Soal 21
Faktor-faktor persamaan suku banyak \( x^3 + p x^2 - 3x + q = 0 \) adalah \( (x + 2) \) dan \( (x - 3) \). Jika \( x_1, x_2, x_3 \) adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai \( x_1 + x_2 + x_3 = \) ....
A. \( -7 \)
B. \( -5 \)
C. \( -4 \)
D. \( 4 \)
E. \( 7 \)
Jawaban & Analisis
Karena \( (x+2) \) dan \( (x-3) \) adalah faktor, maka dua akar adalah \( -2 \) dan \( 3 \). Bentuk umum faktorisasi: \( (x+2)(x-3)(x-r)=0 \).
\( (x+2)(x-3)=x^2-x-6 \). Sehingga \( (x^2-x-6)(x-r)=x^3+(-r-1)x^2+(r-6)x+6r \).
Bandingkan dengan \( x^3 + p x^2 - 3x + q \). Koefisien \( x \): \( r-6=-3 \Rightarrow r=3 \).
Jumlah akar: \( -2+3+3=4 \).
Jawaban: D
Soal 22
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 5\end{pmatrix} \) dan \( B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & 4\end{pmatrix} \). Jika \( A^t \) adalah transpose dari matriks \( A \), dan \( AX = B + A^t \) maka determinan matriks \( X \) adalah ....
A. \( 46 \)
B. \( 33 \)
C. \( 27 \)
D. \( -33 \)
E. \( -46 \)
Jawaban & Analisis
Dari \( AX=B+A^t \), maka \( X=A^{-1}(B+A^t) \).
Gunakan sifat determinan: \( \det(X)=\dfrac{\det(B+A^t)}{\det(A)} \).
\( A^t=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 5\end{pmatrix} \).
\( B+A^t=\begin{pmatrix}4 & 1\\ 3 & 9\end{pmatrix} \).
\( \det(B+A^t)=4\cdot 9-1\cdot 3=33 \).
\( \det(A)=1\cdot 5-2\cdot 3=-1 \).
\( \det(X)=\dfrac{33}{-1}=-33 \).
Jawaban: D
Soal 23
Di atas tanah seluas \( 1 \) hektar akan dibangun dua tipe rumah, tipe A dan tipe B. Tipe A luasnya \( 100\,\text{m}^2 \), tipe B luasnya \( 75\,\text{m}^2 \). Jumlah rumah paling banyak \( 125 \) unit. Harga tipe A Rp\( 100.000.000,00 \) dan tipe B Rp\( 60.000.000,00 \). Supaya pendapatan maksimum maka harus dibangun rumah sebanyak ....
A. \( 100 \) rumah tipe A saja
B. \( 125 \) rumah tipe A saja
C. \( 100 \) rumah tipe B saja
D. \( 100 \) rumah tipe A dan \( 25 \) tipe B
E. \( 25 \) rumah tipe A dan \( 100 \) tipe B
Jawaban & Analisis
\( 1 \) hektar = \( 10.000\,\text{m}^2 \).
Pendapatan per luas: Tipe A: \( \dfrac{100.000.000}{100}=1.000.000 \).
Tipe B: \( \dfrac{60.000.000}{75}=800.000 \). Karena \( 1.000.000 \gt 800.000 \), maka tipe A lebih menguntungkan.
Jika semua tipe A: \( 100x \le 10.000 \Rightarrow x \le 100 \).
Jadi maksimum \( 100 \) rumah tipe A.
Jawaban: A
Soal 24
Pada gambar tertulis fungsi \( y = {}^{3}\log x \). Persamaan grafik fungsi inversnya adalah ....
A. \( y=3^x \)
B. \( y=\dfrac{1}{3}\log x \)
C. \( y=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^x \)
D. \( y=\left(-3\right)^x \)
E. \( y=\left(3\right)^{-x} \)
Jawaban & Analisis
Fungsi awal: \( y=\log_3(x) \).
Tukar \( x \) dan \( y \): \( x=\log_3(y) \).
Ubah ke bentuk eksponen: \( y=3^x \).
Jawaban: A
Soal 25
Diketahui kubus \( ABCD.EFGH \) dengan rusuk \( a \,\text{cm} \). Jarak \( C \) ke bidang \( AFH \) adalah ....
A. \( \dfrac{1}{6}a\sqrt{6}\,\text{cm} \)
B. \( \dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\,\text{cm} \)
C. \( \dfrac{1}{3}a\sqrt{6}\,\text{cm} \)
D. \( \dfrac{2}{3}a\sqrt{2}\,\text{cm} \)
E. \( \dfrac{2}{3}a\sqrt{3}\,\text{cm} \)
Jawaban & Analisis
Gunakan koordinat. Persamaan bidang \( AFH \) adalah \( x+y-z=0 \).
Jarak titik \( (a,a,0) \): \( d=\dfrac{|a+a-0|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} =\dfrac{2a}{\sqrt{3}} =\dfrac{2}{3}a\sqrt{3} \).
Jawaban: E