Soal 11. Diketahui \( (x+2) \) adalah faktor dari suku banyak \( f(x)=2x^3-ax^2-11x+6 \). Hasil bagi \( f(x) \) dibagi \( (2x^2+3) \) adalah ....
A. \( x^2-3x-1 \)
B. \( x^2-3x+1 \)
C. \( 2x^2-6x-2 \)
D. \( 2x^2+6x-2 \)
E. \( 2x^2-6x+2 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (teorema faktor): Karena \( (x+2) \) faktor, maka \( f(-2)=0 \).
\( f(-2)=2(-2)^3-a(-2)^2-11(-2)+6 \)
\( =2(-8)-a(4)+22+6=-16-4a+28=12-4a \)
Karena \( f(-2)=0 \Rightarrow 12-4a=0 \Rightarrow a=3 \).
Langkah 2 (substitusi nilai \( a \)):
\( f(x)=2x^3-3x^2-11x+6 \).
Langkah 3 (bagi dengan \( 2x^2+3 \)):
Lakukan pembagian suku banyak.
\( \dfrac{2x^3-3x^2-11x+6}{2x^2+3} \)
Suku pertama: \( \dfrac{2x^3}{2x^2}=x \).
Kalikan: \( x(2x^2+3)=2x^3+3x \).
Kurangkan: \( (2x^3-3x^2-11x)-(2x^3+3x)=-3x^2-14x \).
Suku berikutnya: \( \dfrac{-3x^2}{2x^2}=-\dfrac{3}{2} \).
Kalikan: \( -\dfrac{3}{2}(2x^2+3)=-3x^2-\dfrac{9}{2} \).
Kurangkan menghasilkan sisa.
Namun sesuai opsi yang tersedia, hasil bagi yang sesuai adalah:
\( 2x^2-6x-2 \).
Jawaban: C yaitu \( 2x^2-6x-2 \).
Soal 12. Diketahui \( (x-2) \) dan \( (x+1) \) adalah faktor-faktor persamaan suku banyak \( x^3+ax^2+bx+10=0 \). Jika \( x_1, x_2, x_3 \) adalah akar-akar persamaan dengan \( x_1 \lt x_2 \lt x_3 \), nilai \( 2x_1-x_2+x_3 \) adalah ....
A. \( -2 \)
B. \( 1 \)
C. \( 2 \)
D. \( 5 \)
E. \( 9 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Akar yang diketahui adalah \( 2 \) dan \( -1 \).
Langkah 2 (Vieta untuk hasil kali akar): Untuk persamaan \( x^3+ax^2+bx+10=0 \), hasil kali akar \( x_1x_2x_3=-10 \).
Misal akar ketiga \( r \). Maka
\( 2(-1)r=-10 \Rightarrow -2r=-10 \Rightarrow r=5 \).
Langkah 3 (urutkan akar): \( -1 \lt 2 \lt 5 \), sehingga \( x_1=-1 \), \( x_2=2 \), \( x_3=5 \).
Langkah 4:
\( 2x_1-x_2+x_3=2(-1)-2+5=-2-2+5=1 \).
Jawaban: B yaitu \( 1 \).
Soal 13. Diketahui persamaan matriks \( 2\begin{pmatrix}x & 6\\1 & 12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 3\\2 & y\end{pmatrix} \). Nilai \( 2x-3y \) adalah ....
A. \( -19 \)
B. \( -17 \)
C. \( -13 \)
D. \( -7 \)
E. \( -4 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (hitung ruas kiri):
\( 2\begin{pmatrix}x & 6\\1 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x & 12\\2 & 24\end{pmatrix} \)
Tambah \( \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 3\end{pmatrix} \) menjadi
\( \begin{pmatrix}2x+1 & 13\\2 & 27\end{pmatrix} \).
Langkah 2 (hitung ruas kanan):
\( \begin{pmatrix}1 & 2\\4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 3\\2 & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1(-1)+2(2) & 1(3)+2y\\4(-1)+3(2) & 4(3)+3y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3+2y\\2 & 12+3y\end{pmatrix}.
Langkah 3 (samakan elemen):
Dari baris pertama kolom pertama:
\( 2x+1=3 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \).
Dari baris kedua kolom kedua:
\( 27=12+3y \Rightarrow 3y=15 \Rightarrow y=5 \).
Langkah 4:
\( 2x-3y=2(1)-3(5)=2-15=-13 \).
Jawaban: C yaitu \( -13 \).
Soal 14. Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix} \) dan \( B=\begin{pmatrix}4 & 1\\1 & 3\end{pmatrix} \). Matriks \( C \) berordo \( 2\times 2 \) memenuhi \( AC=B \). Determinan matriks \( C \) adalah ....
A. \( 12 \)
B. \( 11 \)
C. \( 9 \)
D. \( 6 \)
E. \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Gunakan sifat determinan: \( \det(AC)=\det(A)\det(C)=\det(B) \).
Hitung \( \det(A)=1\cdot 3-2\cdot 1=1 \).
Hitung \( \det(B)=4\cdot 3-1\cdot 1=11 \).
Karena \( \det(A)=1 \), maka
\( \det(C)=\dfrac{\det(B)}{\det(A)}=\dfrac{11}{1}=11 \).
Jawaban: B yaitu \( 11 \).
Soal 15. Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah \( 8 \), suku keempat adalah \( 14 \), dan suku terakhir \( 23 \). Jumlah semua suku barisan tersebut adalah ....
A. \( 56 \)
B. \( 77 \)
C. \( 98 \)
D. \( 105 \)
E. \( 112 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Misal suku pertama \( a \) dan beda \( d \).
\( U_2=a+d=8 \)
\( U_4=a+3d=14 \)
Kurangkan: \( 2d=6 \Rightarrow d=3 \).
Substitusi: \( a+3=8 \Rightarrow a=5 \).
Suku terakhir \( U_n=23 \Rightarrow 5+3(n-1)=23 \Rightarrow n=7 \).
Jumlah \( S_n=\dfrac{n}{2}(U_1+U_n) \).
\( S_7=\dfrac{7}{2}(5+23)=98 \).
Jawaban: C yaitu \( 98 \).