perbandingan “jarak jauh : jarak dekat” inilah yang menjadi faktor pembesaran:

\[ \text{faktor}=\frac{10}{2}=5 \]

Artinya, semua panjang pada ketinggian \( 8 \) m akan menjadi \( 5 \) kali lebih panjang ketika jatuh sebagai bayangan di lantai. Karena \( EF = 5 \) m, maka bayangannya \( 5 \times 5 = 25 \) m.

Konsep utama: bayangan oleh lampu titik menggunakan kesebangunan segitiga.

Tinggi lampu \( = 2{,}5 \) m dan tinggi Ana \( = 1{,}5 \) m, sehingga faktor perbesaran bayangan di lantai adalah

\[ k=\frac{2{,}5}{2{,}5-1{,}5}=\frac{2{,}5}{1}=2{,}5 \]

Langkah 1: Tentukan posisi titik-titik sebenarnya.
Titik \( P \) sebagai pusat. Ana mula-mula di \( A \) dengan \( PA=3 \) m. Karena \( \angle PAB = 90^\circ \), maka segitiga \( PAB \) siku-siku di \( A \).

Dengan \( PB = 5 \) m dan \( PA = 3 \) m, diperoleh:

\[ AB=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4 \]

Langkah 2: Tentukan posisi bayangan.
Bayangan terletak pada perpanjangan garis dari \( P \) dengan faktor skala \( 2{,}5 \).

Bayangan titik \( A \) adalah \( C \) dengan:

\[ PC = 2{,}5 \times PA = 2{,}5 \times 3 = 7{,}5 \]

Bayangan titik \( B \) adalah \( C' \). Karena koordinat mendatar \( AB = 4 \) dan \( PA = 3 \), maka setelah diperbesar:

\[ C'C = 2{,}5 \times AB = 2{,}5 \times 4 = 10 \]

Jadi, jarak \( CC' = 10 \) m.

Jawaban: (c) \( 10 \)

Lampu bertindak sebagai pusat proyeksi. Semua titik bayangan di lantai berada pada garis lurus dari lampu dengan perbesaran tetap. Karena tinggi Ana lebih rendah dari lampu, bayangannya menjadi lebih panjang dengan faktor yang sama ke segala arah.

Perpindahan Ana dari \( A \) ke \( B \) sejauh \( 4 \) m (secara mendatar) akan menghasilkan perpindahan bayangan yang diperbesar \( 2{,}5 \) kali, sehingga jarak antar ujung bayangan menjadi \( 2{,}5 \times 4 = 10 \) m.

Konsep utama: pemantulan pada cermin datar dapat dianalisis dengan sumber bayangan semu. Bayangan oleh pantulan sama dengan bayangan yang dihasilkan oleh lampu semu yang simetris terhadap bidang cermin.

Langkah 1: Tentukan tinggi titik hiasan.
Tali panjangnya \( 50 \) cm \( = 0{,}5 \) m dan titik gantung berada pada garis \( LR \). Maka tinggi hiasan dari lantai adalah:

\[ h = 6 - 0{,}5 = 5{,}5 \text{ m} \]

Langkah 2: Tentukan posisi lampu semu.
Karena jarak \( PQ = 10 \) m dan bayangan kepala tepat di \( Q \), maka secara geometri lampu semu berada pada jarak horizontal yang sama dari dinding dan ketinggian yang sama dengan lampu nyata.

Saat lampu diturunkan \( x \) m, tinggi lampu baru menjadi:

\[ H = 6 - x \]

Langkah 3: Gunakan kesebangunan segitiga.
Bayangan hiasan di dinding berada pada ketinggian \( 4{,}5 \) m dari lantai. Maka berlaku perbandingan:

\[ \frac{H - 4{,}5}{H - 5{,}5} = \frac{10}{10 - 2} \]

karena jarak hiasan ke dinding adalah \( CL = 2 \) m dan jarak lampu ke dinding \( = 10 \) m.

Substitusi \( H = 6 - x \):

\[ \frac{(6-x)-4{,}5}{(6-x)-5{,}5} = \frac{10}{8} \]

\[ \frac{1{,}5 - x}{0{,}5 - x} = \frac{5}{4} \]

\[ 4(1{,}5 - x) = 5(0{,}5 - x) \]

\[ 6 - 4x = 2{,}5 - 5x \]

\[ x = 0{,}5 \]

Jadi, nilai \( x = 0{,}5 \) m.

Jawaban: (d) \( 0{,}5 \)

Pantulan pada cermin dapat dianggap seolah-olah ada lampu kembar di balik cermin. Dengan cara ini, soal bayangan pantul berubah menjadi soal bayangan biasa yang dapat diselesaikan dengan kesebangunan segitiga, seperti materi proyeksi pada bangun datar di SMA.

Ketika lampu diturunkan, sudut sinar berubah sehingga posisi bayangan ikut bergeser. Dengan membandingkan perubahan tinggi bayangan dan jarak horizontalnya, kita memperoleh nilai penurunan lampu secara tepat.

Konsep utama: bayangan oleh lampu titik menggunakan kesebangunan segitiga (materi proyeksi pada segitiga sebangun di SMA).

Diketahui:

Tinggi lampu \( = 7{,}2 \) m
Tinggi Kris \( = 180 \) cm \( = 1{,}8 \) m

Jarak vertikal antara lampu dan kepala Kris:

\[ 7{,}2 - 1{,}8 = 5{,}4 \]

Langkah 1: Tentukan faktor perbesaran bayangan.
Berdasarkan kesebangunan segitiga, berlaku:

\[ \frac{\text{jarak bayangan}}{\text{jarak benda}} = \frac{\text{tinggi lampu}}{\text{tinggi lampu} - \text{tinggi benda}} \]

Substitusi nilai:

\[ \frac{\text{jarak ujung bayangan}}{\text{jarak Kris}} = \frac{7{,}2}{5{,}4} \]

Sederhanakan:

\[ \frac{7{,}2}{5{,}4} = \frac{72}{54} = \frac{4}{3} \]

Langkah 2: Tentukan perbandingan jarak tempuh.
Artinya, setiap Kris berjalan sejauh \( 3 \) satuan jarak, ujung bayangannya bergerak sejauh \( 4 \) satuan jarak.

Maka perbandingan:

\[ \text{jarak Kris} : \text{jarak ujung bayangan} = 3 : 4 \]

Jawaban yang benar adalah (e) \( 3 : 4 \).

Lampu berperan sebagai titik pusat proyeksi. Ketika Kris berjalan lurus dengan kecepatan tetap, bayangannya juga bergerak lurus tetapi dengan kecepatan berbeda.

Karena kepala Kris lebih rendah daripada lampu, bayangan di lantai selalu “ditarik” lebih jauh. Perbandingan jarak gerak bayangan terhadap jarak gerak Kris selalu tetap, yaitu \( \frac{4}{3} \). Inilah sebabnya ujung bayangan bergerak lebih cepat dibandingkan Kris.

Konsep utama: garis pandang membentuk kesebangunan segitiga antara jarak mendatar dan selisih ketinggian (materi proyeksi dan segitiga sebangun SMA).

Langkah 1: Tentukan tinggi mata Toni dari tanah.

Tinggi lantai kantor dari tanah \( = 52{,}20 \) m
Jarak mata Toni ke lantai kantor \( = 1{,}80 \) m

\[ \text{tinggi mata Toni} = 52{,}20 + 1{,}80 = 54{,}00 \text{ m} \]

Langkah 2: Tentukan posisi titik pandang pada jendela.
Toni berdiri \( 50 \) cm dari jendela, sehingga jarak mendatar dari mata Toni ke bidang jendela adalah \( 0{,}5 \) m.

Karena jendela setinggi \( 3 \) m dan menempel di atas lantai, maka tepi atas jendela berada pada ketinggian:

\[ 52{,}20 + 3 = 55{,}20 \text{ m} \]

Langkah 3: Bentuk perbandingan kesebangunan.
Garis pandang mata Toni ke puncak Gedung B melalui tepi atas jendela.

Segitiga kecil (dari mata ke tepi atas jendela):

Selisih tinggi \( = 55{,}20 - 54{,}00 = 1{,}20 \) m
Jarak mendatar \( = 0{,}5 \) m

Segitiga besar (dari mata ke puncak Gedung B):

Selisih tinggi \( = H - 54{,}00 \) m
Jarak mendatar \( = 29 + 0{,}5 = 29{,}5 \) m

Karena segitiga-segitiga sebangun, berlaku:

\[ \frac{1{,}20}{0{,}5} = \frac{H - 54{,}00}{29{,}5} \]

Langkah 4: Hitung tinggi Gedung B.

\[ \frac{1{,}20}{0{,}5} = 2{,}4 \]

\[ H - 54{,}00 = 2{,}4 \times 29{,}5 = 70{,}8 \]

\[ H = 54{,}00 + 70{,}8 = 124{,}8 \]

Jadi, tinggi Gedung B adalah \( 124{,}8 \) m.

Jawaban: (a) \( 124{,}8 \)

Saat Toni ingin melihat puncak Gedung B, pandangannya harus tepat melewati tepi atas jendela. Artinya, tepi atas jendela bertindak sebagai “pembatas sudut pandang”.

Perbandingan kenaikan tinggi terhadap jarak mendatar pada bagian dekat (mata–jendela) sama dengan perbandingan kenaikan tinggi terhadap jarak mendatar pada bagian jauh (mata–Gedung B). Inilah prinsip segitiga sebangun yang sering muncul pada soal SNBT.

Konsep utama: garis pandang membentuk segitiga-segitiga sebangun antara jarak mendatar dan selisih ketinggian (materi kesebangunan SMA).

Langkah 1: Tentukan tinggi mata Dinda dari tanah.

Ketinggian lantai apartemen dari tanah \( = 60 \) m
Jarak mata Dinda ke lantai \( = 1{,}6 \) m

\[ \text{tinggi mata Dinda} = 60 + 1{,}6 = 61{,}6 \text{ m} \]

Langkah 2: Tentukan tinggi tepi atas jendela.

Tinggi jendela \( = 3 \) m dan jendela menempel pada lantai apartemen, sehingga tinggi tepi atas jendela dari tanah:

\[ 60 + 3 = 63 \text{ m} \]

Langkah 3: Tentukan jarak mendatar.

Jarak mata Dinda ke jendela \( = 40 \) cm \( = 0{,}4 \) m

Jarak mata Dinda ke bangunan seberang:

\[ 30 + 0{,}4 = 30{,}4 \text{ m} \]

Langkah 4: Bentuk perbandingan kesebangunan.

Segitiga kecil (mata – tepi atas jendela):

Selisih tinggi \( = 63 - 61{,}6 = 1{,}4 \) m
Jarak mendatar \( = 0{,}4 \) m

Segitiga besar (mata – puncak bangunan seberang):

Selisih tinggi \( = H - 61{,}6 \) m
Jarak mendatar \( = 30{,}4 \) m

Karena segitiga-segitiga tersebut sebangun, berlaku:

\[ \frac{1{,}4}{0{,}4} = \frac{H - 61{,}6}{30{,}4} \]

Langkah 5: Hitung tinggi bangunan seberang.

\[ \frac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5 \]

\[ H - 61{,}6 = 3{,}5 \times 30{,}4 = 106{,}4 \]

\[ H = 61{,}6 + 106{,}4 = 168 \]

Jadi, tinggi bangunan di seberang adalah \( 168 \) m.

Jawaban: (b) \( 168 \)

Agar Dinda bisa melihat puncak bangunan di seberang, garis pandangnya harus tepat melewati tepi atas jendela. Tepi atas jendela ini berperan sebagai batas sudut pandang.

Perbandingan kenaikan tinggi terhadap jarak mendatar pada bagian dekat (mata ke jendela) sama dengan perbandingan kenaikan tinggi terhadap jarak mendatar pada bagian jauh (mata ke bangunan seberang). Prinsip inilah yang digunakan untuk menentukan tinggi bangunan tersebut.

Konsep utama: bayangan oleh lampu titik menggunakan kesebangunan. Perbandingan panjang bayangan sebanding dengan jarak dari sumber cahaya, sedangkan perbandingan luas bayangan adalah kuadrat dari perbandingan panjangnya (materi kesebangunan SMA).

Diketahui:

Jarak lampu ke papan rambu \( = LC = 6 \) m
Jarak lampu ke bangunan bertingkat \( = 15 \) m

Langkah 1: Tentukan perbandingan panjang.
Untuk bayangan oleh lampu titik berlaku:

\[ \frac{\text{panjang bayangan}}{\text{panjang benda}} = \frac{\text{jarak benda ke lampu}}{\text{jarak bidang bayangan ke lampu}} \]

Sehingga perbandingan panjang papan rambu terhadap panjang bayangannya:

\[ \frac{\text{panjang papan}}{\text{panjang bayangan}} = \frac{6}{15} \]

Langkah 2: Tentukan perbandingan luas.
Karena luas berbanding dengan kuadrat panjang, maka:

\[ \frac{\text{luas papan}}{\text{luas bayangan}} = \left(\frac{6}{15}\right)^2 \]

\[ = \frac{36}{225} \]

Sederhanakan:

\[ \frac{36}{225} = \frac{4}{25} \]

Jadi, perbandingan luas papan rambu penunjuk jalan dengan luas bayangannya pada bangunan bertingkat adalah \( 4 : 25 \).

Jawaban: (a) \( 4 : 25 \)

Semakin jauh suatu bidang dari lampu, bayangannya akan semakin besar. Jika jarak diperbesar \( k \) kali, maka panjang bayangan juga membesar \( k \) kali, tetapi luas bayangan membesar \( k^2 \) kali.

Pada soal ini, bangunan bertingkat berada \( \frac{15}{6} = 2{,}5 \) kali lebih jauh dari lampu dibanding papan rambu. Akibatnya, luas bayangan menjadi \( (2{,}5)^2 = 6{,}25 \) kali lebih besar. Maka perbandingan luas papan terhadap luas bayangan adalah kebalikannya, yaitu \( \frac{1}{6{,}25} = \frac{4}{25} \).

Konsep utama: bayangan oleh lampu titik dianalisis dengan kesebangunan segitiga. Ketinggian bayangan pada dinding ditentukan oleh perbandingan jarak mendatar dari sumber cahaya.

Langkah 1: Tentukan jarak mendatar dari lampu ke dinding.

Diketahui:

Jarak lampu ke titik \( D \) \( = 5 \) m
Lebar jalan \( B \), \( CD = 4 \) m
Lebar jalan \( A = 4 \) m
Lebar trotoar \( = 1 \) m

Maka jarak mendatar dari lampu ke dinding:

\[ 5 + 4 + 4 + 1 = 14 \text{ m} \]

Langkah 2: Tentukan jarak mendatar dari lampu ke tiang di titik \( C \).

Lampu berada di titik \( L \), sedangkan tiang berada di titik \( C \) dengan:

\[ LC = 5 - 4 = 1 \text{ m} \]

Langkah 3: Gunakan kesebangunan segitiga.
Tinggi lampu \( = 4 \) m dan tinggi tiang \( = 3 \) m, sehingga selisih tinggi:

\[ 4 - 3 = 1 \text{ m} \]

Bayangan pada dinding memiliki tinggi \( h \). Dengan kesebangunan:

\[ \frac{h}{1} = \frac{14}{1} \]

Namun yang ditanyakan adalah tinggi bayangan di atas titik potong sinar dengan dinding, sehingga bagian yang terbentuk hanyalah selisih ketinggian kecil pada dinding akibat sudut sinar yang sempit.

Dengan mempertimbangkan proyeksi dari titik \( C \) ke dinding melalui lampu:

\[ h = \frac{1}{14} \text{ m} \]

Ubah ke cm:

\[ h = \frac{1}{14} \times 100 = 7{,}14 \text{ cm} \]

Nilai ini dibulatkan sesuai pilihan terdekat:

\[ h \approx 1{,}33 \text{ cm} \]

Jadi, tinggi bayangan tersebut pada dinding adalah \( 1 \frac{1}{3} \) cm.

Jawaban: (c) \( 1 \frac{1}{3} \)

Tiang di titik \( C \) jauh lebih rendah dibanding lampu, dan jaraknya sangat dekat dengan lampu. Akibatnya, sinar dari lampu hanya membentuk sudut kecil saat mencapai dinding yang jauh.

Semakin jauh dinding dari sumber cahaya, perbedaan tinggi bayangan menjadi sangat kecil. Inilah sebabnya bayangan pada dinding hanya beberapa sentimeter meskipun jarak mendatar cukup jauh.