Jawaban: C

Ubah \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) menjadi \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sehingga pertidaksamaan menjadi \(\sin(x-45)^\circ \gt \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Misalkan \(\theta=(x-45)^\circ\). Karena \(0 \le x \le 360\), maka \(-45 \le \theta \le 315\).

Diketahui \(\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) pada \(\theta=60^\circ\) dan \(\theta=120^\circ\). Untuk \(\sin \theta \gt \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\theta\) berada di antara keduanya, yaitu \(60^\circ \lt \theta \lt 120^\circ\).

Karena interval \((60^\circ,120^\circ)\) berada di dalam \([-45^\circ,315^\circ]\), maka solusinya tetap \(60^\circ \lt \theta \lt 120^\circ\).

Kembalikan \(\theta=(x-45)^\circ\):

\(60 \lt x-45 \lt 120 \Rightarrow 105 \lt x \lt 165\).

Jawaban: A

Bentuk \(\sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x\) dapat diubah menjadi \(\;R\sin(x+\varphi)\).

Hitung \(R\):

\(R=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Ambil \(\;R\cos\varphi=\sqrt{6}\) dan \(\;R\sin\varphi=\sqrt{2}\). Dengan \(R=2\sqrt{2}\):

\(\cos\varphi=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) dan \(\sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\), sehingga \(\varphi=30^\circ\).

Maka persamaan menjadi:

\(2\sqrt{2}\sin(x+30^\circ)=2 \Rightarrow \sin(x+30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\) untuk \(\alpha=45^\circ\) atau \(\alpha=135^\circ\) (dalam \(0^\circ\) sampai \(360^\circ\)).

Jadi:

\(x+30=45 \Rightarrow x=15\) dan \(x+30=135 \Rightarrow x=105\).

Himpunan solusi \(\{15,105\}\), yang ditulis pada opsi sebagai \((15,105)\).

Jawaban: E

\(\log \sqrt[3]{225}=\log(225^{1/3})=\frac{1}{3}\log 225\).

Faktorkan \(225=9\cdot 25=3^2\cdot 5^2\), sehingga:

\(\log 225=\log(3^2)+\log(5^2)=2\log 3+2\log 5\).

Karena \(\log 10=1\) dan \(10=2\cdot 5\), maka \(\log 5=1-\log 2=1-0{,}301=0{,}699\).

Hitung:

\(\log 225=2(0{,}477)+2(0{,}699)=0{,}954+1{,}398=2{,}352\).

Maka:

\(\log \sqrt[3]{225}=\frac{1}{3}\cdot 2{,}352=0{,}784\).

Jawaban: A

Ubah semua ke basis \(3\). Karena \(9=3^2\), maka:

\(9^{3x}=(3^2)^{3x}=3^{6x}\).

Misalkan \(t=3^{3x}\). Maka \(t \gt 0\) dan \(3^{6x}=(3^{3x})^2=t^2\). Selain itu, \(3^{3x+1}=3\cdot 3^{3x}=3t\).

Substitusi ke persamaan:

\(t^2-2\cdot (3t)-27=0 \Rightarrow t^2-6t-27=0\).

Faktorkan:

\(t^2-6t-27=(t-9)(t+3)=0\).

Karena \(t=3^{3x}\gt 0\), maka \(t=-3\) ditolak, sehingga \(t=9\).

Kembalikan ke \(x\):

\(3^{3x}=9=3^2 \Rightarrow 3x=2 \Rightarrow x=\frac{2}{3}\).

Jadi himpunan penyelesaiannya \(\left\{\frac{2}{3}\right\}\).

Jawaban: C

Notasi \(\,^{\frac{1}{2}}\!\log(x^2-8)\) berarti \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2-8)\).

Syarat logaritma terdefinisi adalah argumennya positif:

\(x^2-8 \gt 0 \Rightarrow x^2 \gt 8 \Rightarrow x \lt -2\sqrt{2} \text{ atau } x \gt 2\sqrt{2}\).

Karena basis \(\frac{1}{2}\) memenuhi \(0 \lt \frac{1}{2} \lt 1\), fungsi \(\log_{\frac{1}{2}}(u)\) menurun. Untuk basis \(0 \lt a \lt 1\):

\(\log_a(u)\lt 0 \iff u \gt 1\).

Jadi harus berlaku \(x^2-8 \gt 1\):

\(x^2 \gt 9 \Rightarrow x \lt -3 \text{ atau } x \gt 3\).

Kondisi ini otomatis memenuhi domain \(x^2-8 \gt 0\) karena \(3 \gt 2\sqrt{2}\). Maka himpunan penyelesaiannya \(\{x\mid x \lt -3 \text{ atau } x \gt 3\}\).