Strategi: Karena ada akar \( \sqrt{4-x} \), gunakan substitusi \( u=4-x \).

Langkah 1: Misalkan \( u=4-x \Rightarrow du=-dx \Rightarrow dx=-du \) dan \( x=4-u \).

Langkah 2: Ubah integral ke variabel \( u \).

\( \int x\sqrt{4-x}\,dx=\int (4-u)\sqrt{u}(-du) \)

\( =\int (u-4)u^{\tfrac{1}{2}}\,du=\int (u^{\tfrac{3}{2}}-4u^{\tfrac{1}{2}})\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( \int u^{\tfrac{3}{2}}\,du=\dfrac{u^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}} \)

\( \int 4u^{\tfrac{1}{2}}\,du=4\cdot\dfrac{u^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{8}{3}u^{\tfrac{3}{2}} \)

Jadi \( \int (u^{\tfrac{3}{2}}-4u^{\tfrac{1}{2}})\,du=\dfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}}-\dfrac{8}{3}u^{\tfrac{3}{2}}+C \).

Langkah 4: Faktorkan \( u^{\tfrac{3}{2}} \).

\( \dfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}}-\dfrac{8}{3}u^{\tfrac{3}{2}}=u^{\tfrac{3}{2}}\left(\dfrac{2}{5}u-\dfrac{8}{3}\right) \)

Samakan penyebut \( 15 \): \( \dfrac{2}{5}u-\dfrac{8}{3}=\dfrac{6u-40}{15}=\dfrac{2(3u-20)}{15} \)

Sehingga \( =\dfrac{2}{15}(3u-20)u^{\tfrac{3}{2}} \).

Langkah 5: Kembalikan \( u=4-x \).

\( 3u-20=3(4-x)-20=12-3x-20=-(3x+8) \)

Maka hasilnya \( -\dfrac{2}{15}(3x+8)(4-x)^{\tfrac{3}{2}}+C \).

Jawaban: E yaitu \( -\dfrac{2}{15}(3x+8)(4-x)^{\tfrac{3}{2}}+C \).

Langkah 1: Tentukan antiturunan \( F(x) \).

\( \int (2x^2-4x+3)\,dx=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2+3x+C \)

Langkah 2: Hitung \( F(1) \) dan \( F(-1) \).

\( F(1)=\dfrac{2}{3}(1)^3-2(1)^2+3(1)=\dfrac{2}{3}-2+3=\dfrac{5}{3} \)

\( F(-1)=\dfrac{2}{3}(-1)^3-2(-1)^2+3(-1)=-\dfrac{2}{3}-2-3=-\dfrac{17}{3} \)

Langkah 3: Gunakan \( \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a) \).

\( \int_{-1}^{1}(2x^2-4x+3)\,dx=\dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{17}{3}\right)=\dfrac{22}{3} \)

Jawaban: A yaitu \( \dfrac{22}{3} \).

Strategi: Gunakan substitusi \( u=\sin 2x \) karena \( du \) memuat \( \cos 2x\,dx \).

Langkah 1: Misalkan \( u=\sin 2x \Rightarrow du=2\cos 2x\,dx \Rightarrow \cos 2x\,dx=\dfrac{1}{2}du \).

Langkah 2: Ubah integral.

\( \int \sin^2 2x \cos 2x\,dx=\int u^2\left(\dfrac{1}{2}du\right)=\dfrac{1}{2}\int u^2\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( \dfrac{1}{2}\int u^2\,du=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^3}{3}+C=\dfrac{u^3}{6}+C \)

Langkah 4: Kembalikan \( u \).

\( \dfrac{u^3}{6}+C=\dfrac{1}{6}\sin^3 2x+C \)

Jawaban: D yaitu \( \dfrac{1}{6}\sin^3 2x+C \).

Strategi: Akar \( \sqrt{6x-x^3} \) menunjukkan substitusi \( u=6x-x^3 \).

Langkah 1: Misalkan \( u=6x-x^3 \Rightarrow du=(6-3x^2)\,dx=-3(x^2-2)\,dx \).

Maka \( (x^2-2)\,dx=-\dfrac{1}{3}du \).

Langkah 2: Ubah integral.

\( \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}\,dx=\int \dfrac{-\dfrac{1}{3}du}{\sqrt{u}}=-\dfrac{1}{3}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( -\dfrac{1}{3}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{\tfrac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}}+C=-\dfrac{2}{3}\sqrt{u}+C \)

Langkah 4: Kembalikan \( u \).

\( -\dfrac{2}{3}\sqrt{u}+C=-\dfrac{2}{3}\sqrt{6x-x^3}+C \)

Jawaban: B yaitu \( -\dfrac{2}{3}\sqrt{6x-x^3}+C \).

Langkah 1 (tentukan kurva atas dan bawah): Selisih kedua fungsi:

\( (4x-x^2)-(x^2-6x)=10x-2x^2=2x(5-x) \)

Pada selang \( 0 \lt x \lt 4 \), berlaku \( 2x \gt 0 \) dan \( 5-x \gt 0 \), sehingga \( 2x(5-x) \gt 0 \). Artinya \( y=4x-x^2 \) berada di atas \( y=x^2-6x \) pada daerah yang diminta.

Langkah 2 (rumus luas daerah):

\( L=\int_{0}^{4}\Big((4x-x^2)-(x^2-6x)\Big)\,dx=\int_{0}^{4}(10x-2x^2)\,dx \)

Langkah 3 (hitung integral):

\( \int (10x-2x^2)\,dx=5x^2-\dfrac{2}{3}x^3 \)

Langkah 4 (substitusi batas):

\( L=\left(5(4)^2-\dfrac{2}{3}(4)^3\right)-\left(5(0)^2-\dfrac{2}{3}(0)^3\right) \)

\( =80-\dfrac{128}{3}=\dfrac{240}{3}-\dfrac{128}{3}=\dfrac{112}{3}=37\dfrac{1}{3} \)

Jawaban: B yaitu \( 37\dfrac{1}{3} \) satuan luas.