Soal 11
Sebuah pabrik menggunakan bahan \( A \), \( B \), dan \( C \) untuk memproduksi \( 2 \) jenis barang, yaitu barang jenis \( I \) dan barang jenis \( II \). Sebuah barang jenis \( I \) memerlukan \( 1 \) kg bahan \( A \), \( 3 \) kg bahan \( B \), dan \( 2 \) kg bahan \( C \). Sebuah barang jenis \( II \) memerlukan \( 3 \) kg bahan \( A \), \( 4 \) kg bahan \( B \), dan \( 1 \) kg bahan \( C \). Bahan baku yang tersedia \( 480 \) kg bahan \( A \), \( 720 \) kg bahan \( B \), dan \( 360 \) kg bahan \( C \). Harga barang jenis \( I \) adalah \( \text{Rp}40.000,00 \) dan harga barang jenis \( II \) adalah \( \text{Rp}60.000,00 \). Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah ....
A. \( \text{Rp}7.200.000,00 \)
B. \( \text{Rp}9.600.000,00 \)
C. \( \text{Rp}10.080.000,00 \)
D. \( \text{Rp}10.560.000,00 \)
E. \( \text{Rp}12.000.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (pemodelan): Misalkan banyak barang jenis \( I \) adalah \( x \) dan jenis \( II \) adalah \( y \), dengan \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \) (jadi \( x \gt -1 \) dan \( y \gt -1 \)).
Langkah 2 (kendala bahan):
Bahan \( A \): \( x+3y \le 480 \).
Bahan \( B \): \( 3x+4y \le 720 \).
Bahan \( C \): \( 2x+y \le 360 \).
Langkah 3 (fungsi tujuan): Pendapatan \( P=40000x+60000y \). Kita cari nilai maksimum \( P \).
Langkah 4 (titik pojok daerah feasible): Nilai maksimum program linear terjadi di titik pojok.
Periksa beberapa titik pojok penting:
1) \( (0,160) \) dari \( x=0 \) dan \( x+3y=480 \) memberi \( P=40000(0)+60000(160)=9.600.000 \).
2) \( (180,0) \) dari \( y=0 \) dan \( 2x+y=360 \) memberi \( P=40000(180)=7.200.000 \).
3) Irisan \( 3x+4y=720 \) dan \( 2x+y=360 \): dari \( y=360-2x \) ke \( 3x+4(360-2x)=720 \Rightarrow -5x=-720 \Rightarrow x=144 \), maka \( y=72 \).
Nilai \( P=40000(144)+60000(72)=5.760.000+4.320.000=10.080.000 \).
4) Irisan \( x+3y=480 \) dan \( 3x+4y=720 \): dari eliminasi diperoleh \( (x,y)=(48,144) \).
Nilai \( P=40000(48)+60000(144)=1.920.000+8.640.000=10.560.000 \).
Langkah 5 (kesimpulan): Nilai terbesar adalah \( \text{Rp}10.560.000,00 \), sehingga jawabannya opsi D.
Soal 12
Diketahui segitiga \( ABC \) dengan \( A(3,1) \), \( B(5,2) \), dan \( C(1,5) \). Besar sudut \( \angle BAC \) adalah ....
A. \( 45^\circ \)
B. \( 60^\circ \)
C. \( 90^\circ \)
D. \( 120^\circ \)
E. \( 135^\circ \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Bentuk vektor \( \overrightarrow{AB} \) dan \( \overrightarrow{AC} \).
\( \overrightarrow{AB}=(5-3,2-1)=(2,1) \).
\( \overrightarrow{AC}=(1-3,5-1)=(-2,4) \).
Langkah 2: Gunakan dot product. Jika \( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \) maka sudutnya \( 90^\circ \).
\( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2(-2)+1(4)=-4+4=0 \).
Kesimpulan: Sudut \( \angle BAC=90^\circ \) (sudut siku-siku, jadi bukan \( 0^\circ \), dan \( 90^\circ \gt 60^\circ \)).
Soal 13
Diketahui titik \( A(2,-1,-3) \), \( B(-1,1,-11) \), dan \( C(4,-3,-2) \). Proyeksi vektor \( \overrightarrow{AB} \) pada \( \overrightarrow{AC} \) adalah ....
A. \( -12\vec{i}+12\vec{j}-6\vec{k} \)
B. \( -6\vec{i}+4\vec{j}-16\vec{k} \)
C. \( -4\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \)
D. \( -6\vec{i}-4\vec{j}+16\vec{k} \)
E. \( 12\vec{i}-12\vec{j}+6\vec{k} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Hitung \( \overrightarrow{AB} \) dan \( \overrightarrow{AC} \).
\( \overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,1-(-1),-11-(-3))=(-3,2,-8) \).
\( \overrightarrow{AC}=C-A=(4-2,-3-(-1),-2-(-3))=(2,-2,1) \).
Langkah 2: Rumus proyeksi vektor \( \overrightarrow{AB} \) pada \( \overrightarrow{AC} \) adalah
\( \operatorname{proj}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}}\,\overrightarrow{AC} \).
Langkah 3: Hitung dot product.
\( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-3)(2)+2(-2)+(-8)(1)=-6-4-8=-18 \).
\( \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=2^2+(-2)^2+1^2=4+4+1=9 \).
Langkah 4: Hitung proyeksinya.
Koefisien \( =\frac{-18}{9}=-2 \) (jadi koefisiennya \( \lt 0 \)).
\( \operatorname{proj}_{\overrightarrow{AC}}\overrightarrow{AB}=-2(2,-2,1)=(-4,4,-2) \).
Kesimpulan: \( -4\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \) (opsi C).
Soal 14
Bayangan kurva \( y=x^2-1 \), oleh dilatasi pusat \( O \) dengan faktor skala \( 2 \), dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu \( Y \), adalah ....
A. \( y=\frac{1}{2}x^2-1 \)
B. \( y=\frac{1}{2}x^2+1 \)
C. \( y=-\frac{1}{2}x^2+2 \)
D. \( y=-\frac{1}{2}x^2-2 \)
E. \( y=\frac{1}{2}x^2-2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (dilatasi): Dilatasi pusat \( O \) skala \( 2 \) memetakan titik \( (x,y) \) menjadi \( (X,Y)=(2x,2y) \).
Langkah 2: Nyatakan \( x \) dan \( y \) terhadap \( X \) dan \( Y \): \( x=\frac{X}{2} \) dan \( y=\frac{Y}{2} \).
Langkah 3: Substitusi ke kurva asal \( y=x^2-1 \).
\( \frac{Y}{2}=\left(\frac{X}{2}\right)^2-1=\frac{X^2}{4}-1 \).
Kalikan \( 2 \): \( Y=\frac{1}{2}X^2-2 \).
Langkah 4 (pencerminan sumbu \( Y \)): Pencerminan terhadap sumbu \( Y \) membuat \( X \mapsto -X \).
Karena \( (-X)^2=X^2 \), persamaan tetap \( Y=\frac{1}{2}X^2-2 \).
Kesimpulan: Bayangannya \( y=\frac{1}{2}x^2-2 \) (opsi E).
Soal 15
Suku ke-\( 5 \) sebuah deret aritmetika adalah \( 11 \) dan jumlah nilai suku ke-\( 8 \) dengan suku ke-\( 12 \) sama dengan \( 52 \). Jumlah \( 8 \) suku yang pertama deret itu adalah ....
A. \( 68 \)
B. \( 72 \)
C. \( 76 \)
D. \( 80 \)
E. \( 84 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Misalkan suku pertama \( a \) dan beda \( d \). Rumus suku ke-\( n \): \( U_n=a+(n-1)d \).
Langkah 2: Dari \( U_5=11 \) diperoleh:
\( a+4d=11 \).
Langkah 3: Dari \( U_8+U_{12}=52 \):
\( (a+7d)+(a+11d)=52 \Rightarrow 2a+18d=52 \Rightarrow a+9d=26 \).
Langkah 4: Kurangkan persamaan \( (a+9d)-(a+4d)=26-11 \).
\( 5d=15 \Rightarrow d=3 \) (jadi \( d \gt 0 \)).
Langkah 5: Cari \( a \).
\( a+4(3)=11 \Rightarrow a+12=11 \Rightarrow a=-1 \).
Langkah 6: Jumlah \( 8 \) suku pertama:
\( S_8=\frac{8}{2}\left(2a+(8-1)d\right)=4\left(2(-1)+7(3)\right)=4(-2+21)=4(19)=76 \).
Kesimpulan: \( S_8=76 \) (opsi C).