Soal 16
Ditetapkan \(g(f(x))=f(g(x))\). Jika \(f(x)=2x+p\) dan \(g(x)=3x+120\), maka nilai \(p\) adalah ....
A. \(30\)
B. \(60\)
C. \(90\)
D. \(120\)
E. \(150\)
Jawaban & Analisa
Hitung kedua sisi persamaan \(g(f(x))=f(g(x))\) dengan cara substitusi fungsi.
Pertama, \(g(f(x))=g(2x+p)=3(2x+p)+120=6x+3p+120\).
Kedua, \(f(g(x))=f(3x+120)=2(3x+120)+p=6x+240+p\).
Samakan hasilnya: \(6x+3p+120=6x+240+p\). Karena ada \(6x\) di kedua sisi, bagian itu saling habis, sehingga \(3p+120=240+p\).
Pindahkan suku sejenis: \(3p-p=240-120\) sehingga \(2p=120\) dan diperoleh \(p=60\).
Jawaban: B yaitu \(60\).
Soal 17
Fungsi \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) didefinisikan sebagai \(f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}\), dengan \(x\ne\frac{-4}{3}\). Invers fungsi \(f\) adalah \(f^{-1}(x)=\) ....
A. \(\frac{4x-1}{3x+2}\), \(x\ne\frac{-2}{3}\)
B. \(\frac{4x+1}{3x-2}\), \(x\ne\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{4x-1}{2-3x}\), \(x\ne\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{4x-1}{3x-2}\), \(x\ne\frac{2}{3}\)
E. \(\frac{4x+1}{3x+2}\), \(x\ne\frac{-2}{3}\)
Jawaban & Analisa
Misalkan \(y=f(x)\). Maka \(y=\frac{2x-1}{3x+4}\). Tujuan kita adalah menuliskan \(x\) sebagai fungsi dari \(y\).
Kalikan silang: \(y(3x+4)=2x-1\), sehingga \(3xy+4y=2x-1\).
Kumpulkan suku yang memuat \(x\): \(3xy-2x=-1-4y\). Faktorkan \(x\): \(x(3y-2)=-(1+4y)\).
Maka \(x=\frac{-(1+4y)}{3y-2}=\frac{1+4y}{2-3y}=\frac{4y+1}{2-3y}\). Jadi \(f^{-1}(y)=\frac{4y+1}{2-3y}\), sehingga \(f^{-1}(x)=\frac{4x+1}{2-3x}\).
Batasan domain invers: penyebut \(2-3x\ne 0\) sehingga \(x\ne\frac{2}{3}\).
Jawaban (hasil perhitungan): \(f^{-1}(x)=\frac{4x+1}{2-3x}\), dengan \(x\ne\frac{2}{3}\).
Catatan: bentuk ini tidak muncul persis pada pilihan yang tersedia.
Soal 18
Nilai dari \( \lim_{x\to 2}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}} \) adalah ....
A. \(-12\)
B. \(-6\)
C. \(0\)
D. \(6\)
E. \(12\)
Jawaban & Analisa
Jika \(x=2\) langsung disubstitusi, pembilang \(4-2^2=0\) dan penyebut \(3-\sqrt{2^2+5}=3-\sqrt{9}=0\), sehingga bentuknya \( \frac{0}{0} \). Maka kita rasionalkan penyebut.
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan \(3+\sqrt{x^2+5}\): \(\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\cdot\frac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}}\).
Penyebut menjadi \(9-(x^2+5)=4-x^2\), sehingga untuk \(x\ne 2\) dan \(x\ne -2\), faktor \(4-x^2\) bisa dicoret dan tersisa \(3+\sqrt{x^2+5}\).
Maka limitnya \( \lim_{x\to 2}(3+\sqrt{x^2+5})=3+\sqrt{2^2+5}=3+\sqrt{9}=6\).
Jawaban: D yaitu \(6\).
Soal 19
Nilai dari \( \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x} \) adalah ....
A. \(-\sqrt{2}\)
B. \(\frac{-1}{2}\sqrt{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
D. \(\sqrt{2}\)
E. \(2\sqrt{2}\)
Jawaban & Analisa
Saat \(x\to\frac{\pi}{4}\), pembilang \(\cos 2x\to \cos\frac{\pi}{2}=0\) dan penyebut \(\cos x-\sin x\to \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0\), sehingga bentuknya \( \frac{0}{0} \). Gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan.
Identitas: \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\).
Maka untuk \(x\) yang membuat \(\cos x-\sin x\ne 0\) (yaitu \(x\) mendekati \(\frac{\pi}{4}\) tetapi \(x\ne\frac{\pi}{4}\)), pecahan menjadi \( \cos x+\sin x \).
Substitusi \(x=\frac{\pi}{4}\): \( \cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).
Jawaban: D yaitu \(\sqrt{2}\).
Soal 20
Fungsi \(f(x)=x^3+3x^2-9x-7\) turun pada interval ....
A. \(1 \lt x \lt 3\)
B. \(-1 \lt x \lt 3\)
C. \(-3 \lt x \lt 1\)
D. \(x \lt -3 \text{ atau } x \gt 1\)
E. \(x \lt -1 \text{ atau } x \gt 3\)
Jawaban & Analisa
Fungsi turun saat turunan pertama negatif, yaitu saat \(f'(x) \lt 0\).
Turunkan \(f(x)=x^3+3x^2-9x-7\): \(f'(x)=3x^2+6x-9\). Faktorkan: \(f'(x)=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)\).
Karena \(3 \gt 0\), tanda \(f'(x)\) ditentukan oleh \((x+3)(x-1)\). Hasil kali dua faktor ini negatif saat \(x\) berada di antara akarnya, yaitu \(-3 \lt x \lt 1\).
Jawaban: C yaitu \(-3 \lt x \lt 1\).