Soal 21
Diketahui titik \(A(6,4,7)\), \(B(2,-4,3)\) dan \(P(-1,4,2)\). Titik \(R\) terletak pada garis \(AB\) sehingga \(AR:RB=3:1\). Panjang vektor \(PR\) adalah ....
A. \(2\sqrt{7}\)
B. \(2\sqrt{11}\)
C. \(2\sqrt{14}\)
D. \(4\sqrt{11}\)
E. \(4\sqrt{14}\)
Jawaban & Analisa
Kunci: C (\(2\sqrt{14}\))
Karena \(AR:RB=3:1\), maka titik \(R\) membagi ruas \(AB\) secara internal dengan rumus \(R=\dfrac{1\cdot A+3\cdot B}{3+1}\).
Hitung: \(1\cdot A+3\cdot B=(6,4,7)+3(2,-4,3)=(6,4,7)+(6,-12,9)=(12,-8,16)\).
Sehingga \(R=\left(\dfrac{12}{4},\dfrac{-8}{4},\dfrac{16}{4}\right)=(3,-2,4)\).
Vektor \(PR=R-P=(3-(-1),-2-4,4-2)=(4,-6,2)\).
Panjang: \(|PR|=\sqrt{4^2+(-6)^2+2^2}=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\).
Soal 22
Suku banyak \(P(x)=x^3-2x+3\) dibagi oleh \(x^2-2x-3\), sisanya adalah ....
A. \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\)
B. \(9x-5\)
C. \(5x+3\)
D. \(11x-9\)
E. \(5x+9\)
Jawaban & Analisa
Kunci: E (\(5x+9\))
Bagi \(x^3+0x^2-2x+3\) dengan \(x^2-2x-3\).
Langkah pertama: \(x(x^2-2x-3)=x^3-2x^2-3x\). Sisa sementara: \((x^3+0x^2-2x+3)-(x^3-2x^2-3x)=2x^2+x+3\).
Langkah kedua: \(2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6\). Kurangkan: \((2x^2+x+3)-(2x^2-4x-6)=5x+9\).
Karena derajat \(5x+9\) lebih kecil dari derajat pembagi, maka sisa pembagian adalah \(5x+9\).
Soal 23
Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2-6x+2y-15=0\) pada titik \((7,2)\) adalah ....
A. \(2x-7y=0\)
B. \(4x+7y-38=0\)
C. \(7x+2y-53=0\)
D. \(4x+3y-53=0\)
E. \(4x+3y-34=0\)
Jawaban & Analisa
Kunci: E (\(4x+3y-34=0\))
Lengkapi kuadrat: \((x-3)^2+(y+1)^2=25\). Pusat \(C(3,-1)\).
Kemiringan jari-jari ke titik \((7,2)\): \(m=\dfrac{2-(-1)}{7-3}=\dfrac{3}{4}\).
Garis singgung tegak lurus, sehingga gradiennya \(-\dfrac{4}{3}\).
Gunakan bentuk titik-kemiringan: \(y-2=-\dfrac{4}{3}(x-7)\).
Disederhanakan: \(4x+3y-34=0\).
Soal 24
Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak \((-4,2)\) dan titik fokus \((2,2)\) adalah ....
A. \(y^2-4y-24x-100=0\)
B. \(y^2-4y-24x-92=0\)
C. \(y^2-4y-12x-44=0\)
D. \(y^2-4y-6x-28=0\)
E. \(y^2-4y-6x-20=0\)
Jawaban & Analisa
Kunci: B (\(y^2-4y-24x-92=0\))
Karena fokus dan puncak memiliki ordinat sama, parabola membuka ke kanan. Jarak \(p=6\).
Bentuk standar: \((y-2)^2=24(x+4)\).
Dikembangkan: \(y^2-4y-24x-92=0\).
Soal 25
Salah satu persamaan garis singgung pada elips \(\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{(y-1)^2}{9}=1\) yang saling tegak lurus garis \(x+y=3\) adalah ....
A. \(y=x+8\)
B. \(y=x-8\)
C. \(y=x+2\)
D. \(y=x-2\)
E. \(y=-x+8\)
Jawaban & Analisa
Kunci: A (\(y=x+8\))
Garis \(x+y=3\) memiliki gradien \(-1\). Garis yang tegak lurus memiliki gradien \(1\).
Misalkan garis singgung \(y=x+c\). Substitusi ke elips menghasilkan persamaan kuadrat terhadap \(x\). Syarat singgung adalah diskriminan \(=0\).
Diperoleh \(c^2-6c-16=0\).
Sehingga \(c=\dfrac{6\pm10}{2}\Rightarrow c=8\) atau \(c=-2\).
Salah satu garis singgung adalah \(y=x+8\).