Soal 6
Diketahui \( x_1 \) dan \( x_2 \) akar-akar persamaan \( 9^x-\frac{10}{3}\cdot 3^x+1=0 \). Nilai \( x_1+x_2 \) = ....
A. \( \frac{2}{3} \)
B. \( \frac{3}{2} \)
C. \( 1 \)
D. \( 0 \)
E. \( -2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Misalkan \( t=3^x \). Karena \( 3^x \gt 0 \), maka \( t \gt 0 \).
Perhatikan \( 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2=t^2 \).
Langkah 2: Ubah persamaan menjadi persamaan kuadrat dalam \( t \).
\( t^2-\frac{10}{3}t+1=0 \).
Kalikan \( 3 \): \( 3t^2-10t+3=0 \).
Langkah 3: Cari akar-akar \( t \).
Diskriminan \( \Delta= (-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64 \).
\( t=\frac{10\pm 8}{6} \Rightarrow t=3 \) atau \( t=\frac{1}{3} \).
Langkah 4: Kembalikan ke \( x \).
Jika \( 3^x=3 \Rightarrow x=1 \). Jika \( 3^x=\frac{1}{3}=3^{-1} \Rightarrow x=-1 \).
Kesimpulan: \( x_1+x_2=1+(-1)=0 \).
Soal 7
Persamaan garis singgung lingkaran \( x^2+y^2-6x+4y-12=0 \) di titik \( (7,-5) \) adalah ....
A. \( 4x-3y=43 \)
B. \( 4x+3y=23 \)
C. \( 3x-4y=41 \)
D. \( 10x+3y=55 \)
E. \( 4x-5y=53 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Bentuk umum lingkaran \( x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \).
Dari \( x^2+y^2-6x+4y-12=0 \) diperoleh \( g=-3 \), \( f=2 \), dan \( c=-12 \).
Langkah 2: Rumus garis singgung di titik \( (x_1,y_1) \) adalah
\( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0 \).
Langkah 3: Substitusi \( (x_1,y_1)=(7,-5) \).
\( 7x-5y+(-3)(x+7)+2(y-5)-12=0 \).
Langkah 4: Sederhanakan.
\( 7x-5y-3x-21+2y-10-12=0 \Rightarrow 4x-3y-43=0 \Rightarrow 4x-3y=43 \).
Soal 8
Suku banyak \( f(x) \) dibagi \( (x+1) \) sisanya \( 10 \) dan jika dibagi \( (2x-3) \) sisanya \( 5 \). Jika suku banyak \( f(x) \) dibagi \( (2x^2-x-3) \), sisanya adalah ....
A. \( -2x+8 \)
B. \( -2x+12 \)
C. \( -x+4 \)
D. \( -5x+5 \)
E. \( -5x+15 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Faktorkan pembagi.
\( 2x^2-x-3=(2x-3)(x+1) \).
Langkah 2: Sisa pembagian oleh polinom kuadrat berbentuk linear \( r(x)=ax+b \).
Langkah 3: Gunakan Teorema Sisa.
Karena sisa bagi \( (x+1) \) adalah \( 10 \), maka \( r(-1)=f(-1)=10 \Rightarrow -a+b=10 \).
Karena sisa bagi \( (2x-3) \) adalah \( 5 \), maka \( r\!\left(\frac{3}{2}\right)=f\!\left(\frac{3}{2}\right)=5 \Rightarrow \frac{3}{2}a+b=5 \).
Langkah 4: Selesaikan sistem.
Kurangkan persamaan: \( \left(\frac{3}{2}a+b\right)-(-a+b)=5-10 \Rightarrow \frac{5}{2}a=-5 \Rightarrow a=-2 \).
Substitusi: \( -(-2)+b=10 \Rightarrow 2+b=10 \Rightarrow b=8 \).
Kesimpulan: sisa \( r(x)=-2x+8 \).
Soal 9
Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli \( 3 \) buku tulis, \( 1 \) pena, dan \( 2 \) pensil dengan harga Rp\( 11.000,00 \). Budi membeli \( 2 \) buku tulis, \( 3 \) pena, dan \( 1 \) pensil dengan harga Rp\( 14.000,00 \). Cici membeli \( 1 \) buku tulis, \( 2 \) pena, dan \( 3 \) pensil dengan harga Rp\( 11.000,00 \). Dedi membeli \( 2 \) buku tulis, \( 1 \) pena, dan \( 1 \) pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar?
A. Rp\( 6.000,00 \)
B. Rp\( 7.000,00 \)
C. Rp\( 8.000,00 \)
D. Rp\( 9.000,00 \)
E. Rp\( 10.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Misalkan harga buku tulis \( =b \), pena \( =p \), pensil \( =s \) (dalam rupiah).
Langkah 2: Bentuk persamaan.
\( 3b+p+2s=11000 \).
\( 2b+3p+s=14000 \).
\( b+2p+3s=11000 \).
Langkah 3: Eliminasi \( p \) dengan mengekspresikan \( p \) dari persamaan pertama.
\( p=11000-3b-2s \).
Langkah 4: Substitusi ke persamaan kedua.
\( 2b+3(11000-3b-2s)+s=14000 \Rightarrow 7b+5s=19000 \).
Langkah 5: Substitusi ke persamaan ketiga.
\( b+2(11000-3b-2s)+3s=11000 \Rightarrow 5b+s=11000 \).
Langkah 6: Selesaikan sistem \( 7b+5s=19000 \) dan \( 5b+s=11000 \).
Dari \( 5b+s=11000 \Rightarrow s=11000-5b \).
Substitusi: \( 7b+5(11000-5b)=19000 \Rightarrow -18b=-36000 \Rightarrow b=2000 \).
\( s=11000-5(2000)=1000 \).
Langkah 7: Cari \( p \).
\( p=11000-3(2000)-2(1000)=3000 \).
Langkah 8: Biaya Dedi \( 2b+p+s \).
\( 2b+p+s=2(2000)+3000+1000=8000 \).
Kesimpulan: Dedi membayar Rp\( 8.000,00 \).
Soal 10
Diketahui persamaan matriks \( A=2B' \) ( \( B' \) adalah transpose matriks \( B \) ), dengan \( A=\begin{pmatrix} a & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} \) dan \( B=\begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix} \). Nilai \( a+b+c \) = ....
A. \( 6 \)
B. \( 10 \)
C. \( 13 \)
D. \( 15 \)
E. \( 16 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Transpose \( B \).
Jika \( B=\begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix} \), maka \( B'=\begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix} \).
Langkah 2: Hitung \( 2B' \).
\( 2B'=\begin{pmatrix} 2(2c-3b) & 2a \\ 2(2a+1) & 2(b+7) \end{pmatrix} \).
Langkah 3: Samakan elemen dengan \( A=\begin{pmatrix} a & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} \).
Dari elemen \( (1,2) \): \( 2a=4 \Rightarrow a=2 \).
Dari elemen \( (2,1) \): \( 2b=2(2a+1)=4a+2 \Rightarrow 2b=10 \Rightarrow b=5 \).
Dari elemen \( (2,2) \): \( 3c=2(b+7)=2b+14 \Rightarrow 3c=24 \Rightarrow c=8 \).
Langkah 4: Jumlahkan.
\( a+b+c=2+5+8=15 \).
Kesimpulan: \( a+b+c=15 \).