Pencerminan terhadap garis \(y=x\) menukar peran \(x\) dan \(y\). Jadi persamaan bayangan diperoleh dengan menukar \(x\) dan \(y\) pada persamaan asal.

Dari \(y=2x+2\) ditukar menjadi \(x=2y+2\). Lalu selesaikan untuk \(y\): \(2y=x-2\) sehingga \(y=\frac{1}{2}x-1\).

Jawaban: C

Gunakan koordinat kubus: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(E(0,0,a)\), \(F(a,0,a)\), \(G(a,a,a)\), \(H(0,a,a)\). Titik tengah \(BF\) adalah \(Q(a,0,\frac{a}{2})\).

Bidang \(ACQ\) melalui \(A\), sehingga persamaan bidang dapat dicari dari vektor \( \overrightarrow{AC}=(a,a,0) \) dan \( \overrightarrow{AQ}=(a,0,\frac{a}{2}) \). Normal bidang sebanding dengan \( \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AQ} \) dan menghasilkan arah \((1,-1,-2)\), sehingga persamaan bidang: \(x-y-2z=0\).

Jarak titik \(H(0,a,a)\) ke bidang \(x-y-2z=0\) adalah \(d=\frac{|0-a-2a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{3a}{\sqrt{6}}=\frac{1}{2}a\sqrt{6}\). Nilai ini memenuhi \(0 \lt d \lt a\sqrt{3}\) sehingga masuk akal untuk jarak di dalam kubus.

Jawaban: D

Pakai koordinat yang sama seperti soal 37. Titik \(P\) adalah titik tengah \(AB\), sehingga \(P(\frac{a}{2},0,0)\). Titik \(E(0,0,a)\) dan \(D(0,a,0)\). Bidang \(ADHE\) adalah sisi kubus dengan \(x=0\), maka vektor normalnya bisa diambil \( \mathbf{n}_1=(1,0,0)\).

Bidang \(PED\) memiliki vektor arah \( \overrightarrow{PE}=(-\frac{a}{2},0,a)\) dan \( \overrightarrow{PD}=(-\frac{a}{2},a,0)\). Normal bidang \(PED\) adalah \( \mathbf{n}_2=\overrightarrow{PE}\times\overrightarrow{PD}\) yang sebanding dengan \((2,1,1)\).

Sudut antarb idang sama dengan sudut antara normalnya. Maka \(\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}=\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\). Jadi \(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Jawaban: A

Misalkan \(p\) adalah pernyataan \( \sqrt{14} \lt 4 \) dan \(q\) adalah pernyataan \( \sin 45^\circ \lt \sin 60^\circ \). Kalimat “jika dan hanya jika” adalah bikondisional \(p\leftrightarrow q\).

Ingkaran bikondisional adalah “berbeda nilai kebenaran” (XOR), yang dapat ditulis sebagai \(\neg(p\leftrightarrow q)\equiv p\leftrightarrow \neg q\). Jadi cukup mempertahankan \(p\) dan menegasikan \(q\).

Negasi dari \( \sin 45^\circ \lt \sin 60^\circ \) adalah \( \sin 45^\circ \ge \sin 60^\circ \). Maka ingkarannya menjadi \( \sqrt{14} \lt 4 \) jika dan hanya jika \( \sin 45^\circ \ge \sin 60^\circ \).

Jawaban: B

Luas hasil transformasi linear pada bidang dikalikan dengan faktor \( |\det(T)| \). Untuk matriks \( \begin{pmatrix}1 & 4\\ 3 & 4\end{pmatrix} \), determinannya \( \det=1\cdot 4-4\cdot 3=-8 \), sehingga faktor luasnya \( |\det|=8 \).

Luas segitiga dengan sisi \(4,5,6\) dihitung dengan rumus Heron. Setengah keliling \(s=\frac{4+5+6}{2}=\frac{15}{2}\). Maka luas: \(L=\sqrt{s(s-4)(s-5)(s-6)}=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{1575}{16}}=\frac{15}{4}\sqrt{7}\).

Luas bayangan \(=8\cdot \frac{15}{4}\sqrt{7}=30\sqrt{7}\).

Jawaban: E