Soal 1
Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya \(72\ \text{m}^2\). Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah ....
A. \(2\sqrt{6}\ \text{m}\)
B. \(6\sqrt{6}\ \text{m}\)
C. \(4\sqrt{15}\ \text{m}\)
D. \(4\sqrt{30}\ \text{m}\)
E. \(6\sqrt{15}\ \text{m}\)
Jawaban & Analisa
Kunci: C (\(4\sqrt{15}\ \text{m}\))
Misalkan lebar \(=w\) dan panjang \(=3w\). Luasnya \((3w)(w)=72\Rightarrow 3w^2=72\Rightarrow w^2=24\Rightarrow w=2\sqrt{6}\).
Diagonal persegi panjang: \(d=\sqrt{(3w)^2+w^2}=\sqrt{9w^2+w^2}=\sqrt{10w^2}=w\sqrt{10}\).
Substitusi \(w=2\sqrt{6}\): \(d=(2\sqrt{6})\sqrt{10}=2\sqrt{60}=2\sqrt{4\cdot 15}=4\sqrt{15}\).
Soal 2
Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas \(192\ \text{m}^2\). Selisih panjang dan lebar adalah \(4\ \text{m}\). Apabila di sekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar \(2\ \text{m}\), maka luas jalan tersebut adalah ....
A. \(96\ \text{m}^2\)
B. \(128\ \text{m}^2\)
C. \(144\ \text{m}^2\)
D. \(156\ \text{m}^2\)
E. \(168\ \text{m}^2\)
Jawaban & Analisa
Kunci: B (\(128\ \text{m}^2\))
Misalkan lebar kebun \(=w\) dan panjang kebun \(=w+4\). Luas: \(w(w+4)=192\Rightarrow w^2+4w-192=0\).
Faktorkan: \((w+16)(w-12)=0\Rightarrow w=12\) (ambil yang positif), sehingga panjang \(=16\).
Jalan lebar \(2\ \text{m}\) di semua sisi menambah masing-masing ukuran sebesar \(4\ \text{m}\). Ukuran luar: \((16+4)\ \text{m}\) dan \((12+4)\ \text{m}\), yaitu \(20\ \text{m}\) dan \(16\ \text{m}\).
Luas luar \(=20\cdot 16=320\ \text{m}^2\). Luas kebun \(=192\ \text{m}^2\). Maka luas jalan \(=320-192=128\ \text{m}^2\).
Soal 3
Harga \(4\ \text{kg}\) salak, \(1\ \text{kg}\) jambu dan \(2\ \text{kg}\) kelengkeng adalah Rp. \(54.000,00\).
Harga \(1\ \text{kg}\) salak, \(2\ \text{kg}\) jambu dan \(2\ \text{kg}\) kelengkeng adalah Rp. \(43.000,00\).
Harga \(1\ \text{kg}\) salak, \(1\ \text{kg}\) jambu dan \(1\ \text{kg}\) kelengkeng adalah Rp. \(37.750,00\).
Harga \(1\ \text{kg}\) jambu = ....
A. Rp. \(6.500,00\)
B. Rp. \(7.000,00\)
C. Rp. \(8.500,00\)
D. Rp. \(9.250,00\)
E. Rp. \(9.750,00\)
Jawaban & Analisa
Misalkan harga per kg salak \(=s\), jambu \(=j\), kelengkeng \(=k\). Dari soal:
\((1)\ \ 4s+j+2k=54000\)
\((2)\ \ s+2j+2k=43000\)
\((3)\ \ s+j+k=37750\)
Kurangkan \((2)\) dengan \((3)\): \((s+2j+2k)-(s+j+k)=43000-37750\Rightarrow j+k=5250\).
Dari \((3)\): \(s+(j+k)=37750\Rightarrow s+5250=37750\Rightarrow s=32500\).
Substitusi \(s=32500\) ke \((1)\): \(4(32500)+j+2k=54000\Rightarrow 130000+j+2k=54000\Rightarrow j+2k=-76000\).
Hasil \(j+2k=-76000\) bertentangan dengan konsep harga (tidak mungkin negatif). Artinya, data pada soal (angka total atau koefisien kg) kemungkinan ada salah ketik pada gambar, sehingga harga \(1\ \text{kg}\) jambu tidak bisa ditentukan secara konsisten dari tiga persamaan tersebut.
Jika Anda ingin, ketik ulang tiga kalimat harganya (terutama baris pertama) agar saya hitung sampai ketemu salah satu opsi A–E secara tepat.
Soal 4
Upik rajin belajar maka naik kelas.
Upik tidak naik kelas maka tidak dapat hadiah.
Upik rajin belajar.
Kesimpulan yang sah adalah ....
A. Upik naik kelas
B. Upik dapat hadiah
C. Upik tidak dapat hadiah
D. Upik naik kelas dan dapat hadiah
E. Upik dapat hadiah atau naik kelas
Jawaban & Analisa
Kunci: A (Upik naik kelas)
Misalkan \(p\): “Upik rajin belajar”, \(q\): “Upik naik kelas”, \(r\): “Upik dapat hadiah”. Pernyataan yang diberikan:
\(p\Rightarrow q\).
\(\neg q\Rightarrow \neg r\).
Diketahui \(p\) benar.
Dari \(p\Rightarrow q\) dan \(p\) benar, maka dengan modus ponens diperoleh \(q\) benar, artinya Upik naik kelas.
Pernyataan \(\neg q\Rightarrow \neg r\) tidak bisa langsung memberi kesimpulan tentang \(r\) ketika \(q\) benar. Jadi “Upik dapat hadiah” tidak bisa dipastikan hanya dari informasi ini.
Kesimpulan yang pasti sah adalah \(q\): Upik naik kelas.
Soal 5
Suatu lahan berbentuk segitiga dibatasi oleh tonggak \(A\), \(B\), dan \(C\). Jika jarak tonggak \(A\) dan \(C\) adalah \(12\ \text{m}\), jarak tonggak \(B\) dan \(C\) adalah \(16\ \text{m}\), dan besar sudut \(ACB=60^\circ\), maka jarak tonggak \(A\) dan \(B\) adalah ....
A. \(4\sqrt{13}\ \text{m}\)
B. \(4\sqrt{15}\ \text{m}\)
C. \(4\sqrt{19}\ \text{m}\)
D. \(4\sqrt{31}\ \text{m}\)
E. \(4\sqrt{37}\ \text{m}\)
Jawaban & Analisa
Kunci: A (\(4\sqrt{13}\ \text{m}\))
Gunakan aturan cosinus pada segitiga \(ABC\) dengan sudut di \(C\): \[ AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos \angle ACB. \]
Substitusi \(AC=12\), \(BC=16\), dan \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\): \[ AB^2=12^2+16^2-2(12)(16)\left(\frac{1}{2}\right). \]
Hitung: \(12^2=144\), \(16^2=256\), dan \(2(12)(16)\left(\frac{1}{2}\right)=192\). Maka \[ AB^2=144+256-192=208. \]
\[ AB=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}. \]