Langkah 1: Tentukan pusat lingkaran.

Ubah ke bentuk kuadrat sempurna:
\(x^2 - 6x + y^2 + 4y + 11 = 0\).
\((x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 + 11 = 0\).
\((x-3)^2 + (y+2)^2 - 2 = 0\).
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 2\).

Jadi pusat lingkaran \(C(3,-2)\).

Langkah 2: Cari gradien jari-jari ke titik singgung.

Titik singgung \(P(2,-1)\).
Gradien \(CP\): \(m_{CP} = \frac{-1-(-2)}{2-3} = \frac{1}{-1} = -1\).

Langkah 3: Gradien garis singgung tegak lurus jari-jari.

Jika \(m_{CP}=-1\), maka gradien singgung \(m_t\) memenuhi \(m_{CP}\cdot m_t = -1\).
\((-1)\cdot m_t = -1 \Rightarrow m_t = 1\).

Langkah 4: Persamaan garis melalui \((2,-1)\) dengan gradien \(1\).

\(y-(-1) = 1(x-2)\).
\(y+1 = x-2\).
\(x-y-3 = 0\).

Jawaban benar: C yaitu \(x-y-3=0\).

Analisis opsi:

A dan B: memiliki gradien \(1\) tetapi konstanta salah (tidak melalui \((2,-1)\)).

C: gradien benar dan tepat melalui \((2,-1)\).

D dan E: gradien \(-1\), sejajar jari-jari, sehingga tidak mungkin garis singgung.

Langkah 1: Gunakan Teorema Sisa untuk \((x+1)\).

Jika dibagi \((x+1)\) sisanya \(4\), maka \(f(-1)=4\).

\(f(-1)=a(-1)^3+2(-1)^2+b(-1)+5\).
\(f(-1)=-a+2-b+5 = -a-b+7\).

\(-a-b+7 = 4 \Rightarrow a+b = 3\). ... (1)

Langkah 2: Gunakan Teorema Sisa untuk \((2x-1)\).

Jika dibagi \((2x-1)\) sisanya \(4\), maka \(f\left(\frac{1}{2}\right)=4\) karena \(2\left(\frac{1}{2}\right)-1=0\).

\(f\left(\frac{1}{2}\right)=a\left(\frac{1}{2}\right)^3+2\left(\frac{1}{2}\right)^2+b\left(\frac{1}{2}\right)+5\).

\(f\left(\frac{1}{2}\right)=a\cdot\frac{1}{8}+2\cdot\frac{1}{4}+b\cdot\frac{1}{2}+5\).
\(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a}{8}+\frac{1}{2}+\frac{b}{2}+5=\frac{a}{8}+\frac{b}{2}+\frac{11}{2}\).

\(\frac{a}{8}+\frac{b}{2}+\frac{11}{2}=4\).

\(\frac{a}{8}+\frac{b}{2} = 4-\frac{11}{2} = \frac{8}{2}-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}\).

Kalikan \(8\):

\(a + 4b = -12\). ... (2)

Langkah 3: Selesaikan sistem (1) dan (2).

Dari (1) \(a = 3-b\).
Substitusi ke (2):
\((3-b)+4b=-12\Rightarrow 3+3b=-12\Rightarrow 3b=-15\Rightarrow b=-5\).

Maka \(a=3-(-5)=8\).

Langkah 4: Hitung \(a+2b\).

\(a+2b = 8 + 2(-5) = 8 - 10 = -2\).

Jawaban benar: B yaitu \(-2\).

Analisis opsi:

A dan E biasanya muncul jika salah substitusi atau salah mengalikan saat menghilangkan pecahan.

C dan D biasanya terjadi jika salah menerapkan teorema sisa untuk \((2x-1)\) (misalnya memakai \(x=-\frac{1}{2}\) atau \(x=2\)).

B tepat sesuai hasil sistem persamaan.

Langkah 1: Pahami transformasi koordinat.

Refleksi terhadap \(y=x\) menukar koordinat: \((x,y)\rightarrow (y,x)\).
Refleksi terhadap \(y=-x\) menukar sekaligus mengubah tanda: \((x,y)\rightarrow (-y,-x)\).

Langkah 2: Terapkan berurutan.

Awal: \((x,y)\).
Setelah refleksi terhadap \(y=-x\): \((x_1,y_1)=(-y,-x)\).
Lalu refleksi terhadap \(y=x\): \((x_2,y_2)=(y_1,x_1)=(-x,-y)\).

Jadi gabungan dua refleksi ini memetakan \((x,y)\rightarrow (-x,-y)\) (rotasi \(180^\circ\) terhadap titik asal).

Langkah 3: Ubah persamaan garis dengan substitusi.

Titik baru \((X,Y)\) berhubungan dengan titik lama \((x,y)\) oleh \(X=-x\) dan \(Y=-y\).
Maka \(x=-X\) dan \(y=-Y\).

Persamaan awal: \(y = 2x - 3\).
Substitusi: \(-Y = 2(-X) - 3\Rightarrow -Y = -2X - 3\).

Kalikan \(-1\): \(Y = 2X + 3\).

Bentuk umum: \(Y - 2X - 3 = 0\).

Jawaban benar: B yaitu \(y - 2x - 3 = 0\).

Analisis opsi:

A salah tanda gradien.

B tepat sesuai hasil transformasi \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\).

C dan D salah karena koefisien \(x\) dan \(y\) tidak sesuai garis hasil \(y=2x+3\).

E salah konstanta (harus \(-3\) pada bentuk umum, bukan \(+3\)).

Langkah 1: Susun \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).

\(f(x)=3x+5\), sehingga: \((g\circ f)(x)=g(3x+5)\).

Langkah 2: Substitusi ke rumus \(g(x)=\frac{2x}{x+1}\).

\(g(3x+5)=\frac{2(3x+5)}{(3x+5)+1}=\frac{6x+10}{3x+6}\).

Langkah 3: Tentukan syarat domain.

Penyebut tidak boleh \(0\): \(3x+6 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2\).

Jawaban benar: C yaitu \(\frac{6x+10}{3x+6}\), \(x \ne -2\).

Analisis opsi:

A salah karena bentuk tidak sesuai substitusi \(3x+5\) ke \(g\).

B salah karena seolah-olah memakai \(g(x)=\frac{x+1}{\cdot}\) atau salah operasi.

C tepat.

D salah konstanta pada pembilang.

E salah bentuk pembilang dan penyebut.

Langkah 1: Kalikan matriks kolom demi kolom.

Kolom pertama: \(\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\ 23\end{pmatrix}\).

Baris \(1\): \(2x + 3(x+y) = 21 \Rightarrow 5x + 3y = 21\). ... (1)
Baris \(2\): \(x + 4(x+y) = 23 \Rightarrow 5x + 4y = 23\). ... (2)

Kurangkan (2) dengan (1):

\((5x+4y)-(5x+3y)=23-21 \Rightarrow y=2\).

Substitusi ke (1):

\(5x+3(2)=21 \Rightarrow 5x+6=21 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3\).

Kolom kedua: \(\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ z-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\ 9\end{pmatrix}\).

Baris \(1\): \(2(1)+3(z-2)=8 \Rightarrow 2+3z-6=8 \Rightarrow 3z=12 \Rightarrow z=4\).
Baris \(2\): \(1+4(z-2)=9 \Rightarrow 1+4z-8=9 \Rightarrow 4z=16 \Rightarrow z=4\) (konsisten).

Langkah 2: Hitung \(x+y-z\).

\(x+y-z = 3+2-4 = 1\).

Jawaban benar: C yaitu \(1\).

Analisis opsi:

A dan B muncul jika salah tanda saat mengurangkan persamaan.

D dan E muncul jika salah menghitung \(z\) dari kolom kedua atau salah substitusi \(x,y\).

C tepat sesuai hasil sistem persamaan matriks.