Soal ini diselesaikan menggunakan konsep kesebangunan dan perbandingan luas bangun datar, yang merupakan materi SMA. Bayangan meja di lantai terbentuk oleh sinar lampu sehingga bangun meja dan bayangannya sebangun.

Diketahui panjang sisi meja:

\[ AB = 1 \]

Panjang sisi bayangan meja:

\[ A'B' = \frac{5}{3} \]

Karena kedua segitiga sebangun, maka faktor skala panjang adalah:

\[ k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{\frac{5}{3}}{1} = \frac{5}{3} \]

Untuk bangun datar yang sebangun, perbandingan luas adalah kuadrat dari perbandingan panjang:

\[ \frac{\text{luas bayangan}}{\text{luas meja}} = k^2 \]

Substitusi nilai:

\[ \frac{\text{luas bayangan}}{0{,}5} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 \]

Hitung:

\[ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \]

Maka:

\[ \text{luas bayangan} = 0{,}5 \times \frac{25}{9} \] \[ \text{luas bayangan} = \frac{12{,}5}{9} \]

Ubah ke bentuk pecahan campuran:

\[ \frac{12{,}5}{9} = 1 \frac{7}{18} \]

Jadi, luas bayangan meja di lantai adalah \(1 \frac{7}{18}\) m\(^2\).

Jawaban yang benar adalah (c).

Untuk menjawab pertanyaan ini, informasi tentang papan pengumuman \(CDEF\), \(AL = BL = 5\) m, \(CF = 3\) m, \(CD = 5\) m, dan \(AE = 8\) m tidak diperlukan. Yang dipakai hanya tinggi tiang lampu, tinggi Dodi, dan panjang bayangan Dodi.

Kita gunakan konsep kesebangunan segitiga (materi SMA). Sinar lampu dari puncak tiang menuju ujung bayangan membentuk segitiga besar, dan sinar yang sama melalui kepala Dodi membentuk segitiga kecil. Karena sudut-sudutnya sama, kedua segitiga tersebut sebangun.

Misalkan jarak Dodi ke tiang lampu adalah \(d\) meter. Panjang bayangan Dodi adalah \(9\) m, sehingga jarak dari tiang lampu ke ujung bayangan adalah \(d + 9\).

Buat perbandingan kesebangunan (tinggi berbanding alas):

\[ \frac{10}{d + 9} = \frac{1{,}8}{9} \]

Sederhanakan ruas kanan:

\[ \frac{1{,}8}{9} = 0{,}2 \]

Maka:

\[ \frac{10}{d + 9} = 0{,}2 \]

Kalikan silang:

\[ 10 = 0{,}2(d + 9) \]

Bagi kedua ruas dengan \(0{,}2\):

\[ d + 9 = \frac{10}{0{,}2} = 50 \]

Kurangi \(9\) pada kedua ruas:

\[ d = 50 - 9 = 41 \]

Jadi, jarak Dodi dan tiang lampu adalah \(41\) m.

Soal ini diselesaikan menggunakan konsep kesebangunan segitiga dan perbandingan luas, yang merupakan materi SMA.

Langkah 1: tentukan tinggi meja.

Dari bayangan meja di lantai, berlaku kesebangunan:

\[ \frac{1{,}5}{2{,}5 - h} = \frac{2{,}5}{2{,}5} \]

Sederhanakan:

\[ 1{,}5 = 2{,}5 - h \] \[ h = 1 \]

Jadi, tinggi meja adalah \(1\) m.

Langkah 2: tentukan jarak vertikal lampu ke bidang-bidang yang relevan.

Tinggi lampu dari lantai adalah \(2{,}5\) m.
Tinggi meja dari lantai adalah \(1\) m.
Maka jarak lampu ke permukaan meja:

\[ 2{,}5 - 1 = 1{,}5 \]

Tinggi gelas adalah \(10\) cm \(= 0{,}1\) m, sehingga tinggi bagian atas gelas dari lantai adalah:

\[ 1 + 0{,}1 = 1{,}1 \]

Jarak lampu ke bagian atas gelas:

\[ 2{,}5 - 1{,}1 = 1{,}4 \]

Langkah 3: gunakan kesebangunan untuk bayangan bagian atas gelas di meja.

Bayangan bagian atas gelas di meja dan bagian atas gelas sendiri merupakan dua lingkaran yang sebangun. Perbandingan jari-jari bayangan terhadap jari-jari bagian atas gelas sama dengan perbandingan jarak vertikal dari lampu:

\[ \frac{r_{\text{bayangan}}}{r_{\text{gelas}}} = \frac{1{,}5}{1{,}4} = \frac{15}{14} \]

Langkah 4: tentukan perbandingan luas.

Perbandingan luas dua lingkaran sebangun adalah kuadrat dari perbandingan jari-jarinya:

\[ \frac{\text{luas bayangan}}{\text{luas bagian atas gelas}} = \left(\frac{15}{14}\right)^2 \]

Karena yang ditanyakan adalah perbandingan luas bagian atas gelas dan bayangannya di meja, maka:

\[ 1 : \left(\frac{15}{14}\right)^2 \]

Jadi, jawaban yang benar adalah (b).

Kita gunakan materi SMA tentang garis lurus dan perbandingan (kesebangunan) pada satu garis sinar. Intinya: bayangan pada dinding terjadi di titik perpotongan garis sinar dari lampu menuju kepala orang dengan bidang dinding (cermin).

Agar mudah, gunakan sistem koordinat sederhana:

Ambil lantai sebagai bidang \(z = 0\).
Ambil dinding/cermin sebagai bidang \(x = 0\).
Titik \(Q\) (pertemuan dinding dan lantai) kita ambil sebagai \((0,0,0)\).
Karena \(PQ = 10\) m tegak lurus dinding, maka \(P = (10,0,0)\).
Lampu berada tepat di atas \(P\) setinggi \(6\) m, sehingga \(L = (10,0,6)\).

Orang mula-mula berdiri di garis \(PQ\) sehingga bayangan kepalanya tepat di \(Q\). Ini berarti sinar dari lampu melalui kepala orang jika diteruskan tepat mengenai \(Q\) di lantai. Pada kondisi seperti itu, ketika orang kemudian berjalan sejajar dinding (arah kanan) sejauh \(2\) m, posisi \(x\) orang tetap sama (jaraknya ke dinding tetap), hanya koordinat \(y\) yang berubah.

Pada gambar standar soal ini, orang berada \(3\) m dari \(Q\) di sepanjang \(PQ\), sehingga posisi kakinya dapat ditulis \((3,0,0)\) dan tinggi orang \(1{,}8\) m, sehingga posisi kepalanya adalah:

\[ H = (3,0,1{,}8) \]

Setelah berjalan sejajar dinding ke kanan \(2\) m, koordinat \(x\) tetap \(3\), sedangkan \(y\) menjadi \(2\). Maka posisi kepala orang menjadi:

\[ H' = (3,2,1{,}8) \]

Sekarang cari perpotongan garis \(LH'\) dengan dinding \(x = 0\).

Garis dari \(L(10,0,6)\) ke \(H'(3,2,1{,}8)\) dapat ditulis dengan parameter \(t\):

\[ ( x, y, z ) = (10,0,6) + t\big((3,2,1{,}8) - (10,0,6)\big) \] \[ ( x, y, z ) = (10,0,6) + t(-7,2,-4{,}2) \]

Agar titik berada pada dinding, harus memenuhi \(x = 0\):

\[ 10 - 7t = 0 \] \[ t = \frac{10}{7} \]

Substitusi \(t = \frac{10}{7}\) ke koordinat \(z\):

\[ z = 6 - 4{,}2\left(\frac{10}{7}\right) \] \[ z = 6 - \frac{42}{7} \] \[ z = 6 - 6 = 0 \]

Artinya, sinar dari lampu melalui kepala orang setelah ia bergeser \(2\) m justru memotong dinding tepat di lantai (tinggi \(0\) cm). Jadi tinggi bayangan kepala pada dinding/cermin dari lantai adalah \(0\) cm.

Jawaban yang benar adalah (a).

Soal ini diselesaikan menggunakan konsep kesebangunan segitiga (materi SMA). Garis sinar dari lampu ke ujung bayangan membentuk segitiga besar, sedangkan garis sinar dari lampu ke kepala Kris dan ke kakinya membentuk segitiga kecil yang sebangun.

Langkah 1: tentukan perbandingan tinggi dan bayangan Kris.

\[ \text{tinggi Kris} = 180 \text{ cm} = 1{,}8 \text{ m} \] \[ \text{panjang bayangan Kris} = 3{,}6 \text{ m} \]

Maka perbandingan segitiga kecil adalah:

\[ \frac{1{,}8}{3{,}6} = \frac{1}{2} \]

Langkah 2: gunakan kesebangunan pada arah mendatar.

Kris berdiri \(16\) m dari lampu. Bayangan ujung \(A\) berada \(2{,}7\) m dari sisi jalan (tegak lurus arah jalan). Lebar jalan kita misalkan \(w\) meter.

Karena segitiga-segitiga sebangun, perbandingan jarak mendatar juga sama dengan perbandingan tinggi:

\[ \frac{w}{16} = \frac{2{,}7}{3{,}6} \]

Sederhanakan ruas kanan:

\[ \frac{2{,}7}{3{,}6} = 0{,}75 \]

Maka:

\[ w = 16 \times 0{,}75 \] \[ w = 12 \]

Jadi, lebar jalan raya tersebut adalah \(12{,}0\) m.

Jawaban yang benar adalah (b).

Soal ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga (materi SMA). Untuk melihat setinggi mungkin pada Gedung \(B\), garis pandang mata Toni harus melalui tepi atas jendela. Titik pada Gedung \(B\) yang dilalui perpanjangan garis tersebut adalah ketinggian maksimum yang bisa terlihat.

Langkah \(1\): tentukan tinggi mata Toni dari tanah.

\[ \text{tinggi mata dari tanah} = 52{,}20 + 1{,}80 = 54 \]

Jadi tinggi mata Toni dari tanah adalah \(54\) m.

Langkah \(2\): tentukan selisih tinggi dari mata Toni ke tepi atas jendela.

Jendela setinggi \(3\) m dari lantai kantor, sedangkan mata Toni setinggi \(1{,}80\) m dari lantai kantor, maka:

\[ \text{selisih tinggi} = 3 - 1{,}80 = 1{,}20 \]

Jadi, agar garis pandang tepat menyentuh tepi atas jendela, garis pandang harus naik \(1{,}20\) m dalam jarak mendatar \(2\) m (jarak Toni ke jendela).

Langkah \(3\): tentukan jarak mendatar dari mata Toni ke Gedung \(B\).

Jarak antara gedung \(A\) dan gedung \(B\) adalah \(33\) m. Karena Toni berada \(2\) m dari jendela (bidang gedung \(A\)), maka jarak mendatar dari mata Toni ke Gedung \(B\) adalah:

\[ 2 + 33 = 35 \]

Langkah \(4\): gunakan kesebangunan (kemiringan garis pandang sama).

Perbandingan kenaikan tinggi terhadap jarak mendatar dari mata Toni ke tepi atas jendela adalah:

\[ \frac{1{,}20}{2} \]

Maka kenaikan tinggi dari mata Toni sampai titik pada Gedung \(B\) (dalam jarak \(35\) m) adalah:

\[ \Delta h = \frac{1{,}20}{2}\times 35 \] \[ \Delta h = 0{,}60 \times 35 \] \[ \Delta h = 21 \]

Langkah \(5\): tentukan ketinggian maksimum pada Gedung \(B\) yang terlihat.

\[ \text{ketinggian terlihat} = 54 + 21 = 75 \]

Jadi, Toni dapat melihat Gedung \(B\) sampai ketinggian \(75\) m.

Jawaban yang benar adalah (b).

Soal ini dapat diselesaikan dengan kesebangunan (perbandingan pada garis lurus) pada tampak atas (bidang datar). Data tinggi \(3\) m dan \(1{,}6\) m tidak dipakai karena yang ditanya adalah lebar bangunan (arah kiri–kanan).

Buat model tampak atas:

Ambil bidang jendela sebagai garis \(x = 0\). Jarak antar gedung \(x = 30\) m berarti bidang bangunan di seberang berada pada \(x = 30\).

Lebar apartemen \(4\) m berarti lebar jendela (dari kiri ke kanan) adalah \(4\) m, sehingga tepi kiri jendela berada pada \(y = 0\) dan tepi kanan jendela pada \(y = 4\).

Dinda berdiri \(1\) m dari jendela berarti posisinya \(1\) m di belakang jendela, yaitu pada \(x = -1\). Dinda juga \(1\) m dari dinding kiri, berarti posisinya pada \(y = 1\).

Jadi posisi mata Dinda pada tampak atas dapat ditulis sebagai titik \((-1,\,1)\).

Agar Dinda tepat bisa melihat seluruh bangunan dari kiri sampai kanan, garis pandang ke sisi kiri bangunan melewati tepi kiri jendela dan garis pandang ke sisi kanan bangunan melewati tepi kanan jendela.

1) Garis pandang melalui tepi kiri jendela \((0,\,0)\).

Kemiringan garis dari \((-1,\,1)\) ke \((0,\,0)\) adalah:

\[ m_1 = \frac{0 - 1}{0 - (-1)} = \frac{-1}{1} = -1 \]

Persamaan garisnya:

\[ y - 1 = -1(x + 1) \]

Potong bidang bangunan seberang \(x = 30\):

\[ y - 1 = -1(30 + 1) \] \[ y - 1 = -31 \] \[ y = -30 \]

Jadi sisi kiri bangunan yang terlihat berada pada \(y = -30\).

2) Garis pandang melalui tepi kanan jendela \((0,\,4)\).

Kemiringan garis dari \((-1,\,1)\) ke \((0,\,4)\) adalah:

\[ m_2 = \frac{4 - 1}{0 - (-1)} = \frac{3}{1} = 3 \]

Persamaan garisnya:

\[ y - 1 = 3(x + 1) \]

Potong bidang bangunan seberang \(x = 30\):

\[ y - 1 = 3(30 + 1) \] \[ y - 1 = 93 \] \[ y = 94 \]

Jadi sisi kanan bangunan yang terlihat berada pada \(y = 94\).

Lebar bangunan seberang yang terlihat penuh adalah selisih kedua nilai \(y\):

\[ 94 - (-30) = 124 \]

Jadi, lebar bangunan di seberang adalah \(124\) m.

Jawaban yang benar adalah (e).

Soal ini diselesaikan dengan konsep kesebangunan segitiga (materi SMA). Sinar dari puncak lampu PJU menuju ujung bayangan lampu lalu lintas membentuk segitiga besar. Sedangkan sinar yang melalui puncak lampu lalu lintas membentuk segitiga kecil yang sebangun.

Misalkan jarak antara lampu lalu lintas dan PJU adalah \(d\) meter.

Lampu lalu lintas tingginya \(3\) m dan panjang bayangannya \(6\) m. Berarti jarak dari kaki PJU sampai ujung bayangan adalah \(d + 6\).

Buat perbandingan kesebangunan (tinggi berbanding alas):

\[ \frac{9}{d + 6} = \frac{3}{6} \]

Sederhanakan ruas kanan:

\[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Maka:

\[ \frac{9}{d + 6} = \frac{1}{2} \]

Kalikan silang:

\[ 2 \cdot 9 = d + 6 \] \[ 18 = d + 6 \] \[ d = 12 \]

Jadi, jarak antara lampu lalu lintas dan PJU adalah \(12\) m.

Jawaban yang benar adalah (b).

Soal ini diselesaikan dengan konsep kesebangunan segitiga (materi SMA).

Sinar dari puncak lampu PJU menuju ujung bayangan tiang di C membentuk segitiga besar. Sinar dari puncak tiang menuju ujung bayangan yang mengenai dasar tembok membentuk segitiga kecil. Kedua segitiga tersebut sebangun.

Tinggi lampu PJU \(= 7\) m dan tinggi tiang di titik C \(= 4\) m.

Jarak mendatar dari lampu PJU ke titik D adalah \(5\) m. Jarak dari D ke tembok melalui jalan A adalah lebar jalan A yang kita misalkan \(x\).

Dengan kesebangunan segitiga berlaku perbandingan:

\[ \frac{7}{5 + x} = \frac{4}{5} \]

Kalikan silang:

\[ 7 \cdot 5 = 4(5 + x) \] \[ 35 = 20 + 4x \] \[ 4x = 15 \] \[ x = 3{,}5 \]

Jadi, lebar jalan A adalah \(3{,}50\) m.

Jawaban yang benar adalah (b).