Soal 26
Diketahui kubus \( ABCD.EFGH \) dengan panjang rusuk \( 8 \) cm. Jarak titik \( H \) dan garis \( AC \) adalah .... cm.
A. \( 8\sqrt{3} \)
B. \( 8\sqrt{2} \)
C. \( 4\sqrt{6} \)
D. \( 4\sqrt{3} \)
E. \( 4\sqrt{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (koordinat): Ambil sistem koordinat: \( A(0,0,0) \), \( B(8,0,0) \), \( C(8,8,0) \), \( D(0,8,0) \), \( H(0,8,8) \).
Langkah 2 (vektor): Arah garis \( AC \) adalah \( \vec{v}=\overrightarrow{AC}=(8,8,0) \). Vektor \( \overrightarrow{AH}=(0,8,8) \).
Langkah 3 (jarak titik ke garis): Jarak \( =\frac{\lVert \overrightarrow{AH}\times \vec{v}\rVert}{\lVert \vec{v}\rVert} \) dengan syarat \( \lVert \vec{v}\rVert \gt 0 \).
Langkah 4 (hitung): \( \overrightarrow{AH}\times \vec{v}=(0,8,8)\times(8,8,0)=(-64,64,-64) \) sehingga \( \lVert \overrightarrow{AH}\times \vec{v}\rVert=64\sqrt{3} \).
\( \lVert \vec{v}\rVert=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2} \).
Langkah 5 (jarak): \( \frac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}=8\sqrt{\frac{3}{2}}=4\sqrt{6} \).
Soal 27
Himpunan penyelesaian persamaan \( \cos 2x+7\sin x-4=0 \), \( 0 \le x \le 360 \) adalah ....
A. \( \{240,300\} \)
B. \( \{210,330\} \)
C. \( \{120,240\} \)
D. \( \{60,120\} \)
E. \( \{30,150\} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Gunakan identitas \( \cos 2x=1-2\sin^2 x \).
\( 1-2\sin^2 x+7\sin x-4=0 \Rightarrow -2\sin^2 x+7\sin x-3=0 \).
Langkah 2: Misal \( s=\sin x \), maka \( 2s^2-7s+3=0 \).
\( 2s^2-7s+3=(2s-1)(s-3)=0 \Rightarrow s=\frac{1}{2} \) atau \( s=3 \).
Langkah 3: Karena \( -1 \le \sin x \le 1 \), maka \( s=3 \) tidak mungkin. Jadi \( \sin x=\frac{1}{2} \).
Langkah 4: Pada interval \( 0 \le x \le 360 \), nilai \( \sin x=\frac{1}{2} \) terjadi pada \( x=30 \) dan \( x=150 \) (keduanya memenuhi \( 0 \lt x \lt 180 \)).
Kesimpulan: \( \{30,150\} \).
Soal 28
Nilai dari \( \frac{\cos 50^\circ+\cos 40^\circ}{\sin 50^\circ+\sin 40^\circ} \) adalah ....
A. \( 1 \)
B. \( \frac{1}{2}\sqrt{2} \)
C. \( 0 \)
D. \( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \)
E. \( -1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Gunakan identitas kofungsi \( \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta \).
\( \sin 50^\circ=\cos 40^\circ \) dan \( \sin 40^\circ=\cos 50^\circ \).
Langkah 2: Substitusi ke pecahan.
Pembilang \( =\cos 50^\circ+\cos 40^\circ \) dan penyebut \( =\sin 50^\circ+\sin 40^\circ=\cos 40^\circ+\cos 50^\circ \).
Kesimpulan: Nilainya \( 1 \) (selama penyebut \( \ne 0 \), dan jelas jumlah dua kosinus ini \( \gt 0 \)).
Soal 29
Jika \( \tan\alpha=1 \) dan \( \tan\beta=\frac{1}{3} \) dengan \( \alpha \) dan \( \beta \) sudut lancip, maka \( \sin(\alpha+\beta) \) = ....
A. \( \frac{2}{3}\sqrt{5} \)
B. \( \frac{1}{3}\sqrt{5} \)
C. \( \frac{1}{2} \)
D. \( \frac{2}{5} \)
E. \( \frac{1}{5} \)
Jawaban & Analisis
Hasil perhitungan: \( \frac{2}{5}\sqrt{5} \)
Langkah 1: Dari \( \tan\alpha=1 \) dan \( \alpha \) lancip, maka \( \alpha=45^\circ \), sehingga \( \sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} \) dan \( \cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Langkah 2: Dari \( \tan\beta=\frac{1}{3} \) (lancip), ambil segitiga siku-siku dengan sisi depan \( 1 \), sisi samping \( 3 \), sehingga sisi miring \( \sqrt{10} \).
Maka \( \sin\beta=\frac{1}{\sqrt{10}} \) dan \( \cos\beta=\frac{3}{\sqrt{10}} \).
Langkah 3: Gunakan rumus jumlah sudut.
\( \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \).
Langkah 4: Substitusi nilai-nilai sinus dan kosinus.
\( \sin(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \).
Langkah 5: Sederhanakan.
\( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{5} \).
Catatan: Hasilnya \( \frac{2}{5}\sqrt{5} \) dan nilai ini \( \gt 0 \) karena \( \alpha \) dan \( \beta \) lancip. Namun bentuk ini tidak tercantum persis pada opsi A–E, sehingga kemungkinan ada salah ketik pada pilihan jawaban di soal sumber.
Soal 30
Diketahui segitiga \( MAB \) dengan \( AB=300 \) cm, sudut \( MAB=60^\circ \) dan sudut \( ABM=75^\circ \). Maka \( AM \) = .... cm.
A. \( 150(1+\sqrt{3}) \)
B. \( 150(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \)
C. \( 150(3+\sqrt{3}) \)
D. \( 150(\sqrt{2}+\sqrt{6}) \)
E. \( 150(\sqrt{3}+\sqrt{6}) \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Hitung sudut \( M \).
\( \angle AMB=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ \) dan \( 0 \lt 45^\circ \lt 180^\circ \).
Langkah 2: Gunakan aturan sinus.
\( \frac{AM}{\sin 75^\circ}=\frac{AB}{\sin 45^\circ} \Rightarrow AM=300\cdot\frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \).
Langkah 3: Hitung \( \sin 75^\circ \).
\( \sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ \).
\( =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2} \).
Langkah 4: Bagi dengan \( \sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( \frac{\sin75^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \).
Langkah 5: Nilai \( AM \).
\( AM=300\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}=150(1+\sqrt{3}) \).