Soal 6.
Diketahui fungsi \( f(x) = (a+1)x^2 - 2ax + (a-2) \) definit negatif. Nilai \( a \) yang memenuhi adalah ….
A. |
\( a \lt 2 \) |
B. |
\( a \gt -2 \) |
C. |
\( a \lt -1 \) |
D. |
\( a \lt -2 \) |
E. |
\( a \gt 1 \) |
Jawaban dan Analisis
Konsep: Kuadrat \( f(x)=Ax^2+Bx+C \) definit negatif artinya \( f(x) \lt 0 \) untuk semua \( x \). Syaratnya:
1) Koefisien utama \( A \lt 0 \)
2) Diskriminan \( \Delta \lt 0 \)
Langkah 1: \( A = a+1 \Rightarrow a+1 \lt 0 \Rightarrow a \lt -1 \).
Langkah 2: \( B=-2a \), \( C=a-2 \).
\( \Delta = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4(a+1)(a-2) \).
\( \Delta = 4a^2 - 4(a^2 - a - 2) = 4a + 8 \).
\( \Delta \lt 0 \Rightarrow 4a+8 \lt 0 \Rightarrow a \lt -2 \).
Gabungan: \( a \lt -2 \).
Jawaban: D.
Soal 7.
Anisa membeli 2 kg jeruk dan 3 kg mangga dengan harga Rp84.000,00. Di toko yang sama Beni membeli 3 kg jeruk dan 1 kg mangga dengan harga Rp63.000,00, sedangkan Viola membeli 2 kg jeruk dan 4 kg mangga. Jika Viola membayar dengan uang Rp150.000,00, uang kembalian yang diterima Viola adalah ….
A. |
Rp48.000,00 |
B. |
Rp46.000,00 |
C. |
Rp44.000,00 |
D. |
Rp36.000,00 |
E. |
Rp34.000,00 |
Jawaban dan Analisis
Misal: \( j \)=harga jeruk/kg, \( m \)=harga mangga/kg.
\( 2j+3m=84000 \) dan \( 3j+m=63000 \).
Dari \( 3j+m=63000 \Rightarrow m=63000-3j \).
Substitusi: \( 2j+3(63000-3j)=84000 \).
\( 2j+189000-9j=84000 \Rightarrow -7j=-105000 \Rightarrow j=15000 \).
\( m=63000-3(15000)=18000 \).
Belanja Viola: \( 2j+4m=2(15000)+4(18000)=102000 \).
Kembalian: \( 150000-102000=48000 \).
Jawaban: A.
Soal 8.
Pak Eka mengelola jasa parkir dengan daerah parkir seluas 600 m² yang hanya bisa menampung maksimum 58 mobil. Setiap mobil kecil membutuhkan tempat parkir 6 m² dengan biaya parkir Rp3.000,00/jam dan setiap mobil besar membutuhkan tempat parkir 24 m² dengan biaya parkir Rp5.000,00/jam. Jika dalam 1 jam terisi penuh tanpa ada kendaraan yang keluar dan masuk, pendapatan maksimum tempat jasa parkir Pak Eka selama 1 jam adalah ….
A. |
Rp202.000,00 |
B. |
Rp206.000,00 |
C. |
Rp212.000,00 |
D. |
Rp214.000,00 |
E. |
Rp216.000,00 |
Jawaban dan Analisis
Misal: \( x \)=mobil kecil, \( y \)=mobil besar.
Kendala jumlah: \( x+y \le 58 \).
Kendala luas: \( 6x+24y \le 600 \Rightarrow x+4y \le 100 \).
Maksimalkan \( P=3000x+5000y \).
Agar “terisi penuh” ambil \( x+y=58 \Rightarrow x=58-y \).
Substitusi ke luas: \( (58-y)+4y \le 100 \Rightarrow 58+3y \le 100 \Rightarrow y \le 14 \).
\( P=3000(58-y)+5000y=174000+2000y \) maksimum saat \( y=14 \).
\( x=44 \Rightarrow P=3000(44)+5000(14)=202000 \).
Jawaban: A.
Soal 9.
Diketahui dua buah fungsi \( f(x) = 3x^2 - 2x + 6 \) dan \( g(x) = x - 5 \). Fungsi komposisi \( (g \circ f)(x) \) adalah ….
A. |
\( (g \circ f)(x) = 3x^2 - 2x - 1 \) |
B. |
\( (g \circ f)(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) |
C. |
\( (g \circ f)(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) |
D. |
\( (g \circ f)(x) = 3x^2 - 2x - 2 \) |
E. |
\( (g \circ f)(x) = 3x^2 - 2x + 2 \) |
Jawaban dan Analisis
\( (g \circ f)(x)=g(f(x)) \). Karena \( g(u)=u-5 \), maka \( g(f(x))=f(x)-5 \).
\( (g \circ f)(x)=(3x^2-2x+6)-5=3x^2-2x+1 \).
Jawaban: B.
Soal 10.
Diketahui \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dan \( g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) didefinisikan dengan \( f(x)=\dfrac{3x+1}{x-5} \), \( x \ne 5 \) dan \( g(x)=x-3 \). Invers dari \( (f \circ g)(x) \) adalah ….
A. |
\( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{-8x+8}{x-3} \), \( x \ne 3 \) |
B. |
\( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{-3x+8}{x+8} \), \( x \ne -8 \) |
C. |
\( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{3x-8}{x-8} \), \( x \ne 8 \) |
D. |
\( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{8x-8}{x-3} \), \( x \ne 3 \) |
E. |
\( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{8x+8}{x+3} \), \( x \ne -3 \) |
Jawaban dan Analisis
Komposisi: \( (f \circ g)(x)=f(x-3) \).
\( (f \circ g)(x)=\dfrac{3(x-3)+1}{(x-3)-5}=\dfrac{3x-8}{x-8} \), \( x \ne 8 \).
Invers: misal \( y=\dfrac{3x-8}{x-8} \).
\( y(x-8)=3x-8 \Rightarrow yx-8y=3x-8 \Rightarrow yx-3x=8y-8 \).
\( x(y-3)=8(y-1) \Rightarrow x=\dfrac{8(y-1)}{y-3} \).
Ganti \( y \to x \): \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{8(x-1)}{x-3}=\dfrac{8x-8}{x-3} \), \( x \ne 3 \).
Jawaban: D.