Soal 6
Jika \( {}^{8}\log 5=p \), maka \( {}^{16}\log 10 \) = ....
A. \( 3p \)
B. \( p^3 \)
C. \( 4(3p+1) \)
D. \( \frac{3p+1}{4} \)
E. \( \frac{p+3}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Dari \( {}^{8}\log 5=p \) berarti \( \log_8 5=p \) sehingga \( 8^p=5 \).
Langkah 2: Ubah ke basis \( 2 \). Karena \( 8=2^3 \), maka \( \log_8 5=\frac{\log_2 5}{\log_2 8}=\frac{\log_2 5}{3}=p \Rightarrow \log_2 5=3p \).
Langkah 3: Hitung \( \log_{16} 10 \). Karena \( 16=2^4 \) dan \( 10=2\cdot 5 \), maka:
\( \log_{16} 10=\frac{\log_2 10}{\log_2 16}=\frac{\log_2(2\cdot 5)}{4}=\frac{\log_2 2+\log_2 5}{4}=\frac{1+3p}{4} \).
Catatan syarat log: basis \( 8 \gt 0 \), \( 8 \ne 1 \), dan argumen \( 5 \gt 0 \) sehingga definisi log valid.
Soal 7
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik \( (1,-7) \) dan grafiknya melalui titik \( (0,-6) \) adalah ....
A. \( y=x^2-2x-6 \)
B. \( y=x^2+2x-6 \)
C. \( y=x^2+x-6 \)
D. \( y=x^2-x+6 \)
E. \( y=x^2+x+6 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (bentuk puncak): Jika titik balik \( (h,k)=(1,-7) \), maka bentuknya \( y=a(x-1)^2-7 \).
Langkah 2 (substitusi titik): Grafik melalui \( (0,-6) \), sehingga:
\( -6=a(0-1)^2-7 \Rightarrow -6=a-7 \Rightarrow a=1 \).
Langkah 3 (kembangkan):
\( y=(x-1)^2-7=x^2-2x+1-7=x^2-2x-6 \).
Soal 8
Grafik fungsi kuadrat \( y=-x^2+8x-15 \) adalah ....
A. 
.
B. 
.
C.
.
D.
.
E. 
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (arah parabola): Koefisien \( x^2 \) adalah \( -1 \), sehingga parabola membuka ke bawah.
Langkah 2 (titik puncak): Untuk \( y=ax^2+bx+c \), absis puncak \( x_p=\frac{-b}{2a} \).
Di sini \( a=-1 \) dan \( b=8 \), maka \( x_p=\frac{-8}{2(-1)}=4 \).
Ordinat puncak \( y_p=f(4)=-(4)^2+8(4)-15=-16+32-15=1 \), jadi puncak \( (4,1) \).
Langkah 3 (titik potong sumbu \( X \)):
\( -x^2+8x-15=0 \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow (x-3)(x-5)=0 \).
Maka \( x=3 \) atau \( x=5 \). Jadi untuk \( 3 \lt x \lt 5 \), nilai fungsi \( \gt 0 \) karena puncaknya \( (4,1) \) berada di atas sumbu \( X \).
Kesimpulan: Ciri-ciri ini tepat dengan deskripsi pada opsi A.
Soal 9
Diketahui fungsi \( f(x)=5x-2 \) dan \( g(x)=\frac{2x+3}{3x-5} \) untuk \( x\ne\frac{5}{3} \). Nilai fungsi komposisi \( (f\circ g)(2) \) adalah ....
A. \( 7 \)
B. \( 9 \)
C. \( 15 \)
D. \( 33 \)
E. \( 35 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Hitung \( g(2) \).
\( g(2)=\frac{2(2)+3}{3(2)-5}=\frac{4+3}{6-5}=\frac{7}{1}=7 \).
Langkah 2: Hitung \( f(g(2))=f(7) \).
\( f(7)=5(7)-2=35-2=33 \).
Kesimpulan: \( (f\circ g)(2)=33 \).
Soal 10
Jika \( f(x)=\frac{x+1}{2x-4} \) untuk \( x\ne 2 \), maka invers fungsi \( f(x) \) adalah ....
A. \( f^{-1}(x)=\frac{4x+1}{2x-1} \) untuk \( x\ne\frac{1}{2} \)
B. \( f^{-1}(x)=\frac{4x-1}{2x+1} \) untuk \( x\ne-\frac{1}{2} \)
C. \( f^{-1}(x)=\frac{4x+1}{2x+1} \) untuk \( x\ne-\frac{1}{2} \)
D. \( f^{-1}(x)=\frac{-4x+1}{2x-1} \) untuk \( x\ne\frac{1}{2} \)
E. \( f^{-1}(x)=\frac{4x-1}{2x-1} \) untuk \( x\ne\frac{1}{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Misalkan \( y=\frac{x+1}{2x-4} \).
Langkah 2: Kalikan silang:
\( y(2x-4)=x+1 \Rightarrow 2xy-4y=x+1 \).
Langkah 3: Kumpulkan suku yang memuat \( x \):
\( 2xy-x=4y+1 \Rightarrow x(2y-1)=4y+1 \).
Langkah 4: Dapatkan \( x \) sebagai fungsi \( y \):
\( x=\frac{4y+1}{2y-1} \).
Langkah 5: Tukar \( x \) dan \( y \) sehingga:
\( f^{-1}(x)=\frac{4x+1}{2x-1} \).
Domain invers: penyebut \( 2x-1 \ne 0 \Rightarrow x\ne\frac{1}{2} \). Agar pecahan terdefinisi, kita memerlukan \( 2x-1 \gt 0 \) atau \( 2x-1 \lt 0 \) sesuai nilai \( x \), yang penting \( x \ne \frac{1}{2} \).