Soal 26
Vektor \(z\) adalah proyeksi vektor \(x = (-\sqrt{3}, 3, 1)\) pada vektor \(y = (\sqrt{3}, 2, 3)\). Panjang vektor \(z\) adalah ....
A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(1\)
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(2\)
E. \(\dfrac{5}{2}\)
Jawaban dan Analisa
Panjang proyeksi vektor \(x\) pada \(y\) adalah \( |z| = \dfrac{|x \cdot y|}{|y|} \).
Hitung hasil kali titik: \(x \cdot y = (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (3)(2) + (1)(3) = -3 + 6 + 3 = 6\).
Hitung panjang \(y\): \( |y| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 4 + 9} = \sqrt{16} = 4\).
Maka \( |z| = \dfrac{|6|}{4} = \dfrac{3}{2} \). Jadi jawabannya C.
Soal 27
Persamaan bayangan kurva \(3x + 2y - 12 = 0\) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)\) dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu \(x\) adalah ....
A. \(2x + 3y + 12 = 0\)
B. \(2x - 3y + 12 = 0\)
C. \(-2x - 3y + 12 = 0\)
D. \(2x + 3y - 12 = 0\)
E. \(2x - 2y - 12 = 0\)
Jawaban dan Analisa
Matriks \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\-1 & 0\end{array}\right)\) memetakan \((x,y)\) menjadi \((x',y')\) dengan \(x' = y\) dan \(y' = -x\).
Pencerminan terhadap sumbu \(x\) memetakan \((x',y')\) menjadi \((X,Y)\) dengan \(X = x'\) dan \(Y = -y'\). Maka \((X,Y) = (y, x)\).
Untuk persamaan bayangan, substitusikan \(x = Y\) dan \(y = X\) ke persamaan awal: \(3x + 2y - 12 = 0 \Rightarrow 3Y + 2X - 12 = 0\).
Ganti notasi \((X,Y)\) menjadi \((x,y)\), diperoleh \(2x + 3y - 12 = 0\). Jadi jawabannya D.
Soal 28
Akar-akar persamaan eksponen \(3^{2x} - 10 \cdot 3^{x+1} + 81 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Jika \(x_1 \gt x_2\), maka nilai \(x_1 - x_2\) adalah ....
A. \(-4\)
B. \(-2\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(4\)
Jawaban dan Analisa
Misalkan \(t = 3^x\). Maka \(3^{2x} = (3^x)^2 = t^2\) dan \(3^{x+1} = 3 \cdot 3^x = 3t\).
Persamaan menjadi \(t^2 - 10(3t) + 81 = 0\), yaitu \(t^2 - 30t + 81 = 0\).
Faktorkan: \(t^2 - 30t + 81 = (t-27)(t-3) = 0\), sehingga \(t = 27\) atau \(t = 3\).
Jika \(3^x = 27\) maka \(x = 3\). Jika \(3^x = 3\) maka \(x = 1\). Jadi \(x_1 = 3\) dan \(x_2 = 1\).
\(x_1 - x_2 = 3 - 1 = 2\). Jadi jawabannya C.
Soal 29
Himpunan penyelesaian \(^{5}\log(x-2) + \,^{5}\log(2x+1) = 2\) adalah ....
A. \(\{1\ \dfrac{1}{2}\}\)
B. \(\{3\}\)
C. \(\{4\ \dfrac{1}{2}\}\)
D. \(\{1\ \dfrac{1}{2},\, 3\}\)
E. \(\{3,\, 4\ \dfrac{1}{2}\}\)
Jawaban dan Analisa
Syarat logaritma: \(x-2 \gt 0\) dan \(2x+1 \gt 0\), sehingga \(x \gt 2\).
Gabungkan logaritma: \(^{5}\log(x-2) + \,^{5}\log(2x+1) = \,^{5}\log\left((x-2)(2x+1)\right)\). Maka \(^{5}\log\left((x-2)(2x+1)\right) = 2\).
Ubah ke bentuk eksponen: \((x-2)(2x+1) = 5^2 = 25\). Expansi: \((x-2)(2x+1) = 2x^2 - 3x - 2\). Jadi \(2x^2 - 3x - 2 = 25\) atau \(2x^2 - 3x - 27 = 0\).
Pecahkan: \(\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-27) = 9 + 216 = 225\), \(\sqrt{\Delta} = 15\). Maka \(x = \dfrac{3 \pm 15}{4}\), sehingga \(x = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}\) atau \(x = \dfrac{-12}{4} = -3\).
Karena syarat \(x \gt 2\), yang diterima hanya \(x = \dfrac{9}{2}\). Himpunan penyelesaian \(\left\{\dfrac{9}{2}\right\} = \{4\ \dfrac{1}{2}\}\). Jadi jawabannya C.
Soal 30
Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan \(^{3}\log(5-x) + \,^{3}\log(1+x) \lt \,^{3}\log(6x-10)\) adalah ....
A. \(x \lt -5\) atau \(x \gt 3\)
B. \(1 \lt x \lt 5\)
C. \(\dfrac{5}{3} \lt x \lt 5\)
D. \(3 \lt x \lt 5\)
E. \(-5 \lt x \lt 3\)
Jawaban dan Analisa
Tentukan domain: \(5-x \gt 0 \Rightarrow x \lt 5\), \(1+x \gt 0 \Rightarrow x \gt -1\), \(6x-10 \gt 0 \Rightarrow x \gt \dfrac{5}{3}\). Jadi domain gabungan: \(\dfrac{5}{3} \lt x \lt 5\).
Gabungkan ruas kiri: \(^{3}\log(5-x) + \,^{3}\log(1+x) = \,^{3}\log\left((5-x)(1+x)\right)\). Karena basis \(3 \gt 1\), maka \(\,^{3}\log\left((5-x)(1+x)\right) \lt \,^{3}\log(6x-10)\) setara dengan \((5-x)(1+x) \lt 6x-10\).
Hitung: \((5-x)(1+x) = 5 + 4x - x^2\). Maka \(5 + 4x - x^2 \lt 6x - 10\) \(\Rightarrow 15 - 2x - x^2 \lt 0\) \(\Rightarrow x^2 + 2x - 15 \gt 0\).
Faktorkan: \(x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)\). Jadi \((x+5)(x-3) \gt 0\) memberi \(x \lt -5\) atau \(x \gt 3\).
Irisan dengan domain \(\dfrac{5}{3} \lt x \lt 5\) menghasilkan \(3 \lt x \lt 5\). Jadi jawabannya D.