Soal 16
Modus dari data pada histogram adalah ....
A. \(25,5\)
B. \(25,8\)
C. \(26\)
D. \(26,5\)
E. \(26,6\)
Jawaban & Analisis
Dari histogram, kelas-kelas berlebar sama, yaitu \(p=5\) (misal \(12\)–\(17\), \(17\)–\(22\), \(22\)–\(27\), dan seterusnya). Batang tertinggi berada pada kelas \(22\)–\(27\), sehingga kelas modus adalah \(22\)–\(27\).
Untuk data berkelompok, modus dihitung dengan rumus: \(Mo=L+\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\cdot p\), dengan \(L\) batas bawah kelas modus, \(d_1=f_1-f_0\), dan \(d_2=f_1-f_2\).
Dari tinggi batang pada gambar, frekuensi kelas sebelum modus \(f_0=7\), kelas modus \(f_1=16\), dan kelas sesudah modus \(f_2=14\). Maka \(d_1=16-7=9\) dan \(d_2=16-14=2\).
Karena histogram memakai batas kontinu, batas bawah kelas \(22\)–\(27\) adalah \(L=21,5\), dan \(p=5\). Jadi: \(Mo=21,5+\dfrac{9}{9+2}\cdot 5=21,5+\dfrac{9}{11}\cdot 5=21,5+\dfrac{45}{11}\). Nilainya \(Mo\approx 21,5+4,09=25,59\).
Karena \(25,59\) lebih dekat ke \(25,5\) daripada ke \(25,8\), maka modusnya adalah \(25,5\).
Soal 17
Suatu pemetaan \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dengan \((g\circ f)(x)=2x^2+4x+4\) dan \(g(x)=2x+3\), maka \(f(x)=\) ....
A. \(2x^2+4x+1\)
B. \(x^2+2x+\dfrac{1}{2}\)
C. \(2x^2+4x+1\)
D. \(2x^2+4x+1\)
E. \(2x^2+4x+1\)
Jawaban & Analisis
Komposisi \((g\circ f)(x)\) berarti \(g(f(x))\). Karena \(g(u)=2u+3\), maka \(g(f(x))=2f(x)+3\).
Diketahui \(2f(x)+3=2x^2+4x+4\). Pindahkan \(3\) ke ruas kanan: \(2f(x)=2x^2+4x+1\).
Bagi \(2\): \(f(x)=x^2+2x+\dfrac{1}{2}\).
Jadi \(f(x)=x^2+2x+\dfrac{1}{2}\).
Soal 18
Nilai \( \lim\limits_{x\to 2}\left(\dfrac{2}{x^2-4}-\dfrac{3}{x^2+2x-8}\right) \) adalah ....
A. \( \dfrac{1}{7} \)
B. \( -\dfrac{1}{4} \)
C. \( -\dfrac{1}{12} \)
D. \( -\dfrac{1}{24} \)
E. \(0\)
Jawaban & Analisis
Faktorkan penyebut: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) dan \(x^2+2x-8=(x-2)(x+4)\).
Samakan penyebut: \(\dfrac{2}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{3}{(x-2)(x+4)}\) \(=\dfrac{2(x+4)-3(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+4)}\).
Sederhanakan pembilang: \(2(x+4)-3(x+2)=2x+8-3x-6=-x+2=-(x-2)\). Maka bentuknya menjadi: \(\dfrac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+4)}=-\dfrac{1}{(x+2)(x+4)}\).
Substitusi \(x=2\): \(-\dfrac{1}{(2+2)(2+4)}=-\dfrac{1}{4\cdot 6}=-\dfrac{1}{24}\). Jadi jawabannya \( -\dfrac{1}{24} \).
Soal 19
Nilai \( \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{(x+6)\sin(x+2)}{x^2-3x-10} \) adalah ....
A. \( -\dfrac{4}{3} \)
B. \( -\dfrac{4}{7} \)
C. \( -\dfrac{2}{5} \)
D. \(0\)
E. \(1\)
Jawaban & Analisis
Faktorkan penyebut: \(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\). Saat \(x\to -2\), faktor \((x+2)\to 0\) sehingga bentuknya menjadi \( \dfrac{0}{0} \) dan perlu disederhanakan.
Misalkan \(h=x+2\) sehingga \(h\to 0\) dan \(x=-2+h\). Maka: \(x+6=4+h\), \(\sin(x+2)=\sin(h)\), dan \((x-5)(x+2)=(h-7)h\).
Sehingga limit menjadi: \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(4+h)\sin(h)}{h(h-7)}\) \(=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{4+h}{h-7}\cdot\dfrac{\sin(h)}{h}\right)\).
Gunakan limit dasar \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h}=1\). Selain itu, \(\dfrac{4+h}{h-7}\to \dfrac{4}{-7}=-\dfrac{4}{7}\). Karena \(h\) mendekati \(0\), berlaku \(h \lt 7\) sehingga \(h-7 \lt 0\) (tandanya konsisten negatif).
Jadi nilainya \( -\dfrac{4}{7} \).
Soal 20
Turunan pertama dari fungsi \(f(x)=\dfrac{x-5}{x+5}\) adalah \(f'(x)=\) ....
A. \(\dfrac{-10}{(x+5)^2}\)
B. \(\dfrac{5}{(x+5)^2}\)
C. \(\dfrac{10}{(x+5)^2}\)
D. \(\dfrac{5}{(x-5)^2}\)
E. \(\dfrac{10}{(x-5)^2}\)
Jawaban & Analisis
Gunakan aturan turunan pecahan (aturan hasil bagi): Jika \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\), maka \(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\). Di sini \(u(x)=x-5\) dan \(v(x)=x+5\).
Turunannya: \(u'(x)=1\) dan \(v'(x)=1\). Maka: \(f'(x)=\dfrac{(1)(x+5)-(x-5)(1)}{(x+5)^2}\).
Sederhanakan pembilang: \((x+5)-(x-5)=x+5-x+5=10\). Jadi: \(f'(x)=\dfrac{10}{(x+5)^2}\).
Jawaban: \(\dfrac{10}{(x+5)^2}\).