Soal 31
Luas yang dibatasi parabola \( y=8-x^2 \) dan garis \( y=2x \) adalah ....
A. \( 36 \) satuan luas
B. \( 41\frac{1}{3} \) satuan luas
C. \( 41\frac{2}{3} \) satuan luas
D. \( 46 \) satuan luas
E. \( 46\frac{2}{3} \) satuan luas
Jawaban dan Analisis
Titik potong diperoleh dari \( 8-x^2=2x \) sehingga \( x^2+2x-8=0 \). Faktorisasinya \( (x+4)(x-2)=0 \), maka \( x=-4 \) dan \( x=2 \), dengan interval \( -4 \lt x \lt 2 \).
Luas daerah: \( L=\int_{-4}^{2} \big((8-x^2)-(2x)\big)\,dx =\int_{-4}^{2}(8-x^2-2x)\,dx \).
Integral primitif: \( 8x-\frac{x^3}{3}-x^2 \).
Hasil substitusi batas menghasilkan \( 36 \) dan \( 36 \gt 0 \). Jawaban: A.
Soal 32
Kurva memiliki persamaan \( y=x\sqrt{30-30x^2} \). Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu \( X \), maka volume benda putar yang terjadi adalah ....
A. \( 6\pi \) satuan volum
B. \( 8\pi \) satuan volum
C. \( 9\pi \) satuan volum
D. \( 10\pi \) satuan volum
E. \( 12\pi \) satuan volum
Jawaban dan Analisis
Karena \( 30-30x^2 \ge 0 \), maka \( -1 \le x \le 1 \).
Volume putar: \( V=\pi\int y^2 dx \), dengan \( y^2=30x^2-30x^4 \).
Maka \( V=30\pi\int_{-1}^{1}(x^2-x^4)dx \). Karena fungsi genap, \( =60\pi\int_{0}^{1}(x^2-x^4)dx \).
Hasil integral menghasilkan \( 8\pi \). Jawaban: B.
Soal 33
Diketahui \( f(x)=(1+\sin x)^2(1+\cos x)^4 \). Nilai \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \) adalah ....
A. \( -20 \)
B. \( -16 \)
C. \( -12 \)
D. \( -8 \)
E. \( -4 \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan aturan hasil kali. Pada \( x=\frac{\pi}{2} \), \( \sin=\;1 \) dan \( \cos=0 \).
Perhitungan menghasilkan \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-16 \) dan \( -16 \lt 0 \). Jawaban: B.
Soal 34
Nilai \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)dx \) adalah ....
A. \( -\frac{1}{4} \)
B. \( -\frac{1}{8} \)
C. \( \frac{1}{8} \)
D. \( \frac{1}{4} \)
E. \( \frac{3}{8} \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan identitas \( \sin a\cos a=\frac{1}{2}\sin(2a) \).
Hasil perhitungan memberikan \( \frac{1}{8} \) dan \( \frac{1}{8} \gt 0 \). Jawaban: C.
Soal 35
Nilai \( \int_{\sqrt{6}}^{3\sqrt{2}} x\sqrt{x^2-2}\,dx \) adalah ....
A. \( 24 \)
B. \( 18\frac{2}{3} \)
C. \( 18 \)
D. \( 17\frac{1}{3} \)
E. \( 17 \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan substitusi \( u=x^2-2 \), sehingga integral menjadi \( \frac{1}{3}(x^2-2)^{\frac{3}{2}} \).
Hasil akhirnya \( \frac{56}{3}=18\frac{2}{3} \) dan \( \frac{56}{3} \gt 0 \). Jawaban: B.