Kunci: E

Langkah 1: Gunakan rumus jumlah dan selisih sudut.

\( \sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).

\( \sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \).

Langkah 2: Jumlahkan pembilang.

\( \sin 75^\circ+\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2} \).

Langkah 3: Hitung penyebut.

\( \cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ)=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \).

\( \cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).

\( \cos 105^\circ+\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Langkah 4: Bagi pembilang dengan penyebut.

\( \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3} \) (nilainya \( \gt 0 \)).

Kunci: E

Langkah 1: Faktorkan pembilang dan penyebut.

\( x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \).

\( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \).

Langkah 2: Sederhanakan (boleh karena untuk \( x \) dekat \( 1 \), \( x-1 \ne 0 \)).

\( \frac{x^2-5x+4}{x^3-1}=\frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x-4}{x^2+x+1} \).

Langkah 3: Substitusi \( x=1 \).

\( \frac{1-4}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=-1 \) (nilai ini \( \lt 0 \)).

Kunci: D

Langkah 1: Gunakan limit dasar \( \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \) dan pendekatan \( 1-\cos t \sim \frac{t^2}{2} \) untuk \( t \to 0 \).

Langkah 2: Saat \( x \to 0 \), berlaku \( \sin 3x \sim 3x \) dan \( 1-\cos 6x \sim \frac{(6x)^2}{2}=18x^2 \).

Langkah 3: Substitusi pendekatan ke bentuk limit.

\( \frac{2x\sin 3x}{1-\cos 6x} \sim \frac{2x(3x)}{18x^2}=\frac{6x^2}{18x^2}=\frac{1}{3} \) (hasilnya \( \gt 0 \)).

Kunci: E

Langkah 1: Ubah bentuk akar menjadi pangkat.

\( f(x)=\left(\sin^2 3x\right)^{\frac{1}{3}} \).

Langkah 2: Misalkan \( u=\sin^2 3x \), maka \( f(x)=u^{\frac{1}{3}} \) dan \( f'(x)=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}u' \).

Langkah 3: Turunkan \( u \).

\( u' =2\sin 3x\cdot \cos 3x \cdot 3=6\sin 3x\cos 3x \).

Langkah 4: Substitusi.

\( f'(x)=\frac{1}{3}\left(\sin^2 3x\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot 6\sin 3x\cos 3x \).

\( f'(x)=2\cos 3x\cdot \sin 3x\cdot \left(\sin^2 3x\right)^{-\frac{2}{3}} \).

Langkah 5 (sederhanakan): Karena \( \sin 3x\cdot \left(\sin^2 3x\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(\sin^2 3x\right)^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{\sin 3x} \), maka

\( f'(x)=2\frac{\cos 3x}{\sin 3x}\cdot \left(\sin^2 3x\right)^{\frac{1}{3}}=2\cot 3x\cdot \sqrt[3]{\sin^2 3x} \) (sesuai opsi E, dan berlaku saat \( \sin 3x \ne 0 \)).

Kunci: E

Langkah 1: Sederhanakan integran.

\( 3x\left(x+\frac{2}{3}\right)=3x^2+2x \).

Langkah 2: Cari anti-turunan.

\( \int (3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2 \).

Langkah 3: Substitusi batas \( 1 \) sampai \( p \).

\( \left(p^3+p^2\right)-\left(1^3+1^2\right)=78 \Rightarrow p^3+p^2-2=78 \Rightarrow p^3+p^2=80 \).

Langkah 4: Cari \( p \) yang memenuhi.

\( p=4 \) karena \( 4^3+4^2=64+16=80 \) (jelas \( p \gt 1 \)).

Langkah 5: Hitung \( -2p \).

\( -2p=-2(4)=-8 \).