Soal 11. Grafik fungsi kuadrat \( f(x)=ax^2+2\sqrt{2}\,x+(a-1) \), \( a\neq 0 \) memotong sumbu \( X \) di dua titik berbeda. Batas-batas nilai \( a \) yang memenuhi adalah ....
A. \( a\lt -1 \) atau \( a\gt 2 \)
B. \( a\lt -2 \) atau \( a\gt 1 \)
C. \( -1\lt a\lt 2 \)
D. \( -2\lt a\lt 1 \)
E. \( -2\lt a\lt -1 \)
Jawaban & Analisis
Ide utama: Grafik memotong sumbu \( X \) di dua titik berbeda berarti persamaan \( f(x)=0 \) punya dua akar real berbeda, yaitu diskriminan \( \Delta \gt 0 \).
Langkah 1: Koefisien \( A=a \), \( B=2\sqrt{2} \), \( C=a-1 \). Maka
\( \Delta=B^2-4AC=(2\sqrt{2})^2-4(a)(a-1) \).
Langkah 2: Hitung \( \Delta \).
\( \Delta=8-4a(a-1)=8-4a^2+4a \).
\( \Delta=-4(a^2-a-2)=-4(a-2)(a+1) \).
Langkah 3: Syarat dua titik potong: \( \Delta \gt 0 \).
\( -4(a-2)(a+1)\gt 0 \Rightarrow (a-2)(a+1)\lt 0 \).
Langkah 4: Produk dua faktor negatif jika \( a \) berada di antara akarnya.
Maka \( -1\lt a\lt 2 \). (Syarat \( a\neq 0 \) tetap terpenuhi karena \( 0 \) berada di dalam interval, namun tidak mengubah pilihan jawaban intervalnya.)
Jawaban: C yaitu \( -1\lt a\lt 2 \).
Soal 12. Persamaan kuadrat \( x^2-3x-2=0 \) akar-akarnya \( x_1 \) dan \( x_2 \). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \( (3x_1+1) \) dan \( (3x_2+1) \) adalah ....
A. \( x^2-11x-8=0 \)
B. \( x^2-11x-26=0 \)
C. \( x^2-9x-8=0 \)
D. \( x^2+9x-8=0 \)
E. \( x^2-9x-26=0 \)
Jawaban & Analisis
Ide utama: Pakai rumus Vieta untuk jumlah dan hasil kali akar, lalu ubah sesuai transformasi akar.
Langkah 1 (Vieta pada persamaan lama): Untuk \( x^2-3x-2=0 \),
\( x_1+x_2=3 \) dan \( x_1x_2=-2 \).
Langkah 2 (jumlah akar baru):
\( (3x_1+1)+(3x_2+1)=3(x_1+x_2)+2=3\cdot 3+2=11 \).
Langkah 3 (hasil kali akar baru):
\( (3x_1+1)(3x_2+1)=9x_1x_2+3(x_1+x_2)+1 \).
\( =9(-2)+3(3)+1=-18+9+1=-8 \).
Langkah 4 (susun persamaan baru): Jika akar-akar \( r_1 \) dan \( r_2 \), maka persamaan \( x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2=0 \).
Jadi persamaan barunya \( x^2-11x-8=0 \).
Jawaban: A yaitu \( x^2-11x-8=0 \).
Soal 13. Nilai \( \lim_{x\to \sqrt{2}}\dfrac{x^2-2}{x-\sqrt{2}} \) = ....
A. \( 2\sqrt{2} \)
B. \( 2 \)
C. \( \sqrt{2} \)
D. \( 0 \)
E. \( -\sqrt{2} \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Faktorkan pembilang.
\( x^2-2=x^2-(\sqrt{2})^2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \).
Langkah 2: Sederhanakan.
\( \dfrac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}=\dfrac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x-\sqrt{2}}=x+\sqrt{2} \), untuk \( x\neq \sqrt{2} \).
Langkah 3: Substitusi batas.
\( \lim_{x\to \sqrt{2}}(x+\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \).
Jawaban: A yaitu \( 2\sqrt{2} \).
Soal 14. Nilai \( \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 2x}{1-\cos 4x} \) = ....
A. \( -\dfrac{1}{2} \)
B. \( -\dfrac{1}{4} \)
C. \( 0 \)
D. \( \dfrac{1}{16} \)
E. \( \dfrac{1}{4} \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Gunakan identitas \( 1-\cos \theta=2\sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \).
\( 1-\cos 2x=2\sin^2 x \) dan \( 1-\cos 4x=2\sin^2 2x \).
Langkah 2: Bentuk limit menjadi
\( \dfrac{2\sin^2 x}{2\sin^2 2x}=\dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 2x} \).
Langkah 3: Pakai \( \sin 2x=2\sin x\cos x \).
\( \dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 2x}=\dfrac{\sin^2 x}{(2\sin x\cos x)^2}=\dfrac{\sin^2 x}{4\sin^2 x\cos^2 x}=\dfrac{1}{4\cos^2 x} \).
Langkah 4: Ambil limit \( x\to 0 \) sehingga \( \cos 0=1 \).
\( \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{4\cos^2 x}=\dfrac{1}{4} \).
Jawaban: E yaitu \( \dfrac{1}{4} \).
Soal 15. Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan \( 4.000 \) buah pada awal produksi. Pada bulan berikutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi \( 4.050 \). Bila kemajuan tetap, maka jumlah produksi dalam \( 1 \) tahun ada ....
A. \( 45.500 \) buah
B. \( 48.000 \) buah
C. \( 50.500 \) buah
D. \( 51.300 \) buah
E. \( 55.500 \) buah
Jawaban & Analisis
Ide utama: Produksi per bulan membentuk barisan aritmetika: suku pertama \( a=4.000 \) dan beda \( d=4.050-4.000=50 \).
Langkah 1: Dalam \( 1 \) tahun ada \( n=12 \) bulan, sehingga jumlah produksi
\( S_{12}=\dfrac{12}{2}\left(2a+(12-1)d\right) \).
Langkah 2: Substitusi \( a=4.000 \) dan \( d=50 \).
\( S_{12}=6\left(2(4.000)+11(50)\right)=6(8.000+550)=6(8.550)=51.300 \).
Jawaban: D yaitu \( 51.300 \) buah.