Jawaban: E

Jika tiap pojok dipotong persegi sisi \(x\) dm, maka setelah dilipat:

Panjang kotak \(=8-2x\), lebar kotak \(=5-2x\), dan tinggi kotak \(=x\).

Volume sebagai fungsi \(x\):

\(V(x)=x(8-2x)(5-2x)\).

Daerah nilai \(x\) agar ukuran masuk akal adalah \(x \gt 0\), \(8-2x \gt 0\), dan \(5-2x \gt 0\), sehingga \(0 \lt x \lt 2{,}5\).

Kembangkan:

\(V(x)=x(40-26x+4x^2)=40x-26x^2+4x^3\).

Turunkan dan samakan nol untuk maksimum:

\(V'(x)=40-52x+12x^2=0\).

Sederhanakan:

\(12x^2-52x+40=0\Rightarrow 3x^2-13x+10=0\).

Faktorkan:

\(3x^2-13x+10=(3x-10)(x-1)=0\).

Diperoleh \(x=\dfrac{10}{3}\) atau \(x=1\). Karena harus \(0 \lt x \lt 2{,}5\), maka yang memenuhi hanya \(x=1\).

Ukuran kotak saat \(x=1\):

Panjang \(=8-2(1)=6\), lebar \(=5-2(1)=3\), tinggi \(=1\).

Jawaban: C

Hitung integralnya per suku:

\(\int \left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\int x^2\,dx-\int x^{-2}\,dx\).

\(\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\) dan \(\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}\), sehingga:

\(\int \left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}\).

Substitusi batas:

Nilai di \(x=2\): \(\frac{2^3}{3}+\frac{1}{2}=\frac{8}{3}+\frac{1}{2}=\frac{16}{6}+\frac{3}{6}=\frac{19}{6}\).

Nilai di \(x=1\): \(\frac{1^3}{3}+\frac{1}{1}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\).

Maka hasil integral:

\(\frac{19}{6}-\frac{8}{6}=\frac{11}{6}\).

Jawaban: E

Gunakan identitas sudut ganda:

\(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\).

Maka:

\(\sin^2 x-\cos^2 x=-(\cos^2 x-\sin^2 x)=-\cos 2x\).

Sehingga integralnya:

\(\int (\sin^2 x-\cos^2 x)\,dx=\int (-\cos 2x)\,dx=-\int \cos 2x\,dx\).

Karena \(\int \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\sin 2x\), maka:

\(-\int \cos 2x\,dx=-\frac{1}{2}\sin 2x + C\).

Jawaban: A

Integralkan per suku:

\(\int \sin 3x\,dx=-\frac{1}{3}\cos 3x\) dan \(\int \cos 3x\,dx=\frac{1}{3}\sin 3x\).

Jadi antiturunannya:

\(F(x)=-\frac{1}{3}\cos 3x+\frac{1}{3}\sin 3x\).

Nilai di \(x=\frac{\pi}{6}\): \(3x=\frac{\pi}{2}\), sehingga \(\cos \frac{\pi}{2}=0\) dan \(\sin \frac{\pi}{2}=1\).

\(F\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}\).

Nilai di \(x=0\): \(3x=0\), \(\cos 0=1\), \(\sin 0=0\).

\(F(0)=-\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 0=-\frac{1}{3}\).

Maka nilai integral tentu:

\(\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\).

Jawaban: C

Tentukan titik potong kurva dengan menyamakan \(x^2-x-2=x+1\).

\(x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\).

Titik potong terjadi saat \(x=3\) dan \(x=-1\). Pada interval \(0 \le x \le 3\), yang dipakai hanya \(x=3\).

Cek kurva mana yang di atas pada \(0 \le x \lt 3\): ambil \(x=0\), didapat garis \(y=1\) dan parabola \(y=-2\), sehingga garis berada di atas parabola.

Luas daerah:

\(L=\int_{0}^{3}\left((x+1)-(x^2-x-2)\right)\,dx=\int_{0}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx\).

Hitung integralnya:

\(\int (-x^2+2x+3)\,dx=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\).

Substitusi batas \(0\) sampai \(3\):

\(L=\left(-\frac{3^3}{3}+3^2+3(3)\right)-\left(-\frac{0^3}{3}+0^2+3(0)\right)\).

\(L=\left(-\frac{27}{3}+9+9\right)-0=(-9+18)=9\).