Jawaban: A

Ujung diameter \((7,6)\) dan \((1,-2)\) memiliki titik tengah (pusat lingkaran):

\(\left(\frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2}\right)=(4,2)\).

Panjang diameter:

\(\sqrt{(7-1)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\).

Maka jari-jari \(r=\frac{10}{2}=5\).

Garis yang membentuk sudut \(120^\circ\) terhadap sumbu \(x\) punya kemiringan:

\(m=\tan 120^\circ=-\sqrt{3}\).

Jadi bentuk garis singgungnya \(y=-\sqrt{3}x+c\), atau \(\sqrt{3}x+y-c=0\).

Syarat singgung: jarak pusat \((4,2)\) ke garis sama dengan jari-jari \(5\):

\(\frac{\left|\sqrt{3}(4)+2-c\right|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=5\).

Karena \(\sqrt{(\sqrt{3})^2+1}=2\), maka:

\(\frac{|4\sqrt{3}+2-c|}{2}=5 \Rightarrow |4\sqrt{3}+2-c|=10\).

Sehingga \(c=4\sqrt{3}+2\pm 10\), yaitu \(c=4\sqrt{3}+12\) atau \(c=4\sqrt{3}-8\).

Salah satu garis singgung adalah \(y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12\), sesuai opsi A.

Jawaban: D

Ellips awal berbentuk standar dengan pusat \((2,1)\):

\(\frac{(x-2)^2}{3}+\frac{(y-1)^2}{2}=1\).

Panjang sumbu menjadi dua kali berarti setiap semi-sumbu menjadi dua kali.

Jika semula penyebutnya \(3\) dan \(2\), maka penyebut baru menjadi \(4\cdot 3=12\) dan \(4\cdot 2=8\).

Maka ellips baru:

\(\frac{(x-2)^2}{12}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\).

Kalikan \(24\):

\(2(x-2)^2+3(y-1)^2=24\).

Uraikan:

\(2(x^2-4x+4)+3(y^2-2y+1)=24\).

\(2x^2-8x+8+3y^2-6y+3=24\).

Pindahkan semuanya ke satu ruas:

\(2x^2+3y^2-8x-6y-13=0\).

Jawaban: E

Karena \(x^2-3x-4\) adalah faktor, maka untuk akar-akar persamaan \(x^2-3x-4=0\), nilai suku banyak harus \(0\).

Faktorkan:

\(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\).

Misal \(P(x)=x^4-4x^3-7x^2+ax+b\). Maka \(P(4)=0\) dan \(P(-1)=0\).

Hitung \(P(4)\):

\(P(4)=4^4-4\cdot 4^3-7\cdot 4^2+4a+b=256-256-112+4a+b=-112+4a+b\).

\(P(4)=0 \Rightarrow 4a+b=112\).

Hitung \(P(-1)\):

\(P(-1)=(-1)^4-4(-1)^3-7(-1)^2-a+b=1+4-7-a+b=-2-a+b\).

\(P(-1)=0 \Rightarrow b=a+2\).

Substitusi \(b=a+2\) ke \(4a+b=112\):

\(4a+(a+2)=112 \Rightarrow 5a=110 \Rightarrow a=22\).

Maka \(b=22+2=24\), sehingga \(a+b=46\).

Jawaban: B

Sederhanakan \(f(x)\):

\(f(x)=(x-2)^2-4=x^2-4x\).

Maka \(g(x)=-f(x)=-x^2+4x\).

Titik potong kurva terjadi saat \(f(x)=g(x)\), yaitu:

\(f(x)=-f(x)\Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0\).

Jadi batasnya \(x=0\) dan \(x=4\).

Di selang \(0 \lt x \lt 4\), nilai \(f(x)\le 0\) dan \(g(x)\ge 0\), sehingga luas daerah (pasti \(\gt 0\)) adalah:

\(\displaystyle \int_{0}^{4}\big(g(x)-f(x)\big)\,dx=\int_{0}^{4}\big(-f(x)-f(x)\big)\,dx=\int_{0}^{4}-2f(x)\,dx\).

Substitusi \(f(x)=x^2-4x\):

\(\displaystyle \int_{0}^{4}\big(-2x^2+8x\big)\,dx=\left(-\frac{2}{3}x^3+4x^2\right)_{0}^{4}\).

Hitung:

\(\left(-\frac{2}{3}\cdot 64+4\cdot 16\right)-0=-\frac{128}{3}+64=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\).

Jawaban: D

Karena diputar terhadap sumbu \(x\), gunakan metode cakram:

\(\displaystyle V=\pi\int_{0}^{\pi} y^2\,dx=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^2 x\,dx\).

Gunakan identitas:

\(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\).

Maka:

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^2 x\,dx=\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\left(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right)_{0}^{\pi}\).

Nilai \(\sin(2\pi)=0\) dan \(\sin 0=0\), sehingga:

\(\left(\frac{\pi}{2}-0\right)-\left(0-0\right)=\frac{\pi}{2}\).

Jadi volumenya:

\(\displaystyle V=\pi\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}\).

Catatan: pada selang \(0 \lt x \lt \pi\), \(\sin x \gt 0\), sehingga daerahnya memang berada di atas sumbu \(x\).