Soal 16
Ani dan Ina membeli bahan kue pada toko yang sama. Ani membeli \( 3 \) kg gula pasir dan \( 2 \) kg terigu seharga Rp\( 52.000,00 \). Ina membeli \( 2 \) kg gula pasir dan \( 3 \) kg terigu seharga Rp\( 48.000,00 \). Harga \( 3 \) kg terigu adalah ....
A. Rp\( 18.000,00 \)
B. Rp\( 24.000,00 \)
C. Rp\( 28.000,00 \)
D. Rp\( 36.000,00 \)
E. Rp\( 38.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Misalkan harga gula per kg \( =x \) dan harga terigu per kg \( =y \).
Dari informasi soal diperoleh sistem:
\( 3x+2y=52000 \) dan \( 2x+3y=48000 \).
Langkah 2: Eliminasi \( x \).
Kalikan persamaan pertama dengan \( 2 \): \( 6x+4y=104000 \).
Kalikan persamaan kedua dengan \( 3 \): \( 6x+9y=144000 \).
Kurangkan: \( (6x+9y)-(6x+4y)=144000-104000 \Rightarrow 5y=40000 \Rightarrow y=8000 \).
Langkah 3: Yang ditanya harga \( 3 \) kg terigu yaitu \( 3y \).
\( 3y=3\cdot 8000=24000 \Rightarrow \) Rp\( 24.000,00 \).
Soal 17
Nilai maksimum dari fungsi objektif \( f(x,y)=3x+2y \) pada daerah yang diarsir adalah ....
A. \( 15 \)
B. \( 13 \)
C. \( 12,5 \)
D. \( 12 \)
E. \( 10,5 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Dari gambar, daerah arsiran berada di kuadran I sehingga \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \).
Garis miring yang melalui \( (0,5) \) dan \( (5,0) \) adalah \( x+y=5 \).
Garis miring yang melalui \( (0,7) \) dan \( (3,5,0) \) adalah \( 2x+y=7 \) karena \( 2(3,5)+0=7 \).
Daerah arsiran berada di bawah kedua garis, jadi kendalanya \( x+y \le 5 \) dan \( 2x+y \le 7 \), dengan \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \).
Langkah 2: Nilai maksimum fungsi linear terjadi di titik pojok (titik sudut) daerah feasible.
Titik pojok 1: \( (0,0) \) memberi \( f=3(0)+2(0)=0 \).
Titik pojok 2: Pada sumbu \( y \), batas paling rendah adalah \( y=5 \) (karena \( y \le 5 \) dan \( y \le 7 \)), sehingga titik \( (0,5) \) memberi \( f=3(0)+2(5)=10 \).
Titik pojok 3: Titik potong dua garis:
\( x+y=5 \) dan \( 2x+y=7 \Rightarrow (2x+y)-(x+y)=7-5 \Rightarrow x=2 \).
Substitusi ke \( x+y=5 \Rightarrow 2+y=5 \Rightarrow y=3 \). Jadi titik \( (2,3) \).
Nilainya \( f(2,3)=3(2)+2(3)=6+6=12 \).
Titik pojok 4: Pada sumbu \( x \), batas paling ketat adalah \( x \le 3,5 \) (karena \( 2x+y \le 7 \) saat \( y=0 \) memberi \( x \le 3,5 \)), sehingga titik \( (3,5,0) \) memberi \( f=3(3,5)+2(0)=10,5 \).
Kesimpulan: nilai terbesar adalah \( 12 \) di titik \( (2,3) \), jadi jawabannya opsi D.
Soal 18
Seorang pedagang akan berjualan kaos katun dan kaos nylon. Modal yang tersedia hanya Rp\( 6.000.000,00 \). Harga beli kaos katun Rp\( 20.000,00 \) per potong dan kaos nylon Rp\( 40.000,00 \) per potong. Toko tersebut hanya mampu menampung tidak lebih dari \( 200 \) potong kaos. Keuntungan untuk setiap penjualan \( 1 \) potong kaos katun dan \( 1 \) potong kaos nylon berturut-turut adalah Rp\( 3.000,00 \) dan Rp\( 4.000,00 \). Keuntungan akan maksimal jika kaos katun terjual sebanyak ....
A. \( 50 \)
B. \( 100 \)
C. \( 125 \)
D. \( 150 \)
E. \( 200 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Misalkan banyak kaos katun \( =x \) dan banyak kaos nylon \( =y \), dengan \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \).
Kendala modal:
\( 20000x+40000y \le 6000000 \Rightarrow 20x+40y \le 6000 \Rightarrow x+2y \le 300 \).
Kendala kapasitas:
\( x+y \le 200 \).
Fungsi keuntungan:
\( K=3000x+4000y \).
Langkah 2: Cari titik pojok daerah feasible.
Potong sumbu \( y \) dari \( x+2y=300 \) adalah \( (0,150) \) dan dari \( x+y=200 \) adalah \( (0,200) \), jadi yang memenuhi keduanya adalah \( (0,150) \).
Potong sumbu \( x \) dari \( x+2y=300 \) adalah \( (300,0) \) dan dari \( x+y=200 \) adalah \( (200,0) \), jadi yang memenuhi keduanya adalah \( (200,0) \).
Titik potong dua garis:
\( x+2y=300 \) dan \( x+y=200 \Rightarrow (x+2y)-(x+y)=300-200 \Rightarrow y=100 \).
Substitusi ke \( x+y=200 \Rightarrow x=100 \). Titik \( (100,100) \).
Langkah 3: Hitung keuntungan pada titik-titik pojok.
Pada \( (0,150) \): \( K=3000(0)+4000(150)=600000 \).
Pada \( (200,0) \): \( K=3000(200)+4000(0)=600000 \).
Pada \( (100,100) \): \( K=3000(100)+4000(100)=700000 \).
Kesimpulan: keuntungan maksimum terjadi saat \( x=100 \) kaos katun, sehingga jawabannya opsi B.
Soal 19
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}x & 1\\ -1 & y\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 0\end{pmatrix} \), dan \( C=\begin{pmatrix}0 & -4\\ 1 & -3\end{pmatrix} \). Jika \( C^T \) adalah transpose matriks \( C \), maka nilai \( x-2y \) yang memenuhi persamaan matriks \( 3A-B=C^T \) adalah ....
A. \( -2 \)
B. \( -1 \)
C. \( 0 \)
D. \( 2 \)
E. \( 3 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Hitung transpose \( C \).
\( C=\begin{pmatrix}0 & -4\\ 1 & -3\end{pmatrix} \Rightarrow C^T=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -4 & -3\end{pmatrix} \).
Langkah 2: Hitung \( 3A-B \).
\( 3A=\begin{pmatrix}3x & 3\\ -3 & 3y\end{pmatrix} \).
\( 3A-B=\begin{pmatrix}3x-3 & 3-2\\ -3-1 & 3y-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3 & 1\\ -4 & 3y\end{pmatrix} \).
Langkah 3: Samakan elemen dengan \( C^T \).
\( \begin{pmatrix}3x-3 & 1\\ -4 & 3y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -4 & -3\end{pmatrix} \Rightarrow 3x-3=0 \) dan \( 3y=-3 \).
Diperoleh \( x=1 \) dan \( y=-1 \).
Langkah 4: Hitung \( x-2y \).
\( x-2y=1-2(-1)=1+2=3 \).
Soal 20
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix} \) dan matriks \( B=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 0 & 5\end{pmatrix} \). Determinan matriks \( A\times B \) adalah ....
A. \( -10 \)
B. \( -5 \)
C. \( -2 \)
D. \( 2 \)
E. \( 10 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (sifat determinan): Untuk matriks bujur sangkar, berlaku \( \det(AB)=\det(A)\det(B) \).
Langkah 2: Hitung \( \det(A) \).
\( \det(A)=2\cdot 3-1\cdot 4=6-4=2 \).
Langkah 3: Hitung \( \det(B) \).
\( \det(B)=(-1)\cdot 5-2\cdot 0=-5-0=-5 \).
Langkah 4: Kalikan.
\( \det(A\times B)=\det(A)\det(B)=2\cdot(-5)=-10 \).
Kesimpulan: determinan \( A\times B \) adalah \( -10 \), sesuai opsi A.