Soal 11
Diketahui \( {}^{2}\log 7=a \) dan \( {}^{2}\log 3=b \), maka nilai dari \( {}^{6}\log 14 \) adalah ....
A. \( \frac{a}{a+b} \)
B. \( \frac{a+1}{a+b} \)
C. \( \frac{a+1}{b+1} \)
D. \( \frac{a}{a(1+b)} \)
E. \( \frac{a+1}{a(1+b)} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (ubah basis ke \( 2 \)): \( {}^{6}\log 14=\frac{{}^{2}\log 14}{{}^{2}\log 6} \).
Langkah 2 (uraikan \( 14 \) dan \( 6 \)):
\( {}^{2}\log 14={}^{2}\log(2\cdot 7)={}^{2}\log 2+{}^{2}\log 7=1+a \).
\( {}^{2}\log 6={}^{2}\log(2\cdot 3)={}^{2}\log 2+{}^{2}\log 3=1+b \).
Langkah 3 (susun hasil): \( {}^{6}\log 14=\frac{a+1}{b+1} \).
Catatan: penyebut \( b+1 \gt 0 \) karena \( {}^{2}\log 3=b \) dan \( 3 \gt 1 \).
Soal 12
Invers fungsi \( f(x)=\frac{3x-2}{5x+8} \), \( x\ne -\frac{8}{5} \) adalah \( f^{-1}(x)= \) ....
A. \( \frac{-8x+2}{5x-3} \)
B. \( \frac{8x-2}{5x+3} \)
C. \( \frac{8x-2}{3+5x} \)
D. \( \frac{8x+2}{3-5x} \)
E. \( \frac{-8x+2}{3x-5} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Misalkan \( y=\frac{3x-2}{5x+8} \).
Langkah 2: Kalikan silang.
\( y(5x+8)=3x-2 \Rightarrow 5yx+8y=3x-2 \).
Langkah 3: Kumpulkan suku yang memuat \( x \).
\( 5yx-3x=-2-8y \Rightarrow x(5y-3)=-(2+8y) \).
Langkah 4: Dapatkan \( x \) sebagai fungsi \( y \).
\( x=\frac{-8y-2}{5y-3}=\frac{8y+2}{3-5y} \).
Langkah 5: Tukar kembali \( y \) menjadi \( x \).
\( f^{-1}(x)=\frac{8x+2}{3-5x} \).
Domain invers: \( 3-5x\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac{3}{5} \).
Soal 13
Bila \( x_1 \) dan \( x_2 \) penyelesaian dari persamaan \( 2^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32=0 \) dengan \( x_1 \gt x_2 \), maka nilai dari \( 2x_1+x_2 \) = ....
A. \( \frac{1}{4} \)
B. \( \frac{1}{2} \)
C. \( 4 \)
D. \( 8 \)
E. \( 16 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (substitusi): Misalkan \( t=2^x \) sehingga \( t \gt 0 \).
Maka \( 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \) dan \( 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \).
Langkah 2 (jadi persamaan kuadrat):
\( t^2-6(2t)+32=0 \Rightarrow t^2-12t+32=0 \).
Langkah 3 (faktorkan):
\( (t-8)(t-4)=0 \Rightarrow t=8 \) atau \( t=4 \).
Langkah 4 (kembali ke \( x \)):
Jika \( 2^x=8 \Rightarrow x=3 \). Jika \( 2^x=4 \Rightarrow x=2 \).
Karena \( x_1 \gt x_2 \), maka \( x_1=3 \) dan \( x_2=2 \).
Langkah 5: \( 2x_1+x_2=2(3)+2=8 \).
Soal 14
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen \( 9^{2x-4}\ge \left(\frac{1}{27}\right)^{x^2-4} \) adalah ....
A. \( \{x\mid -2\le x\le \frac{10}{3}\} \)
B. \( \{x\mid -\frac{10}{3}\le x\le 2\} \)
C. \( \{x\mid x\le -\frac{10}{3}\ \text{atau}\ x\ge 2\} \)
D. \( \{x\mid x\le -2\ \text{atau}\ x\ge \frac{10}{3}\} \)
E. \( \{x\mid \frac{10}{3}\le x\le -2\} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (samakan basis): \( 9=3^2 \) dan \( \frac{1}{27}=3^{-3} \).
\( 9^{2x-4}=(3^2)^{2x-4}=3^{4x-8} \).
\( \left(\frac{1}{27}\right)^{x^2-4}=(3^{-3})^{x^2-4}=3^{-3x^2+12} \).
Langkah 2 (bandingkan pangkat): karena \( 3 \gt 1 \), maka
\( 3^{4x-8}\ge 3^{-3x^2+12} \iff 4x-8\ge -3x^2+12 \).
Langkah 3 (bentuk kuadrat):
\( 3x^2+4x-20\ge 0 \).
Langkah 4 (akar-akar):
Diskriminan \( \Delta=4^2-4(3)(-20)=16+240=256 \), sehingga \( \sqrt{\Delta}=16 \).
\( x=\frac{-4\pm 16}{6} \Rightarrow x=-\frac{10}{3} \) atau \( x=2 \).
Langkah 5 (tanda parabola): karena koefisien \( 3 \gt 0 \), maka \( 3x^2+4x-20\ge 0 \) untuk
\( x\le -\frac{10}{3} \) atau \( x\ge 2 \).
Soal 15
Akar-akar persamaan \( ({}^{2}\log x)^2-6\cdot {}^{2}\log x+8={}^2\log 1 \) adalah \( x_1 \) dan \( x_2 \). Nilai \( x_1+x_2 \) = ....
A. \( 6 \)
B. \( 8 \)
C. \( 10 \)
D. \( 12 \)
E. \( 20 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Ketahui \( {}^{2}\log 1=0 \) karena \( 1 \) adalah netral perkalian dan \( 2 \gt 1 \).
Langkah 2: Substitusi \( u={}^2\log x \).
Persamaan menjadi \( u^2-6u+8=0 \).
Langkah 3: Faktorkan.
\( (u-2)(u-4)=0 \Rightarrow u=2 \) atau \( u=4 \).
Langkah 4: Kembalikan ke \( x \).
Jika \( {}^2\log x=2 \Rightarrow x=2^2=4 \).
Jika \( {}^2\log x=4 \Rightarrow x=2^4=16 \).
Kesimpulan: \( x_1+x_2=4+16=20 \).