Akar nyata dan sama berarti diskriminan \(D=0\). Untuk \(ax^2+bx+c=0\), berlaku \(D=b^2-4ac\).

Di soal ini: \[ a=k+2,\quad b=-(2k-1)=1-2k,\quad c=k-1. \] Syarat kuadrat: \(a \ne 0\) atau \(k \ne -2\).

Hitung diskriminan: \[ D=(1-2k)^2-4(k+2)(k-1). \] \[ (1-2k)^2=4k^2-4k+1, \] \[ 4(k+2)(k-1)=4(k^2+k-2)=4k^2+4k-8. \] Maka \[ D=(4k^2-4k+1)-(4k^2+4k-8)=9-8k. \]

Karena \(D=0\), diperoleh: \[ 9-8k=0 \Rightarrow k=\dfrac{9}{8}. \]

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah \(-\dfrac{b}{a}\), sehingga \[ x_1+x_2=-\dfrac{1-2k}{k+2}=\dfrac{2k-1}{k+2}. \] Substitusi \(k=\dfrac{9}{8}\): \[ x_1+x_2=\dfrac{2\left(\dfrac{9}{8}\right)-1}{\dfrac{9}{8}+2} =\dfrac{\dfrac{18}{8}-\dfrac{8}{8}}{\dfrac{9}{8}+\dfrac{16}{8}} =\dfrac{\dfrac{10}{8}}{\dfrac{25}{8}} =\dfrac{2}{5}. \]

Jawaban: \( \dfrac{2}{5} \).

Gunakan rumus Vieta untuk \(ax^2+bx+c=0\): \[ \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\quad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}. \] Untuk \(3x^2+5x+1=0\): \[ \alpha+\beta=-\dfrac{5}{3},\quad \alpha\beta=\dfrac{1}{3}. \]

Hitung: \[ \dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}. \] Dengan \[ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta. \]

Maka \[ \alpha^2+\beta^2=\left(\dfrac{-5}{3}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{3}\right) =\dfrac{25}{9}-\dfrac{2}{3} =\dfrac{25}{9}-\dfrac{6}{9} =\dfrac{19}{9}. \] Dan \[ \alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}. \]

Sehingga \[ \dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2} =\dfrac{\dfrac{19}{9}}{\dfrac{1}{9}}=19. \]

Jawaban: \( 19 \).

Sudut terkecil berhadapan dengan sisi terkecil. Karena \(\sqrt{21} \lt 5 \lt 6\), sisi terkecil adalah \(\sqrt{21}\), sehingga sudut terkecil adalah sudut yang berhadapan dengan sisi \(\sqrt{21}\).

Gunakan aturan cosinus untuk sudut \(A\) yang berhadapan dengan sisi \(\sqrt{21}\) (dua sisi lain \(5\) dan \(6\)): \[ (\sqrt{21})^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cos A. \] \[ 21=25+36-60\cos A. \] \[ 21=61-60\cos A \Rightarrow 60\cos A=40 \Rightarrow \cos A=\dfrac{2}{3}. \]

Karena \(A\) sudut segitiga, maka \(0 \lt A \lt 180^\circ\) dan untuk sudut terkecil di sini \(\cos A \gt 0\). Maka \[ \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2} =\sqrt{1-\dfrac{4}{9}} =\sqrt{\dfrac{5}{9}} =\dfrac{\sqrt{5}}{3}. \]

Jawaban: \( \dfrac{1}{3}\sqrt{5} \).

Gunakan identitas: \[ \cos 2A=1-2\sin^2 A. \] Substitusi \( \cos 2A=\dfrac{1}{3} \): \[ \dfrac{1}{3}=1-2\sin^2 A. \]

Pindahkan ruas: \[ 2\sin^2 A=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \sin^2 A=\dfrac{1}{3}. \]

Karena \(A\) sudut lancip, maka \( \sin A \gt 0 \), sehingga \[ \sin A=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}. \]

Jawaban: \( \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \).

Gunakan rumus jumlah-ke-hasil: \[ \sin p+\sin q=2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right). \] Maka \[ \sin 81^\circ+\sin 21^\circ = 2\sin 51^\circ \cos 30^\circ = 2\sin 51^\circ \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin 51^\circ. \]

Untuk selisih: \[ \sin p-\sin q=2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right). \] Maka \[ \sin 69^\circ-\sin 17^\circ = 2\cos 43^\circ \sin 26^\circ. \] Sehingga nilai pecahan menjadi \[ \dfrac{\sin 81^\circ+\sin 21^\circ}{\sin 69^\circ-\sin 17^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}\sin 51^\circ}{2\cos 43^\circ \sin 26^\circ}. \]

Jika sudut pada penyebut adalah \(9^\circ\) (bukan \(17^\circ\)), maka \[ \sin 69^\circ-\sin 9^\circ=2\cos 39^\circ \sin 30^\circ=\cos 39^\circ, \] dan karena \(\sin 51^\circ=\cos 39^\circ\), hasilnya menjadi \[ \dfrac{\sqrt{3}\sin 51^\circ}{\cos 39^\circ}=\sqrt{3}. \] Ini tepat cocok dengan opsi A.

Namun jika tetap memakai \(17^\circ\) seperti tercetak, nilainya tidak cocok dengan pilihan jawaban (hasil numeriknya sekitar \(2.099\)). Jadi, agar konsisten dengan opsi, sudut terakhir semestinya \(9^\circ\) dan jawabannya \( \sqrt{3} \).