Soal 6. Akar-akar persamaan kuadrat \( 2x^2+mx+16=0 \) adalah \( \alpha \) dan \( \beta \). Jika \( \alpha =2\beta \) dan \( \alpha,\beta \) positif, maka nilai \( m \) = ….
A. | \( -12 \) |
B. | \( -6 \) |
C. | \( 6 \) |
D. | \( 8 \) |
E. | \( 12 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 6
Konsep (Vieta): Untuk \( ax^2+bx+c=0 \) dengan akar \( \alpha,\beta \):
\( \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} \) dan \( \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \).
Di sini \( a=2 \), \( b=m \), \( c=16 \), sehingga:
\( \alpha+\beta=-\dfrac{m}{2} \) dan \( \alpha\beta=\dfrac{16}{2}=8 \).
Gunakan syarat \( \alpha=2\beta \):
\( \alpha\beta=(2\beta)(\beta)=2\beta^2=8 \Rightarrow \beta^2=4 \Rightarrow \beta=2 \) karena \( \beta \gt 0 \).
Maka \( \alpha=2\beta=4 \) dan \( \alpha \gt 0 \).
Hitung \( m \):
\( \alpha+\beta=4+2=6=-\dfrac{m}{2} \Rightarrow m=-12 \).
Analisis opsi:
A benar karena menghasilkan \( \alpha=4 \) dan \( \beta=2 \) yang memenuhi \( \alpha=2\beta \).
B, C, D, E salah karena membuat jumlah akar \( \alpha+\beta \) tidak sama dengan \( 6 \).
Jawaban: A yaitu \( -12 \).
Soal 7. Bentuk sederhana dari \( \dfrac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}} \) = ….
A. | \( -\dfrac{1}{23}(13+3\sqrt{6}) \) |
B. | \( -\dfrac{1}{23}(13-3\sqrt{6}) \) |
C. | \( -\dfrac{1}{23}(-11-\sqrt{6}) \) |
D. | \( \dfrac{1}{23}(11+3\sqrt{6}) \) |
E. | \( \dfrac{1}{23}(13+3\sqrt{6}) \) |
Jawaban dan Analisis Soal 7
Langkah 1 (rationalisasi): Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan penyebut \( \sqrt{3}+6\sqrt{2} \).
\( \dfrac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}} \).
Langkah 2 (hitung penyebut):
\( (\sqrt{3})^2-(6\sqrt{2})^2=3-72=-69 \) sehingga penyebut \( \lt 0 \).
Langkah 3 (hitung pembilang):
\( (\sqrt{3}+3\sqrt{2})(\sqrt{3}+6\sqrt{2}) \)
\( =(\sqrt{3})(\sqrt{3})+(\sqrt{3})(6\sqrt{2})+(3\sqrt{2})(\sqrt{3})+(3\sqrt{2})(6\sqrt{2}) \)
\( =3+6\sqrt{6}+3\sqrt{6}+36=39+9\sqrt{6} \).
Langkah 4 (sederhanakan):
\( \dfrac{39+9\sqrt{6}}{-69}=-\dfrac{39+9\sqrt{6}}{69}=-\dfrac{3(13+3\sqrt{6})}{3\cdot 23}=-\dfrac{1}{23}(13+3\sqrt{6}) \).
Analisis opsi:
A benar karena hasil akhir memuat tanda negatif dari penyebut \( -69 \).
E salah karena tanda negatifnya hilang.
B salah karena tanda di depan \( \sqrt{6} \) berubah (padahal hasil perkalian menghasilkan \( +9\sqrt{6} \)).
C dan D tidak sesuai dengan bentuk hasil penyederhanaan.
Jawaban: A yaitu \( -\dfrac{1}{23}(13+3\sqrt{6}) \).
Soal 8. Suku ke-6 dan suku ke-12 suatu barisan aritmetika berturut-turut \( 35 \) dan \( 65 \). Suku ke-\( 52 \) barisan tersebut adalah ….
A. | \( 245 \) |
B. | \( 255 \) |
C. | \( 265 \) |
D. | \( 285 \) |
E. | \( 355 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 8
Rumus barisan aritmetika: \( U_n=a+(n-1)d \).
Diketahui:
\( U_6=a+5d=35 \) dan \( U_{12}=a+11d=65 \).
Eliminasi \( a \):
\( (a+11d)-(a+5d)=65-35 \Rightarrow 6d=30 \Rightarrow d=5 \).
Substitusi ke \( a+5d=35 \):
\( a+25=35 \Rightarrow a=10 \).
Hitung \( U_{52} \):
\( U_{52}=a+51d=10+51\cdot 5=10+255=265 \).
Jawaban: C yaitu \( 265 \).
Soal 9. Himpunan penyelesaian dari persamaan \( \cos 2x-3\cos x+2=0 \), \( 0^\circ \le x \le 360^\circ \) adalah ….
A. | \( \{60^\circ,300^\circ\} \) |
B. | \( \{0^\circ,60^\circ,300^\circ\} \) |
C. | \( \{0^\circ,60^\circ,180^\circ,360^\circ\} \) |
D. | \( \{0^\circ,60^\circ,300^\circ,360^\circ\} \) |
E. | \( \{0^\circ,60^\circ,120^\circ,360^\circ\} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 9
Langkah 1: Substitusi \( \cos 2x=2\cos^2 x-1 \). Misalkan \( t=\cos x \).
Persamaan menjadi:
\( (2t^2-1)-3t+2=0 \Rightarrow 2t^2-3t+1=0 \).
Langkah 2 (faktorkan):
\( 2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1)=0 \).
Maka \( t=1 \) atau \( t=\dfrac{1}{2} \), artinya \( \cos x=1 \) atau \( \cos x=\dfrac{1}{2} \).
Langkah 3 (cari \( x \) pada \( 0^\circ \le x \le 360^\circ \)):
Jika \( \cos x=1 \Rightarrow x=0^\circ \) atau \( x=360^\circ \).
Jika \( \cos x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=60^\circ \) atau \( x=300^\circ \).
Jadi himpunan penyelesaian adalah \( \{0^\circ,60^\circ,300^\circ,360^\circ\} \).
Analisis opsi:
D benar karena memuat semua solusi di interval yang diminta.
A dan B salah karena ada solusi ujung \( 0^\circ \) dan/atau \( 360^\circ \) yang hilang.
C salah karena memasukkan \( 180^\circ \) padahal \( \cos 180^\circ=-1 \) sehingga tidak memenuhi.
E salah karena memasukkan \( 120^\circ \) padahal \( \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2} \), sehingga tidak memenuhi.
Jawaban: D.
Soal 10. Diketahui vektor \( \vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j}-6\vec{k} \) dan vektor \( \vec{b}=2\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k} \). Proyeksi vektor ortogonal vektor \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) adalah ….
A. | \( -4\vec{i}+8\vec{j}+12\vec{k} \) |
B. | \( -4\vec{i}+4\vec{j}-8\vec{k} \) |
C. | \( -2\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k} \) |
D. | \( -\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k} \) |
E. | \( -\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 10
Rumus proyeksi: Proyeksi \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) adalah
\( \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b} \).
Langkah 1 (dot product):
\( \vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 2+(-4)\cdot(-2)+(-6)\cdot 4=4+8-24=-12 \).
Langkah 2 (panjang kuadrat \( \vec{b} \)):
\( \vec{b}\cdot\vec{b}=2^2+(-2)^2+4^2=4+4+16=24 \).
Langkah 3 (skalarnya):
\( \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}=\dfrac{-12}{24}=-\dfrac{1}{2} \).
Langkah 4 (kalikan \( \vec{b} \)):
\( \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=-\dfrac{1}{2}(2\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k})=-\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k} \).
Analisis opsi:
E benar karena sama persis dengan hasil proyeksi.
A, B, C salah karena merupakan kelipatan yang tidak sesuai (skalar seharusnya \( -\dfrac{1}{2} \), bukan kelipatan lain).
D salah karena arah komponennya tidak sebanding dengan \( \vec{b} \) (proyeksi harus sejajar \( \vec{b} \)).
Jawaban: E.