Jawaban: A

Kelompokkan suku \(x\) dan \(y\): \(\;x^2-2x+y^2+4y+1=0\).

Lengkapi kuadrat sempurna:

\(\;x^2-2x=(x-1)^2-1\) dan \(\;y^2+4y=(y+2)^2-4\).

Substitusi ke persamaan:

\(\;(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+1=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=4\).

Bentuk \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) punya pusat \((h,k)\). Jadi pusatnya \((a,b)=(1,-2)\).

Hitung \(\;2a+b=2(1)+(-2)=0\).

Jawaban: E

Karena fokus \((1,2)\) dan \((5,2)\) memiliki koordinat \(y\) sama, sumbu mayor mendatar. Titik pusat ellips adalah titik tengah fokus:

\(\;\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(3,2)\).

Jarak pusat ke fokus adalah \(\;c\). Karena selisih \(x\) fokus adalah \(4\), maka \(\;2c=4 \Rightarrow c=2\).

Pada ellips berlaku \(\;a\gt c\) dan \(\;b^2=a^2-c^2\). Opsi yang benar harus menghasilkan pusat \((3,2)\) dan \(\;c=2\).

Uji opsi E dengan melengkapkan kuadrat:

\(\;3x^2+4y^2-18x-16y-5=0\)

\(\;3(x^2-6x)+4(y^2-4y)-5=0\)

\(\;3\big((x-3)^2-9\big)+4\big((y-2)^2-4\big)-5=0\)

\(\;3(x-3)^2+4(y-2)^2=48\)

\(\;\frac{(x-3)^2}{16}+\frac{(y-2)^2}{12}=1\).

Dari sini \(\;a^2=16\) dan \(\;b^2=12\) sehingga \(\;c^2=a^2-b^2=16-12=4\Rightarrow c=2\). Fokus menjadi \((3\pm 2,2)=(1,2)\) dan \((5,2)\), tepat seperti soal.

Catatan: bentuk opsi E memberi \(\;2a=2\cdot 4=8\). Jadi opsi E konsisten dengan data fokus, sedangkan angka “\(6\)” pada sumbu mayor di gambar tidak konsisten dengan opsi-opsi yang tersedia.

Jawaban: D

Gunakan rumus jumlah sudut:

\(\;\sin(30^\circ+x)=\sin 30^\circ\cos x+\cos 30^\circ\sin x\).

Nilai \(\;\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\) dan \(\;\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), sehingga:

\(\;\sin(30^\circ+x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\).

Karena berlaku untuk setiap \(x\), koefisien \(\sin x\) dan \(\cos x\) harus sama, sehingga \(\;a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) dan \(\;b=\frac{1}{2}\).

Hitung:

\(\;a\sqrt{3}+b=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\).

Jawaban: E

Jika \(\;P(x)=2x^3+ax^2-bx+3\) dibagi \(\;x^2-4\), sisa pembagiannya \(\;r(x)=x+23\).

Karena \(\;x^2-4=0\) memiliki akar \(\;x=2\) dan \(\;x=-2\), maka berlaku:

\(\;P(2)=r(2)\) dan \(\;P(-2)=r(-2)\).

Hitung \(\;P(2)\) dan \(\;r(2)\):

\(\;P(2)=2(8)+a(4)-b(2)+3=16+4a-2b+3=19+4a-2b\).

\(\;r(2)=2+23=25\).

Maka \(\;19+4a-2b=25 \Rightarrow 4a-2b=6 \Rightarrow 2a-b=3\).

Hitung \(\;P(-2)\) dan \(\;r(-2)\):

\(\;P(-2)=2(-8)+a(4)-b(-2)+3=-16+4a+2b+3=4a+2b-13\).

\(\;r(-2)=-2+23=21\).

Maka \(\;4a+2b-13=21 \Rightarrow 4a+2b=34 \Rightarrow 2a+b=17\).

Selesaikan sistem:

\(\;(2a+b)-(2a-b)=17-3 \Rightarrow 2b=14 \Rightarrow b=7\).

\(\;2a-b=3 \Rightarrow 2a-7=3 \Rightarrow 2a=10 \Rightarrow a=5\).

Maka \(\;a+b=5+7=12\).

Jawaban: A

Uraikan integrannya:

\(\;x^2(x-6)=x^3-6x^2\).

Hitung antiturunan:

\(\;\int (x^3-6x^2)\,dx=\frac{x^4}{4}-6\cdot\frac{x^3}{3}=\frac{x^4}{4}-2x^3\).

Substitusi batas \(-1\lt x\lt 1\) (batas integral \(\;-1\) sampai \(\;1\)):

\(\;F(1)=\frac{1}{4}-2=-\frac{7}{4}\).

\(\;F(-1)=\frac{1}{4}-2(-1)^3=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\).

Maka nilai integral:

\(\;F(1)-F(-1)=-\frac{7}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{16}{4}=-4\).