Misalkan koordinat kubus: \(A(0,0,0)\), \(B(12,0,0)\), \(C(12,12,0)\), \(D(0,12,0)\), \(E(0,0,12)\), \(F(12,0,12)\), \(G(12,12,12)\), \(H(0,12,12)\). Titik tengah \(AB\) adalah \(K(6,0,0)\).

Garis \(HC\) melalui \(H(0,12,12)\) dan \(C(12,12,0)\), vektor arahnya: \[ \vec d=C-H=(12,0,-12)=(1,0,-1). \] Vektor \(\overrightarrow{HK}=K-H=(6,-12,-12)\).

Jarak titik ke garis: \[ \text{jarak}=\dfrac{\lvert \overrightarrow{HK}\times \vec d\rvert}{\lvert \vec d\rvert}. \] Hitung hasil kali silang: \[ \overrightarrow{HK}\times \vec d= (6,-12,-12)\times(1,0,-1)=(12,-6,12). \] Panjangnya: \[ \lvert(12,-6,12)\rvert=\sqrt{12^2+(-6)^2+12^2}=\sqrt{324}=18. \] Panjang \(\vec d\): \[ \lvert \vec d\rvert=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. \]

Maka jarak: \[ \dfrac{18}{\sqrt{2}}=9\sqrt{2}. \] Jawaban: \(9\sqrt{2}\) cm.

Gunakan koordinat: \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(C(8,8,0)\), \(D(0,8,0)\), \(E(0,0,8)\), \(F(8,0,8)\), \(G(8,8,8)\), \(H(0,8,8)\). Vektor \( \overrightarrow{DE}=E-D=(0,-8,8)\). Panjangnya: \[ \lvert \overrightarrow{DE}\rvert=\sqrt{0^2+(-8)^2+8^2}=8\sqrt{2}. \]

Bidang \(BDHF\) memenuhi \(x+y=8\), sehingga vektor normalnya dapat diambil \( \vec n=(1,1,0)\). Vektor satuan normal: \[ \hat n=\dfrac{\vec n}{\lvert \vec n\rvert}=\dfrac{(1,1,0)}{\sqrt{2}}. \] Komponen \( \overrightarrow{DE}\) pada arah normal: \[ \overrightarrow{DE}\cdot \hat n=(0,-8,8)\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right)=\dfrac{-8}{\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}. \] Jadi panjang komponen tegak lurus bidang adalah \(4\sqrt{2}\).

Panjang proyeksi pada bidang: \[ \lvert \text{proj}\rvert=\sqrt{\lvert \overrightarrow{DE}\rvert^2-\lvert \text{komp normal}\rvert^2} =\sqrt{(8\sqrt{2})^2-(4\sqrt{2})^2} =\sqrt{128-32} =\sqrt{96} =4\sqrt{6}. \]

Jawaban: \(4\sqrt{6}\) m.

Karena ditulis \(T.ABCD\), alas \(ABCD\) adalah bujur sangkar (limas beraturan segiempat). Misalkan panjang setiap rusuk adalah \(s\). Titik \(O\) adalah pusat bujur sangkar \(ABCD\), sehingga \(TO\) tegak lurus bidang \(ABCD\). Proyeksi ruas \(TA\) pada bidang \(ABCD\) adalah \(AO\).

Pada bujur sangkar sisi \(s\), jarak pusat ke sudut: \[ AO=\dfrac{s}{\sqrt{2}}. \] Karena semua rusuk sama, maka \[ TA=s. \] Segitiga \(TAO\) siku-siku di \(O\), sehingga \[ TA^2=TO^2+AO^2 \Rightarrow s^2=TO^2+\left(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)^2 = TO^2+\dfrac{s^2}{2}. \] Maka \[ TO^2=\dfrac{s^2}{2} \Rightarrow TO=\dfrac{s}{\sqrt{2}}. \]

Sudut antara garis \(TA\) dan bidang \(ABCD\) adalah sudut antara \(TA\) dan proyeksinya \(AO\), yaitu \(\angle TAO\). Pada segitiga siku-siku \(TAO\): \[ \sin \angle TAO=\dfrac{TO}{TA}=\dfrac{\dfrac{s}{\sqrt{2}}}{s}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. \] Jadi \[ \angle TAO=45^\circ. \]

Jawaban: \(45^\circ\).

Pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” dapat dipahami sebagai: untuk setiap makhluk hidup, ia perlu \( \text{makan} \) dan perlu \( \text{minum} \). Bentuk logikanya: \[ \forall x\,(P(x)\land Q(x)). \] Ingkarannya adalah: \[ \exists x\,\neg(P(x)\land Q(x)). \]

Dengan hukum De Morgan: \[ \neg(P(x)\land Q(x))\equiv \neg P(x)\lor \neg Q(x). \] Artinya: ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau tidak perlu minum.

Itu sesuai dengan pilihan B.

Misalkan: \(M\): penguasaan matematika rendah, \(S\): IPA sulit dikuasai, \(T\): IPTEK berkembang, \(L\): negara semakin tertinggal.

Pernyataan \(1\) menjadi: \[ M \Rightarrow S. \] Pernyataan \(2\) adalah: \[ \neg S \lor \neg T. \] Bentuk ini setara dengan implikasi: \[ S \Rightarrow \neg T. \] (karena \(P\Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q\)).

Pernyataan \(3\) menjadi: \[ \neg T \Rightarrow L. \] Dari \(S \Rightarrow \neg T\) dan \(\neg T \Rightarrow L\), diperoleh: \[ S \Rightarrow L. \] Lalu dari \(M \Rightarrow S\) dan \(S \Rightarrow L\), didapat: \[ M \Rightarrow L. \]

Jadi kesimpulannya: jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal. Jawaban: A.