Ubah semua bilangan ke faktor prima \(2\) dan \(3\). \[ 6^{x-1}=(2\cdot 3)^{x-1}=2^{x-1}\cdot 3^{x-1}. \] Ruas kanan: \[ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1}=\dfrac{2^{x+1}}{3^{x+1}}. \]

Samakan: \[ 2^{x-1}\cdot 3^{x-1}=\dfrac{2^{x+1}}{3^{x+1}}. \] Kalikan kedua ruas dengan \(3^{x+1}\): \[ 2^{x-1}\cdot 3^{(x-1)+(x+1)}=2^{x+1}. \] Karena \((x-1)+(x+1)=2x\), maka \[ 2^{x-1}\cdot 3^{2x}=2^{x+1}. \]

Bagi kedua ruas dengan \(2^{x-1}\): \[ 3^{2x}=2^{(x+1)-(x-1)}=2^2=4. \] Jadi \[ 9^x=4. \] Ambil log: \[ x=\log_{9}4=\dfrac{\ln 4}{\ln 9}=\dfrac{2\ln 2}{2\ln 3}=\dfrac{\ln 2}{\ln 3}=\log_{3}2. \]

Jadi \(x=\) \(^{3}\log 2\).

Perhatikan domain logaritma \(^{x}\log(\cdot)\): harus \(x \gt 0\) dan \(x \ne 1\). Selain itu, argumen \(x^2\) harus positif, sehingga \(x \ne 0\) (sudah tercakup oleh \(x \gt 0\)). Jadi domain: \(x \gt 0\) dan \(x \ne 1\).

Karena \(^{x}\log x^2=\log_x(x^2)=2\) (untuk \(x \gt 0\) dan \(x \ne 1\)), pertidaksamaan menjadi: \[ \log_x 9 \lt 2. \]

Kasus 1: \(x \gt 1\). Fungsi \(\log_x(\cdot)\) naik, maka \[ \log_x 9 \lt 2 \iff 9 \lt x^2. \] Karena \(x \gt 1\), maka \(9 \lt x^2 \iff x \gt 3\).

Kasus 2: \(0 \lt x \lt 1\). Fungsi \(\log_x(\cdot)\) turun, maka tanda berbalik: \[ \log_x 9 \lt 2 \iff 9 \gt x^2. \] Untuk \(0 \lt x \lt 1\), selalu \(x^2 \lt 1\), sehingga pasti \(9 \gt x^2\). Jadi semua \(0 \lt x \lt 1\) memenuhi.

Kesimpulan himpunan solusi adalah \(\{x\mid 0 \lt x \lt 1\} \cup \{x\mid x \gt 3\}\). (Bentuk ini tidak persis sama dengan pilihan yang tercetak pada gambar, kemungkinan ada salah ketik pada opsi.)

Untuk program linear, nilai optimum terjadi di titik pojok daerah feasible. Titik pojok didapat dari perpotongan garis batas: \[ 3x+2y=12,\quad x+2y=8,\quad x+y=8,\quad x=0. \]

Cari beberapa titik pojok yang memenuhi semua syarat:
1) Perpotongan \(x+2y=8\) dan \(x+y=8\): \[ (x+2y)-(x+y)=8-8 \Rightarrow y=0 \Rightarrow x=8. \] Titik \((8,0)\).

Cek syarat: \[ 3(8)+2(0)=24 \ge 12,\quad 8+2(0)=8 \ge 8,\quad 8+0=8 \le 8,\quad 8 \ge 0. \] Jadi \((8,0)\) feasible. Nilai obyektif: \[ x+3y=8+3(0)=8. \]

2) Perpotongan \(3x+2y=12\) dan \(x+2y=8\): \[ (3x+2y)-(x+2y)=12-8 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2. \] Lalu \(2+2y=8 \Rightarrow y=3\). Titik \((2,3)\). Nilai obyektif: \[ x+3y=2+9=11. \]

Karena \(8 \lt 11\), maka nilai minimum adalah \(8\).

Rumus penting: \[ \lvert \vec a+\vec b \rvert^2=\lvert \vec a \rvert^2+\lvert \vec b \rvert^2+2(\vec a\cdot \vec b). \] Jika diketahui \(\lvert \vec a \rvert\) dan \(\lvert \vec b \rvert\), maka \(\vec a\cdot \vec b\) bisa dihitung: \[ \vec a\cdot \vec b=\dfrac{\lvert \vec a+\vec b \rvert^2-\lvert \vec a \rvert^2-\lvert \vec b \rvert^2}{2}. \]

Namun pada soal ini hanya diberikan \(\vec a+\vec b\) dan \(\lvert \vec a+\vec b \rvert\), tanpa informasi tambahan tentang \(\lvert \vec a \rvert\) atau \(\lvert \vec b \rvert\). Akibatnya, nilai \(\vec a\cdot \vec b\) tidak dapat ditentukan tunggal dari data yang ada.

Catatan penting: vektor \(\vec i-\vec j+4\vec k\) memiliki panjang \[ \sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}, \] sedangkan soal menuliskan \(\lvert \vec a+\vec b \rvert=\sqrt{14}\). Data ini tidak konsisten, sehingga perlu koreksi pada salah satu bagian agar jawaban bisa dipastikan.

Rumus proyeksi vektor \( \vec a \) pada \( \vec b \) adalah \[ \operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=\left(\dfrac{\vec a\cdot \vec b}{\vec b\cdot \vec b}\right)\vec b. \]

Hitung hasil kali titik: \[ \vec a\cdot \vec b=(2,1)\cdot(3,4)=2\cdot 3+1\cdot 4=10. \] Lalu \[ \vec b\cdot \vec b=(3,4)\cdot(3,4)=3^2+4^2=9+16=25. \]

Jadi faktor skalarnya \[ \dfrac{\vec a\cdot \vec b}{\vec b\cdot \vec b}=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}. \] Maka \[ \vec c=\dfrac{2}{5}(3,4). \]

Jawaban: \(\dfrac{2}{5}(3,4)\) (opsi B).