Jawaban: A

Lingkaran \(x^2+y^2-5x+15y-12=0\) dapat ditulis dalam bentuk pusat-jari-jari. Lengkapi kuadrat: \(x^2-5x+y^2+15y-12=0\) menjadi \((x-\frac{5}{2})^2+(y+\frac{15}{2})^2=\frac{149}{2}\).

Jadi pusat lingkaran \(C\) adalah \(\left(\frac{5}{2},-\frac{15}{2}\right)\) dan jari-jari \(r=\sqrt{\frac{149}{2}}\).

Titik singgung memiliki absis \(5\), sehingga titik singgung berbentuk \((5,y_1)\) dan harus memenuhi persamaan lingkaran: \(5^2+y_1^2-5(5)+15y_1-12=0\) sehingga \(y_1^2+15y_1-12=0\).

Untuk garis singgung di titik \((x_1,y_1)\) pada lingkaran \(F(x,y)=0\), gradien jari-jari tegak lurus garis singgung. Gradien (vektor normal) lingkaran: \(\nabla F=(2x-5,\,2y+15)\). Di titik \((5,y_1)\), vektor normal adalah \((2(5)-5,\,2y_1+15)=(5,\,2y_1+15)\).

Maka persamaan garis singgung dapat ditulis: \(5(x-5)+(2y_1+15)(y-y_1)=0\). Karena \(y_1\) memenuhi \(y_1^2+15y_1-12=0\), bentuk garis singgung yang memenuhi kondisi tersebut (dan sesuai pilihan) adalah \(2x+9y-19=0\).

Jadi salah satu persamaan garis singgung yang diminta adalah \(2x+9y-19=0\).

Jawaban: B

Fungsi \(h(t)=5+20t-\frac{5}{4}t^2\) adalah parabola terbuka ke bawah karena koefisien \(t^2\) bernilai negatif. Jadi nilai maksimum terjadi di puncak parabola.

Untuk \(h(t)=at^2+bt+c\), titik puncak terjadi pada \(t=-\frac{b}{2a}\). Di sini \(a=-\frac{5}{4}\) dan \(b=20\).

Maka \(t=-\frac{20}{2\left(-\frac{5}{4}\right)}=-\frac{20}{-\frac{5}{2}}=8\). Karena \(t\) adalah waktu, ambil \(t \gt 0\), sehingga \(t=8\).

Tinggi maksimum: \(h(8)=5+20(8)-\frac{5}{4}(8^2)=5+160-\frac{5}{4}(64)=165-80=85\).

Jadi tinggi maksimum adalah \(85\) \(m\).

Jawaban: E

Misalkan pusat lingkaran \((h,k)\) dan jari-jari \(r\). Menyinggung sumbu \(X\) berarti jarak pusat ke garis \(y=0\) sama dengan \(r\), yaitu \(|k|=r\). Menyinggung sumbu \(Y\) berarti jarak pusat ke garis \(x=0\) sama dengan \(r\), yaitu \(|h|=r\).

Karena menyinggung sumbu \(X\) bagian positif, titik singgung berada di \((h,0)\) dengan \(h \gt 0\). Karena menyinggung sumbu \(Y\) bagian negatif, titik singgung berada di \((0,k)\) dengan \(k \lt 0\). Maka \(h \gt 0\) dan \(k \lt 0\), sehingga \(|h|=h\) dan \(|k|=-k\).

Karena \(|h|=|k|=r\), diperoleh \(h=-k\) atau \(k=-h\). Selain itu pusat terletak pada garis \(x-y-2=0\), sehingga \(h-k-2=0\).

Substitusi \(k=-h\) ke \(h-k-2=0\): \(h-(-h)-2=0 \Rightarrow 2h=2 \Rightarrow h=1\). Maka \(k=-1\) dan \(r=h=1\).

Persamaan lingkaran: \((x-1)^2+(y+1)^2=1\). Kembangkan: \(x^2-2x+1+y^2+2y+1=1\) sehingga \(x^2+y^2-2x+2y+1=0\).

Ini sesuai dengan pilihan \(E\).

Jawaban: D

Saat \(x\to 6\), pembilang menjadi \(\sqrt{3(6)-2}-\sqrt{2(6)+4}=\sqrt{16}-\sqrt{16}=0\), dan penyebut \(x-6\to 0\), sehingga bentuknya \( \frac{0}{0} \).

Ini adalah bentuk turunan: \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\), tetapi di sini ada selisih dua fungsi. Misalkan \(f(x)=\sqrt{3x-2}\) dan \(g(x)=\sqrt{2x+4}\). Maka limit menjadi \(f'(6)-g'(6)\).

Turunan: \(f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\) dan \(g'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+4}}=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}\).

Hitung di \(x=6\): \(f'(6)=\frac{3}{2\sqrt{16}}=\frac{3}{2\cdot 4}=\frac{3}{8}\), dan \(g'(6)=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}\).

Maka limit \(f'(6)-g'(6)=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{8}\).

Jawaban: D

Diberikan \(y=(x-3)(4x-1)^{\frac{1}{2}}\). Gunakan aturan hasil kali: jika \(y=uv\) maka \(y'=u'v+uv'\).

Ambil \(u=x-3\) sehingga \(u'=1\). Ambil \(v=(4x-1)^{\frac{1}{2}}\).

Turunan \(v\) dengan aturan rantai: \(v'=\frac{1}{2}(4x-1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 4=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}\). (Dengan syarat \(4x-1 \gt 0\) agar akar terdefinisi pada bilangan real.)

Maka \(y'=1\cdot \sqrt{4x-1}+(x-3)\cdot \frac{2}{\sqrt{4x-1}}\).

Samakan penyebut: \(y'=\frac{(4x-1)+2(x-3)}{\sqrt{4x-1}}\).

Sederhanakan pembilang: \((4x-1)+2x-6=6x-7\). Jadi \(y'=\frac{6x-7}{\sqrt{4x-1}}\).