Soal 6
Diketahui matriks \( P=\begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix} \) dan \( Q=\begin{pmatrix}5 & 4\\ 1 & 1\end{pmatrix} \). Jika \( P^{-1} \) adalah invers matriks \( P \) dan \( Q^{-1} \) adalah invers matriks \( Q \), maka determinan matriks \( P^{-1}\cdot Q^{-1} \) adalah ....
A. \( 223 \)
B. \( 1 \)
C. \( -1 \)
D. \( -10 \)
E. \( -223 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (sifat determinan): \( \det(AB)=\det(A)\det(B) \) dan \( \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)} \) untuk \( \det(A)\ne 0 \).
Langkah 2: Hitung \( \det(P) \).
\( \det(P)=2\cdot 3-5\cdot 1=6-5=1 \) sehingga \( \det(P) \gt 0 \) dan invers ada.
Langkah 3: Hitung \( \det(Q) \).
\( \det(Q)=5\cdot 1-4\cdot 1=5-4=1 \) sehingga \( \det(Q) \gt 0 \) dan invers ada.
Langkah 4: Hitung determinan yang diminta.
\( \det(P^{-1}\cdot Q^{-1})=\det(P^{-1})\det(Q^{-1})=\frac{1}{\det(P)}\cdot\frac{1}{\det(Q)}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}=1 \).
Kesimpulan: determinan \( P^{-1}\cdot Q^{-1} \) adalah \( 1 \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi B.
Catatan: Hasil perhitungan menunjukkan \( 1 \). Jika kunci versi lain berbeda, yang perlu dicek adalah apakah yang diminta \( \det(P^{-1}\cdot Q^{-1}) \) atau \( \det(P^{-1})-\det(Q^{-1}) \). Di soal ini jelas berupa perkalian.
Soal 7
Diketahui suku ke-\( 3 \) dan suku ke-\( 6 \) suatu deret aritmetika berturut-turut adalah \( 8 \) dan \( 17 \). Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ....
A. \( 100 \)
B. \( 110 \)
C. \( 140 \)
D. \( 160 \)
E. \( 180 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) deret aritmetika \( U_n=a+(n-1)d \).
Diketahui \( U_3=a+2d=8 \) dan \( U_6=a+5d=17 \).
Langkah 2: Eliminasi untuk mencari \( d \).
\( (a+5d)-(a+2d)=17-8 \Rightarrow 3d=9 \Rightarrow d=3 \).
Langkah 3: Cari \( a \).
\( a+2(3)=8 \Rightarrow a+6=8 \Rightarrow a=2 \).
Langkah 4: Jumlah \( 8 \) suku pertama: \( S_8=\frac{8}{2}\bigl(2a+(8-1)d\bigr) \).
\( S_8=4\bigl(2(2)+7(3)\bigr)=4(4+21)=4\cdot 25=100 \).
Kesimpulan: \( S_8=100 \) sehingga jawaban yang benar adalah opsi A.
Soal 8
Seutas tali dipotong menjadi \( 52 \) bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah \( 3 \) cm dan yang terpanjang adalah \( 105 \) cm, maka panjang tali semula adalah .... cm.
A. \( 5.460 \)
B. \( 2.808 \)
C. \( 2.730 \)
D. \( 1.352 \)
E. \( 808 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Karena membentuk deret aritmetika, jumlah \( n \) suku dapat dihitung dengan:
\( S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n) \).
Langkah 2: Diketahui \( n=52 \), \( U_1=3 \), dan \( U_{52}=105 \).
Langkah 3: Hitung total panjang tali.
\( S_{52}=\frac{52}{2}(3+105)=26\cdot 108=2808 \).
Kesimpulan: panjang tali semula \( 2808 \) cm, sehingga jawaban yang benar adalah opsi B.
Soal 9
Diketahui deret geometri dengan suku pertama \( 6 \) dan suku keempat adalah \( 48 \). Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ....
A. \( 368 \)
B. \( 369 \)
C. \( 378 \)
D. \( 379 \)
E. \( 384 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) geometri: \( U_n=ar^{n-1} \).
Diketahui \( a=6 \) dan \( U_4=48 \), maka \( 48=6r^3 \Rightarrow r^3=8 \Rightarrow r=2 \) dengan \( r \gt 0 \).
Langkah 2: Jumlah \( 6 \) suku pertama:
\( S_6=a\frac{r^6-1}{r-1} \) untuk \( r\ne 1 \).
Langkah 3: Substitusi \( a=6 \) dan \( r=2 \).
\( S_6=6\cdot\frac{2^6-1}{2-1}=6(64-1)=6\cdot 63=378 \).
Kesimpulan: \( S_6=378 \) sehingga jawaban yang benar adalah opsi C.
Soal 10
Bentuk \( 3\sqrt{24}+2\sqrt{3}(\sqrt{32}-2\sqrt{18}) \) dapat disederhanakan menjadi ....
A. \( \sqrt{6} \)
B. \( 2\sqrt{6} \)
C. \( 4\sqrt{6} \)
D. \( 6\sqrt{6} \)
E. \( 9\sqrt{6} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Sederhanakan tiap akar.
\( \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6} \Rightarrow 3\sqrt{24}=3\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{6} \).
\( \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2} \).
\( \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2} \Rightarrow 2\sqrt{18}=6\sqrt{2} \).
Langkah 2: Kerjakan bagian dalam kurung.
\( \sqrt{32}-2\sqrt{18}=4\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-2\sqrt{2} \).
Langkah 3: Kalikan dengan \( 2\sqrt{3} \).
\( 2\sqrt{3}(-2\sqrt{2})=-4\sqrt{6} \).
Langkah 4: Jumlahkan dengan \( 6\sqrt{6} \).
\( 6\sqrt{6}+(-4\sqrt{6})=2\sqrt{6} \).
Kesimpulan: hasil penyederhanaan adalah \( 2\sqrt{6} \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi B.
Catatan: Hasil hitung menunjukkan \( 2\sqrt{6} \), bukan \( 9\sqrt{6} \). Jadi kunci yang konsisten dengan perhitungan adalah opsi B.