Soal 31. Suatu perusahaan menghasilkan \( x \) produk dengan biaya sebesar \( (9000+1000x+10x^2) \) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….
A. | Rp149.000,00 |
B. | Rp249.000,00 |
C. | Rp391.000,00 |
D. | Rp609.000,00 |
E. | Rp757.000,00 |
Jawaban dan Analisis Soal 31
Langkah 1 (bentuk fungsi laba): Pendapatan \( R(x)=5000x \). Biaya \( C(x)=9000+1000x+10x^2 \).
Laba \( L(x)=R(x)-C(x)=5000x-(9000+1000x+10x^2)= -10x^2+4000x-9000 \).
Langkah 2 (maksimum parabola): Karena koefisien \( x^2 \) negatif, grafik \( L(x) \) membuka ke bawah, sehingga nilai maksimum terjadi di puncak.
Untuk \( ax^2+bx+c \), titik puncak di \( x=-\dfrac{b}{2a} \). Di sini \( a=-10 \) dan \( b=4000 \).
\( x=-\dfrac{4000}{2(-10)}=\dfrac{4000}{20}=200 \) (jelas \( x \gt 0 \)).
Langkah 3 (hitung laba maksimum):
\( L(200)=-10(200)^2+4000(200)-9000 \).
\( L(200)=-10(40000)+800000-9000=-400000+800000-9000=391000 \).
Jadi laba maksimum \( = \) Rp391.000,00.
Jawaban: C.
Soal 32. Hasil \( \int_{1}^{3}\left(x^2+\dfrac{1}{6}\right)\,dx \) = ….
A. | \( 9\dfrac{1}{3} \) |
B. | \( 9 \) |
C. | \( 8 \) |
D. | \( \dfrac{10}{3} \) |
E. | \( 3 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 32
Langkah 1 (pisahkan integral):
\( \int_{1}^{3}\left(x^2+\dfrac{1}{6}\right)\,dx=\int_{1}^{3}x^2\,dx+\int_{1}^{3}\dfrac{1}{6}\,dx \).
Langkah 2 (hitung masing-masing):
\( \int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3} \Rightarrow \int_{1}^{3}x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{1}^{3}=\dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{3} \).
\( \int \dfrac{1}{6}\,dx=\dfrac{x}{6} \Rightarrow \int_{1}^{3}\dfrac{1}{6}\,dx=\left[\dfrac{x}{6}\right]_{1}^{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \).
Langkah 3 (jumlahkan):
\( \dfrac{26}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{27}{3}=9 \).
Jawaban: B yaitu \( 9 \).
Soal 33. Distribusi nilai ulangan matematika di kelas XIIA:
Nilai |
f |
\( 50-54 \) | \( 2 \) |
\( 55-59 \) | \( 4 \) |
\( 60-64 \) | \( 8 \) |
\( 65-69 \) | \( 16 \) |
\( 70-74 \) | \( 10 \) |
\( 75-79 \) | \( 2 \) |
Modus dari data pada tabel adalah ….
A. | \( 64{,}5+6\cdot\dfrac{8}{6} \) |
B. | \( 64{,}5+5\cdot\dfrac{8}{6} \) |
C. | \( 64{,}5+5\cdot\dfrac{8}{8+6} \) |
D. | \( 64{,}5-6\cdot\dfrac{8}{8+6} \) |
E. | \( 64{,}5-5\cdot\dfrac{8}{8+6} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 33
Konsep modus data berkelompok: Jika kelas modus memiliki batas bawah \( L \), lebar kelas \( p \), selisih \( d_1=f_m-f_{sebelum} \), dan \( d_2=f_m-f_{sesudah} \), maka:
\( \text{Mo}=L+\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\cdot p \).
Langkah 1 (tentukan kelas modus): Frekuensi terbesar \( 16 \) ada pada kelas \( 65-69 \), jadi kelas modus \( 65-69 \).
Langkah 2 (tentukan komponen):
Batas bawah kontinu \( L=64{,}5 \), lebar kelas \( p=5 \).
\( d_1=16-8=8 \) dan \( d_2=16-10=6 \).
Langkah 3 (susun bentuk sesuai opsi):
\( \text{Mo}=64{,}5+\dfrac{8}{8+6}\cdot 5=64{,}5+5\cdot\dfrac{8}{8+6} \).
Jawaban: C.
Soal 34. Hasil \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x-\cos 2x)\,dx \) = ….
A. | \( -\dfrac{5}{2} \) |
B. | \( \dfrac{3}{2} \) |
C. | \( 1 \) |
D. | \( 2 \) |
E. | \( \dfrac{5}{2} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 34
Langkah 1 (integralkan):
\( \int(2\sin x)\,dx=-2\cos x \).
\( \int(-\cos 2x)\,dx=-\dfrac{1}{2}\sin 2x \) karena \( \int \cos 2x\,dx=\dfrac{1}{2}\sin 2x \).
Langkah 2 (evaluasi batas):
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x-\cos 2x)\,dx=\left[-2\cos x-\dfrac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \).
Nilai di \( x=\dfrac{\pi}{2} \): \( -2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\sin(\pi)=0-0=0 \).
Nilai di \( x=0 \): \( -2\cos(0)-\dfrac{1}{2}\sin(0)=-2-0=-2 \).
Hasil integral \( =0-(-2)=2 \).
Jawaban: D yaitu \( 2 \).
Soal 35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=x^2 \), garis \( y=x+2 \), sumbu \( Y \) di kuadran I adalah ….
A. | \( \dfrac{2}{3} \) satuan luas |
B. | \( \dfrac{4}{3} \) satuan luas |
C. | \( \dfrac{6}{3} \) satuan luas |
D. | \( \dfrac{8}{3} \) satuan luas |
E. | \( \dfrac{10}{3} \) satuan luas |
Jawaban dan Analisis Soal 35
Langkah 1 (titik potong kurva dan garis): Samakan \( x^2=x+2 \).
\( x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2 \) atau \( x=-1 \).
Karena di kuadran I maka \( x \gt 0 \), jadi dipakai \( x=2 \).
Langkah 2 (batas daerah): Sumbu \( Y \) artinya batas kiri \( x=0 \). Batas kanan sampai titik potong \( x=2 \).
Langkah 3 (integral luas): Di \( 0 \le x \le 2 \), garis \( y=x+2 \) berada di atas kurva \( y=x^2 \), maka:
\( L=\int_{0}^{2}\left((x+2)-x^2\right)\,dx \).
Langkah 4 (hitung):
\( \int\left((x+2)-x^2\right)\,dx=\int(-x^2+x+2)\,dx=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x \).
\( L=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{0}^{2}=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-0=\left(-\dfrac{8}{3}+6\right)=\dfrac{10}{3} \).
Jawaban: E yaitu \( \dfrac{10}{3} \).