Soal 1
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(5\) dan \(-2\) adalah ....
A. \(x^2+7x+10=0\)
B. \(x^2+3x-10=0\)
C. \(x^2-3x-10=0\)
D. \(x^2-3x-10=0\)
E. \(x^2+3x+10=0\)
Jawaban & Analisis
Jika akar-akarnya \(5\) dan \(-2\), maka persamaan kuadratnya dapat dibentuk dari faktor: \( (x-5)(x-(-2)) \) yaitu \( (x-5)(x+2) \).
Kalikan: \[ (x-5)(x+2)=x^2+2x-5x-10=x^2-3x-10. \]
Jadi persamaannya \(x^2-3x-10=0\), sehingga jawaban yang sesuai adalah \(x^2-3x-10=0\).
Soal 2
Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru pada saat \(t\) detik dirumuskan oleh \(h(t)=40t-6t^2\) (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru tersebut adalah ....
A. \(75\) meter
B. \(80\) meter
C. \(85\) meter
D. \(90\) meter
E. \(95\) meter
Jawaban & Analisis
Fungsi \(h(t)=40t-6t^2\) adalah parabola terbuka ke bawah karena koefisien \(t^2\) bernilai negatif, sehingga memiliki nilai maksimum. Waktu saat maksimum terjadi di puncak parabola, yaitu \(t=-\dfrac{b}{2a}\) untuk bentuk \(at^2+bt+c\).
Ubah ke bentuk standar: \(h(t)=-6t^2+40t+0\), sehingga \(a=-6\) dan \(b=40\). Maka \[ t_{\max}=-\dfrac{40}{2(-6)}=\dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}. \] Karena konteks waktu, ambil \(t \gt 0\).
Hitung tinggi maksimum: \[ h\!\left(\dfrac{10}{3}\right)=40\left(\dfrac{10}{3}\right)-6\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 =\dfrac{400}{3}-6\left(\dfrac{100}{9}\right) =\dfrac{400}{3}-\dfrac{600}{9} =\dfrac{400}{3}-\dfrac{200}{3} =\dfrac{200}{3}. \]
Jadi tinggi maksimum adalah \( \dfrac{200}{3} \) meter. Nilai ini tidak muncul pada pilihan jawaban, sehingga kemungkinan ada perbedaan angka pada opsi atau pada rumus \(h(t)\) di gambar.
Soal 3
Pada segitiga \(ABC\) diketahui sisi \(AB=6\) cm, \(AC=10\) cm dan sudut \(A=60^\circ\). Panjang sisi \(BC=\) ....
A. \(2\sqrt{19}\) cm
B. \(3\sqrt{19}\) cm
C. \(4\sqrt{19}\) cm
D. \(2\sqrt{29}\) cm
E. \(3\sqrt{29}\) cm
Jawaban & Analisis
Gunakan aturan cosinus karena diketahui dua sisi dan sudut apitnya: \[ BC^2=AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos A. \]
Substitusi \(AB=6\), \(AC=10\), dan \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\): \[ BC^2=6^2+10^2-2(6)(10)\left(\dfrac{1}{2}\right) =36+100-60 =76. \]
Maka \[ BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}. \] Jawaban: \(2\sqrt{19}\) cm.
Soal 4
Nilai \( \sin 45^\circ \cos 15^\circ + \cos 45^\circ \sin 15^\circ \) sama dengan ....
A. \( \dfrac{1}{2} \)
B. \( \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \)
C. \( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \)
D. \( \dfrac{1}{2}\sqrt{6} \)
E. \( -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \)
Jawaban & Analisis
Gunakan rumus penjumlahan sinus: \[ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \]
Ambil \(\alpha=45^\circ\) dan \(\beta=15^\circ\), maka \[ \sin 45^\circ \cos 15^\circ + \cos 45^\circ \sin 15^\circ =\sin(60^\circ). \]
Karena \(\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), jawabannya adalah \( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \).
Soal 5
Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....
A. \(y=2\cos\!\left(x+\dfrac{1}{6}\pi\right)\)
B. \(y=2\cos\!\left(x-\dfrac{1}{6}\pi\right)\)
C. \(y=2\cos\!\left(x+\dfrac{1}{3}\pi\right)\)
D. \(y=2\cos\!\left(x-\dfrac{1}{3}\pi\right)\)
E. \(y=2\cos\!\left(x+\dfrac{2}{3}\pi\right)\)
Jawaban & Analisis
Dari gambar terlihat amplitudo \(2\) (puncak di \(y=2\) dan lembah di \(y=-2\)), sehingga bentuk umum fungsi adalah \(y=2\cos(x+\varphi)\) atau \(y=2\cos(x-\varphi)\).
Pada grafik, titik lembah (nilai minimum) terjadi saat \(y=-2\) di \(x=\dfrac{2}{3}\pi\). Untuk fungsi kosinus, nilai minimum terjadi ketika sudutnya \(=\pi\), sehingga: \[ x+\varphi=\pi \quad \text{pada} \quad x=\dfrac{2}{3}\pi. \]
Maka \[ \dfrac{2}{3}\pi+\varphi=\pi \Rightarrow \varphi=\pi-\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{1}{3}\pi. \] Jadi persamaannya: \[ y=2\cos\!\left(x+\dfrac{1}{3}\pi\right). \]
Jawaban: \(y=2\cos\!\left(x+\dfrac{1}{3}\pi\right)\).