Soal 11.
Suku banyak \( f(x)=x^3+(a-3)x^2+x-2 \) habis dibagi \( (x+1) \). Hasil bagi \( f(x) \) oleh \( (x-2) \) adalah ....
A. \( x^2+6x+13 \)
B. \( x^2+6x-13 \)
C. \( x^2-6x+13 \)
D. \( x^2-13x+6 \)
E. \( x^2+13x+6 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (syarat habis dibagi \( (x+1) \)): Karena \( f(x) \) habis dibagi \( (x+1) \), maka \( f(-1)=0 \).
\( f(-1)=(-1)^3+(a-3)(-1)^2+(-1)-2 \)
\( f(-1)=-1+(a-3)\cdot 1-1-2=a-7 \)
Maka \( a-7=0 \Rightarrow a=7 \).
Langkah 2: Substitusi \( a=7 \) ke fungsi.
\( f(x)=x^3+(7-3)x^2+x-2=x^3+4x^2+x-2 \)
Langkah 3 (pembagian sintetis oleh \( (x-2) \)): gunakan \( x=2 \) dengan koefisien \( 1,4,1,-2 \).
Turunkan \( 1 \).
\( 1\cdot 2=2 \), \( 4+2=6 \).
\( 6\cdot 2=12 \), \( 1+12=13 \).
\( 13\cdot 2=26 \), \( -2+26=24 \) (sisa).
Hasil bagi \( =x^2+6x+13 \).
Jawaban: A (\( x^2+6x+13 \)).
Soal 12.
Diketahui \( (x-3) \) dan \( (x+2) \) merupakan faktor dari \( f(x)=2x^3+px^2+qx+6 \). Jika \( x_1, x_2, \) dan \( x_3 \) adalah akar-akar \( f(x) \), dengan \( x_1 \lt x_2 \lt x_3 \), nilai dari \( x_1-2x_2+x_3 \) adalah ....
A. \( 3 \)
B. \( 2 \)
C. \( 1 \)
D. \( 0 \)
E. \( -1 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Dari faktor, akar yang diketahui: \( x=3 \) dan \( x=-2 \).
Langkah 2 (Vieta untuk hasil kali akar): Untuk \( 2x^3+px^2+qx+6 \), hasil kali akar \( x_1x_2x_3=-\dfrac{6}{2}=-3 \).
Langkah 3: Misal akar ketiga \( r \). Maka \( 3\cdot(-2)\cdot r=-3 \Rightarrow -6r=-3 \Rightarrow r=\dfrac{1}{2} \).
Langkah 4 (urutkan): \( x_1=-2,\ x_2=\dfrac{1}{2},\ x_3=3 \).
Langkah 5: Hitung \( x_1-2x_2+x_3 \).
\( (-2)-2\left(\dfrac{1}{2}\right)+3=-2-1+3=0 \).
Jawaban: D (\( 0 \)).
Soal 13.
Diketahui persamaan matriks \( 3\begin{pmatrix}4 & 1\\6 & b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3a & 5\\k & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 4\end{pmatrix} \). Nilai dari \( 3a+3b \) = ....
A. \( -27 \)
B. \( -17 \)
C. \( 17 \)
D. \( 27 \)
E. \( 37 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (hitung ruas kanan):
\( \begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot 3+1\cdot 1 & 2\cdot 2+1\cdot 4\\5\cdot 3+4\cdot 1 & 5\cdot 2+4\cdot 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7 & 8\\19 & 26\end{pmatrix}.
Langkah 2 (ruas kiri):
\( 3\begin{pmatrix}4 & 1\\6 & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 & 3\\18 & 3b\end{pmatrix} \)
Tambah \( \begin{pmatrix}3a & 5\\k & 4\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix}12+3a & 8\\18+k & 3b+4\end{pmatrix} \).
Langkah 3 (samakan elemen):
\( 12+3a=7 \Rightarrow 3a=-5 \Rightarrow a=-\dfrac{5}{3} \).
\( 18+k=19 \Rightarrow k=1 \).
\( 3b+4=26 \Rightarrow 3b=22 \Rightarrow b=\dfrac{22}{3} \).
Langkah 4: \( 3a+3b=(-5)+22=17 \).
Jawaban: C (\( 17 \)).
Soal 14.
Diketahui persamaan matriks: \( X\begin{pmatrix}3 & 2\\7 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 1\\2 & 3\end{pmatrix} \), dengan matrik \( X \) berordo \( 2\times 2 \). Determinan matriks \( X \) adalah ....
A. \( 13 \)
B. \( 28 \)
C. \( 37 \)
D. \( 53 \)
E. \( 71 \)
Jawaban & Analisis
Ide kunci: Dari \( XA=B \), berlaku \( \det(XA)=\det(B) \Rightarrow \det(X)\det(A)=\det(B) \Rightarrow \det(X)=\dfrac{\det(B)}{\det(A)} \).
Langkah 1: \( A=\begin{pmatrix}3 & 2\\7 & 5\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}5 & 1\\2 & 3\end{pmatrix} \).
Langkah 2: \( \det(A)=3\cdot 5-2\cdot 7=15-14=1 \).
\( \det(B)=5\cdot 3-1\cdot 2=15-2=13 \).
Langkah 3: \( \det(X)=\dfrac{13}{1}=13 \).
Jawaban: A (\( 13 \)).
Soal 15.
Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah \( 8 \), suku keempat adalah \( 14 \), dan suku terakhir \( 23 \). Jumlah semua suku barisan tersebut adalah ....
A. \( 56 \)
B. \( 77 \)
C. \( 98 \)
D. \( 105 \)
E. \( 112 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Barisan aritmetika \( U_n=a+(n-1)d \).
Langkah 2: Dari \( U_2=a+d=8 \) dan \( U_4=a+3d=14 \).
Kurangkan: \( (a+3d)-(a+d)=14-8 \Rightarrow 2d=6 \Rightarrow d=3 \).
\( a+d=8 \Rightarrow a+3=8 \Rightarrow a=5 \).
Langkah 3: Suku terakhir \( U_n=23 \Rightarrow 5+3(n-1)=23 \Rightarrow 3(n-1)=18 \Rightarrow n=7 \).
Langkah 4 (jumlah): \( S_n=\dfrac{n}{2}(U_1+U_n) \).
\( S_7=\dfrac{7}{2}(5+23)=\dfrac{7}{2}\cdot 28=98 \).
Jawaban: C (\( 98 \)).