Soal 21
Diketahui vektor \( \vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} \), \( \vec{b}=-t\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k} \), dan \( \vec{c}=3t\vec{i}+t\vec{j}+\vec{k} \). Jika vektor \( (\vec{a}+\vec{b}) \) tegak lurus \( \vec{c} \), maka nilai \( 2t \) adalah ....
A. \( -2 \) atau \( \frac{4}{3} \)
B. \( 2 \) atau \( \frac{4}{3} \)
C. \( 2 \) atau \( -\frac{4}{3} \)
D. \( 2 \) atau \( 2 \)
E. \( -3 \) atau \( 2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Hitung \( \vec{a}+\vec{b} \).
\( \vec{a}+\vec{b}=(2-t)\vec{i}+(-1+2)\vec{j}+(3-5)\vec{k}=(2-t)\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k} \).
Langkah 2: Karena tegak lurus, hasil kali titik \( (\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=0 \).
\( \vec{c}=3t\vec{i}+t\vec{j}+\vec{k} \).
Langkah 3: Hitung dot product.
\( (\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=(2-t)(3t)+(1)(t)+(-2)(1) \).
\( =(6t-3t^2)+t-2=-3t^2+7t-2 \).
Langkah 4: Syarat tegak lurus memberi persamaan kuadrat.
\( -3t^2+7t-2=0 \Rightarrow 3t^2-7t+2=0 \).
Langkah 5: Faktorkan / gunakan rumus kuadrat.
\( 3t^2-7t+2=(3t-1)(t-2)=0 \).
Maka \( t=\frac{1}{3} \) atau \( t=2 \).
Langkah 6: Ditanya \( 2t \).
Jika \( t=\frac{1}{3} \), maka \( 2t=\frac{2}{3} \).
Jika \( t=2 \), maka \( 2t=4 \).
Kesimpulan: Nilai \( 2t \) adalah \( \frac{2}{3} \) atau \( 4 \).
Catatan: Opsi pada gambar tidak memuat \( \frac{2}{3} \) atau \( 4 \). Jadi kemungkinan ada salah salin pada pilihan jawaban di gambar. Hasil perhitungan yang konsisten tetap \( 2t=\frac{2}{3} \) atau \( 4 \) (dengan \( t \gt -\infty \)).
Soal 22
Diketahui vektor \( \vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ 4\end{pmatrix} \) dan \( \vec{b}=\begin{pmatrix}x\\ 0\\ 3\end{pmatrix} \). Jika panjang proyeksi vektor \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) adalah \( \frac{4}{5} \), maka salah satu nilai \( x \) adalah ....
A. \( 6 \)
B. \( 4 \)
C. \( 2 \)
D. \( -4 \)
E. \( -6 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Panjang proyeksi \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) adalah
\( \left|\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}\right|=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} \).
Langkah 2: Hitung \( \vec{a}\cdot \vec{b} \) dan \( |\vec{b}| \).
\( \vec{a}\cdot \vec{b}=(-2)x+3\cdot 0+4\cdot 3=-2x+12 \).
\( |\vec{b}|=\sqrt{x^2+0^2+3^2}=\sqrt{x^2+9} \).
Langkah 3: Susun persamaan sesuai data.
\( \frac{| -2x+12 |}{\sqrt{x^2+9}}=\frac{4}{5} \).
Langkah 4: Kuadratkan kedua sisi (karena kedua ruas \( \ge 0 \)).
\( \frac{(-2x+12)^2}{x^2+9}=\frac{16}{25} \).
Langkah 5: Selesaikan.
\( 25(4x^2-48x+144)=16(x^2+9) \).
\( 100x^2-1200x+3600=16x^2+144 \).
\( 84x^2-1200x+3456=0 \Rightarrow 7x^2-100x+288=0 \).
Langkah 6: Faktorkan.
\( 7x^2-100x+288=(7x-72)(x-4)=0 \).
Maka \( x=\frac{72}{7} \) atau \( x=4 \).
Kesimpulan: Salah satu nilai \( x \) adalah \( 4 \) sehingga jawaban yang benar adalah opsi B.
Catatan: Jika hanya boleh memilih dari opsi yang tersedia, maka yang cocok adalah \( 4 \). Pilihan D (\( -4 \)) tidak memenuhi persamaan karena akan menghasilkan nilai proyeksi yang berbeda.
Soal 23
Persamaan bayangan parabola \( y=x^2+4 \) karena rotasi dengan pusat \( O(0,0) \) sejauh \( 180^\circ \) adalah ....
A. \( x=y^2+4 \)
B. \( x=-y^2+4 \)
C. \( x=-y^2-4 \)
D. \( y=-x^2-4 \)
E. \( y=x^2+4 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Rotasi \( 180^\circ \) terhadap titik asal memetakan \( (x,y)\mapsto (-x,-y) \).
Langkah 2: Misalkan titik bayangan adalah \( (X,Y) \) dengan \( X=-x \) dan \( Y=-y \), sehingga \( x=-X \) dan \( y=-Y \).
Langkah 3: Substitusi ke persamaan asal \( y=x^2+4 \).
\( -Y=(-X)^2+4=X^2+4 \Rightarrow Y=-X^2-4 \).
Kesimpulan: Persamaan bayangannya \( y=-x^2-4 \), yaitu opsi D.
Soal 24
Persamaan bayangan garis \( 4y+3x-2=0 \) oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \( \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \) dilanjutkan matriks \( \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \) adalah ....
A. \( 8x+7y-4=0 \)
B. \( x-2y-2=0 \)
C. \( x-2y-2=0 \)
D. \( x+2y-2=0 \)
E. \( 5x+2y-2=0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Jika transformasi pertama \( A \) lalu kedua \( B \), maka transformasi total \( T=BA \).
\( A=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \).
Langkah 2: Hitung \( T=BA \).
\( T=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & -2\end{pmatrix}. \)
Langkah 3: Artinya \( \begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=T\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \), sehingga
\( X=x \) dan \( Y=-x-2y \).
Langkah 4: Cari hubungan \( x,y \) terhadap \( X,Y \).
Dari \( X=x \Rightarrow x=X \).
Dari \( Y=-x-2y \Rightarrow Y=-X-2y \Rightarrow 2y=-X-Y \Rightarrow y=-\frac{X+Y}{2} \).
Langkah 5: Substitusi ke persamaan garis asal \( 3x+4y-2=0 \).
\( 3(X)+4\left(-\frac{X+Y}{2}\right)-2=0 \).
\( 3X-2(X+Y)-2=0 \Rightarrow 3X-2X-2Y-2=0 \Rightarrow X-2Y-2=0 \).
Kesimpulan: Persamaan bayangannya \( x-2y-2=0 \), sehingga jawabannya opsi B (atau C karena sama).
Catatan: Hasil perhitungan menghasilkan opsi B/C, bukan E. Jika soal menyatakan urutan matriks terbalik, hasil bisa berubah. Namun dengan frasa “dilanjutkan” berarti dikalikan \( B \) setelah \( A \).
Soal 25
Diketahui kubus \( ABCD.EFGH \) dengan panjang rusuk \( 6 \) cm. Jika sudut antara diagonal \( AG \) dengan bidang alas adalah \( \alpha \), maka \( \sin \alpha \) adalah ....
A. \( \frac{1}{2}\sqrt{3} \)
B. \( \frac{1}{2}\sqrt{2} \)
C. \( \frac{1}{3}\sqrt{3} \)
D. \( \frac{1}{2} \)
E. \( \frac{1}{3}\sqrt{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Sudut antara garis \( AG \) dan bidang alas sama dengan sudut antara \( AG \) dan proyeksinya pada bidang alas.
Proyeksi diagonal ruang \( AG \) pada bidang alas \( ABCD \) adalah diagonal bidang \( AC \).
Langkah 2: Gunakan segitiga siku-siku \( \triangle ACG \) dengan siku-siku di \( C \) (karena \( CG \) tegak lurus bidang alas).
Panjang \( CG=6 \).
Panjang \( AC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2} \).
Panjang \( AG=\sqrt{6^2+6^2+6^2}=6\sqrt{3} \).
Langkah 3: Sudut \( \alpha \) adalah sudut antara \( AG \) dan \( AC \), sehingga
\( \sin \alpha=\frac{\text{tinggi terhadap bidang}}{\text{panjang garis}}=\frac{CG}{AG} \).
\( \sin \alpha=\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \).
Kesimpulan: \( \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3} \), yaitu opsi C.
Catatan: Hasil yang benar adalah \( \frac{\sqrt{3}}{3} \). Jika opsi pada gambar berbeda urutan/pengetikan, pilih yang ekivalen dengan \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).